比較大小也可以“小題大做”

劉大偉 李勇霞

(重慶市江津中學校)

縱觀近幾年的高考,比較大小問題已從單一的知識考查,過渡到多知識融合的綜合性考查,求解方法也從常規的作差法和作商法,過渡到借助函數、不等式和導數等知識進行知識和技巧的雙重運用.該類型問題綜合性很強,旨在考查學生的轉化能力、推理能力和計算求解能力等,涉及化歸與轉化思想,滲透直觀想象和數學運算素養等.

1 利用對數函數的單調性實現“小題大做”

點評在利用對數函數的單調性進行試題求解的過程中,往往會涉及對數形式的化簡及實數比較大小的常用方法等,同時,要求學生具有敏銳的觀察力,找到中間值是求解該題的關鍵.

點評在判斷對數值正負的過程中,有時會用到如下結論:logab的正負由a,b共同決定,若a,b都在區間(0,1)或(1,＋∞)上,則對數值為正,否則為負.

2 借助中間值實現“小題大做”

例3若a＝log23,b＝log34,c＝log45,則a,b,c的大小關系是( ).

由于y＝xlnx在(1,＋∞)單調遞增,故當x∈(1,＋∞)時,h′(x)＜0,即h(x)在(1,＋∞)單調遞減,所以h(2)＞h(3)＞h(4),即c＜b＜a,故選D.

3 利用基本不等式實現“小題大做”

例4(2020 年全國Ⅲ卷理12)已知55＜84,134＜85.設a＝log53,b＝log85,c＝log138,則( ).

A.a＜b＜cB.b＜a＜c

C.b＜c＜aD.c＜a＜b

點評由題意可知a,b,c∈(0,1),故

所以a＜b.

綜上,a＜b＜c,故選A.

點評該題的求解過程用到對數的換底公式、基本不等式、指數函數單調性等知識,該題在求解過程中,基本不等式的運用是解題的關鍵,而基本不等式在試題中的主要作用往往涉及最值的求解.一般地,利用不等式(當且僅當x＝y時,等號成立)求最小值;利用不等式(當且僅當x＝y時,等號成立)求最大值.在比較大小過程中,求解對數的運算以及基本不等式的綜合試題的關鍵在于熟練運用運算的技巧以及相關性質.

4 通過構造函數實現“小題大做”

綜上,c＜a＜b,故選C.

解析該試題要求學生具備敏銳的觀察能力,由c＝－ln0.9＝ln0.9－1＝,可以構造函數h(x)＝ln(1－x)－x,從而探究b,c之間的大小關系,因此,尋求條件中相關數據之間的聯系是構造函數的前提.

例7(2022年全國甲卷文12)已知9m＝10,a＝10m－11,b＝8m－9,則( ).

點評首先由條件9m＝10,可得m∈(1,1.5),同時,根據條件a,b的特點,構造函數f(x)＝xm－x－1(x＞1),從而進行常規求導,判斷單調性,利用函數的單調性比較a,b的大小.

5 小結

縱觀近幾年的高考,通過構造函數,實現大小比較,依然成為一種重要方法,關鍵在于通過對比題干數據,構造恰當函數,通過常規求導,實現數據的大小比較.該類問題綜合性很強,旨在考查學生的轉化能力、推理能力和計算求解能力等,涉及轉化與化歸思想,滲透直觀想象和數學運算素養等.

總而言之,比較大小類問題往往以指數、對數函數、冪函數的定義、圖像和性質為基礎,綜合不等式、三角函數、導數等相關知識,實現知識的綜合運用.此外,該類型試題往往涉及函數與方程思想、特殊與一般思想以及轉化與化歸思想等,設置巧妙,考查學生的數學抽象、邏輯推理以及數學運算等核心素養.

鏈接練習

鏈接練習參考答案

1.A.2.B.3.B.

(完)