構造長方體模型解一類特殊的四面體問題

李 勇

(貴州省貴陽市息烽縣第一中學)

對棱相等的四面體是一類特殊的三棱錐,根據三對棱的長度關系,可以把它放在對應的長方體、正四棱柱以及正方體中,進而解決有關問題.

1 長方體模型

在四面體A-BCD中,若AB＝CD,BD＝AC,AD＝BC,則可把四面體A-BCD放在長方體中進行研究,進而解決有關問題.

例1在三棱錐A-BCD中,AB＝CD＝2,AD＝BC＝3,AC＝BD＝4,求三棱錐A-BCD的外接球的體積.

解析如圖1 所示,把三棱錐A-BCD放在長方體AECF-HDGB中,設HB＝x,HD＝y,HA＝z,則可得方程組

圖1

點評本題如果用傳統的解法:找球心,求半徑來解,難度比較大.根據三棱錐的三組對棱的特點聯想到長方體的面對角線,把該三棱錐放在長方體中,解決問題就簡單多了.由于該三棱錐的外接球恰好就是長方體的外接球,因此問題轉化為求長方體的外接球的體積.求解步驟如下:

第一步,根據三棱錐的棱長(即長方體的面對角線長)算出長方體的長、寬、高的關系(或長、寬、高的值),從而算出長方體的體對角線的長的平方.

第二步,根據長方體的性質(長方體的體對角線即為長方體外接球的直徑),算出外接球的半徑.

第三步,利用球的體積公式算出體積即可.

例2在三棱錐P-ABC中,PA＝BC＝,求平面APB與平面CPB的夾角的余弦值.

解析如圖2所示,把三棱錐P-ABC放在長方體AECD-FPGB中,設PF＝x,PG＝y,PE＝z,則CPB的夾角的余弦值為

圖2

點評本題如果用傳統的求二面角的方法解答難度比較大,根據三棱錐的三組對棱的特點可聯想到長方體的面對角線,把該三棱錐放在長方體中,用“坐標法”解答問題就簡單多了.求解步驟如下:

第一步,根據三棱錐的棱長(即長方體的面對角線長)算出長方體長、寬、高的值.

第二步,建立空間直角坐標系,算出平面APB與平面CPB的法向量,求出兩個法向量夾角的余弦值.

第三步,根據兩個法向量夾角的余弦值寫出平面APB與平面CPB的夾角的余弦值.

2 正四棱柱模型

在四面體ABCD中,若AB＝CD＝BD＝AC,AD＝BC,則可把四面體ABCD放在正四棱柱中進行研究,進而解決有關問題.

例3在三棱錐A-BCD中,AB＝BC＝CD＝DA＝3,AC＝BD＝2,M,N分別是AD,BC的中點,求異面直線AN,CM所成角的余弦值.

解析如圖3所示,把三棱錐A-BCD放在正四棱柱AECF-HDGB中,設HB＝x,HA＝z,則

圖3

點評本題是人教A 版《選擇性必修第一冊》中第41頁的第2 題.從在書中的位置來看,本題應該用“向量法”解答,由于許多學生建不了系,故不能使用“坐標法”解答,運算量比較大.如果能根據三棱錐的三組對棱的特點聯想到正四棱柱(即特殊的長方體)的面對角線,把該三棱錐放在正四棱柱中用“坐標法”解答就非常簡單了.求解步驟如下:

第一步,根據三棱錐的棱長(即正四棱柱的面對角線長)算出正四棱柱的底面邊長和高的值.

第二步,建立空間直角坐標系,寫出異面直線AN,CM的方向向量,求出兩異面直線AN,CM方向向量夾角的余弦值.

第三步,由兩異面直線AN,CM方向向量夾角的余弦值寫出異面直線AN,CM所成角的余弦值.

例4在三棱錐A-BCD中,AC＝BD＝,其余四條棱長均為2,則三棱錐A-BCD的外接球的表面積為_________.

解析如圖4所示,把三棱錐A-BCD放在正四棱柱AECF-HDGB中,設HB＝x,HA＝z,則

圖4

由正四棱柱的性質可知4R2＝x2＋x2＋z2＝7,所以4πR2＝7π,故三棱錐A-BCD的外接球的表面積為7π.

點評本題如果用傳統的方法:找球心,求半徑來解,難度比較大.聯想到正四棱柱(即特殊的長方體)的面對角線,把該三棱錐放在正四棱柱中,解決問題就簡單多了.由于該三棱錐的外接球恰好就是正四棱柱的外接球,因此問題轉化為求正四棱柱外接球的表面積.求解步驟如下:

第一步,根據三棱錐的棱長(即正四棱柱的面對角線長)算出正四棱柱的底面邊長和高的值.

第二步,算出正四棱柱的體對角線的長的平方,即外接球直徑的平方.

第三步,根據球的表面積公式即可求出三棱錐A-BCD的外接球的表面積.

圖5

點評本題可根據三棱錐三組對棱的特點聯想到正四棱柱(即特殊的長方體)的面對角線,把該三棱錐放在正四棱柱中,用“坐標法”解答問題就非常簡單了.求解步驟如下:

第一步,根據三棱錐的棱長(即正四棱柱的面對角線長)算出正四棱柱的底面邊長和高的值.

第二步,建立空間直角坐標系,算出平面ABC的法向量.

第三步,在平面ABC上任意取一點與外接球的球心構造一個向量.

第四步,代入點到平面的距離公式,即可算出三棱錐A-BCD外接球的球心到平面ABC的距離.

3 正方體模型

在四面體ABCD中,若AB＝CD＝BD＝AC＝AD＝BC,則可把四面體ABCD放在正方體中研究,進而求解相關問題.

例6已知四面體OABC的所有棱長都是1,D,N分別是OA,BC的中點.

(1)計算DN的長度;

(2)求點O到平面ABC的距離.

解析如圖6所示,把四面體OABC放在正方體中.設正方體的棱長為a,則a2＋a2＝1,所 以

圖6

點評本題是人教A 版《選擇性必修第一冊》中第42頁的第7題,從在書中的位置來看,本題應該是用“向量法”來解答,只是大部分學生可能只會在正四面體中建系,運算難度較大.如果能根據三棱錐的三組對棱的特點聯想到正方體(即特殊的長方體)的面對角線,把該三棱錐放在正方體中,解決問題就簡單多了.求解步驟如下:

第一步,根據三棱錐的棱長(即正方體的面對角線長)算出正方體棱長的值.

第二步,建立空間直角坐標系,寫出點的坐標,算出DN的長度和平面ABC的法向量.

第三步,在平面ABC上任意取一點與點O構造一個向量.

第四步,代入點到平面的距離公式算出點O平面ABC的距離.

例7已知正四面體ABCD的外接球的體積為,則該四面體的表面積為_________.

解析把正四面體ABCD放在如圖7 所示的正方體中.設正四面體ABCD的外接球的半徑為R,正四面體ABCD的棱長為x,正方體為棱長為y,則

圖7

解得x2＝16,故正四面體ABCD的表面積為

點評根據三棱錐的三組對棱的特點聯想到正方體(即特殊的長方體)的面對角線,把該三棱錐放在正方體中,進而解決該題.求解步驟如下:

第一步,根據正四面體的外接球的體積算出正方體棱長的平方.

第二步,代入面積公式即可求出這個正四面體的表面積.

例8正四面體ABCD中,,點P在棱AB上運動,設EP與平面BCD所成角為θ,則sinθ的最大值是( ).

解析如圖8所示,把正四面體ABCD放在正方體中,建立空間直角坐標系.設正方體的棱長為1,則A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),D1(1,1,0).

圖8

點評本題有一定的難度,但是把該三棱錐放在正方體中用“坐標法”解答就簡單多了.求解步驟如下:

第一步,建立空間直角坐標系,設正方體的棱長為1,并寫出點的坐標,求出平面BCD的法向量.

第二步,由點P在棱AB上運動,設(0≤λ≤1),求出的坐標.

第三步,代入線面角公式求出sinθ的最大值.

總之,可根據對棱長的特點,把圖形放入長方體、正四棱柱、正方體中解答這類問題.通過構造可以降低思維難度,減少運算量,能很好地體現數學核心素養中的直觀想象、數學建模、數學運算,有利于拓展學生思維,有利于培養數學核心素養.

(完)