借助空間向量,妙解圖形折疊問題

李福全

(河北省任丘市第一中學)

圖形折疊問題是高考空間立體幾何中比較常見的一類問題,這類問題是指將一平面圖形翻折后變成空間幾何體,然后根據平面圖形的數量關系研究空間幾何體中各元素數量關系的問題.解決這類問題的關鍵是確定翻折前后相關元素的不變量與變化量,運用空間向量知識加以分析.

1 判定命題

例1將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角,給出下列四個結論:①AC⊥BD;②AB,CD所成角為60°;③△ADC為等邊三角形;④AB與平面BCD所成角為60°.其中真命題是________(請將你認為是真命題的序號都填上).

解析對于①,如圖1所示,取BD的中點O,連接AO,CO,易知BD垂直于平面AOC,故BD⊥AC,①正確.

圖1

圖2

對于③,在Rt△AOC中,由AO＝CO＝,得＝a,故△ADC為等邊三角形,③正確.

對于④,易知∠ABO為直線AB與平面BCD所成的角,可求得∠ABO＝45°,故④錯誤.

綜上,選①②③.

點評本題主要考查平面圖形的折疊、空間線面位置關系的判定與性質、空間角的求解等知識.求解的關鍵是正確分析平面圖形折疊后對應的立體幾何圖形,并能結合相應的性質加以分析與判定.

2 求解角度

例2如圖3所示,在Rt△ABC中,∠C＝90°,BC＝3,AC＝6,D,E分別為AC,AB上的點,且DE∥BC,DE＝2.如圖4所示,將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD.

圖3

圖4

(1)求證:A1C⊥平面BCDE;

(2)若M是A1D的中點,求CM與平面A1BE所成角的大小.

圖5

點評本題主要考查空間幾何中的線面位置關系及其判定、空間角的求解及其應用.在折疊過程中,要注意折疊前后對應直線的平行、垂直關系以及線段的長度等,進而為利用空間向量求解空間角奠定基礎.

3 求解二面角的余弦值

例3如圖6所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,BE⊥AD于E,且DE＝2BC＝2BE,將梯形ABCD沿BE折疊成如圖7所示的幾何體,∠AED＝為AE的中點.

圖6

圖7

圖8

點評本題主要考查線面平行的證明、二面角的計算、空間向量及其應用等知識,意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.

平面幾何圖形折疊成空間幾何體的變換問題難度比較大,對空間想象能力要求較高.這類問題主要對空間幾何體中的點、線、面沿著相應的直線進行折疊變換,設置角度、距離、軌跡等眾多問題,探求定值、最值等,是一類思維方式多樣、難度較大的創新性問題,也是模擬考試、高考、自主招生考試中的熱點問題,具有很好的選拔性與區分度.

(完)