幾何推理,坐標運算
——一道動態立體幾何題的探究

周 波

(山東省濟南市章丘區第五中學)

周 波

(山東省濟南市章丘區第五中學)

多選題是新高考中體現“破定勢,考真功,分層次”的一種創新題型,可以很好地考查學生“四基”的落實情況,區分數學能力,備受各方關注.而涉及立體幾何知識的多選題,更是其中常見的基礎題之一.多選題的創新設置,可以很好地考查立體幾何中點線面的位置關系、長度或距離、夾角以及面積、體積等問題,以及動點、折疊、旋轉等動態問題.

1 問題呈現

題目(多選題)如圖1 所示,已知直四棱柱ABCD-EFGH的底面是邊長為4 的正方形,CG＝m,點M為CG的中點,點P為底面EFGH上的動點,則( ).

圖1

A.當m＝4時,存在點P滿足PA＋PM＝8

B.當m＝4時,存在唯一的點P滿足∠APM＝

C.當m＝4 時,滿足BP⊥AM的點P的軌跡長度為

D.當m＝時,滿足∠APM＝的點P的軌跡長度為

分析此題是一道立體幾何中的動態問題,以長方體為背景進行巧妙設置,常見的解題思路有兩種:

1)建立空間直角坐標系,利用坐標法進行求解,考查數學運算能力;

2)利用幾何法,通過綜合分析處理與求解,考查推理論證能力.

解法1(坐標法)以D為坐標原點,分別以射線DA,DC,DH所在直線為x軸,y軸,z軸的正半軸,建立空間直角坐標系D-xyz,如圖2所示,則D(0,0,0),A(4,0,0),B(4,4,0),C(0,4,0),M(0,4,),設P(x,y,m).

圖2

對于選項A,當m＝4時,設點M(0,4,2)關于平面EFGH的對稱點為M1,則M1(0,4,6),故|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PM1|≥,故選項A 錯誤.

綜上,選BCD.

點評坐標法是大家比較熟悉的一種方法,借助長方體這個特殊立體幾何模型,合理構建空間直角坐標系,通過確定點的坐標以及向量的坐標運算,結合數量積的應用來分析與轉化,實現問題的坐標代數化處理.

解法2(幾何法)對于選項A,當m＝4時,設點M關于平面EFGH的對稱點為M1,則CM1＝6,所以PA＋PM＝PA＋PM1≥AM1＝,故選項A 錯誤.

對于選項 B,當m＝4 時,可得AM＝＝6,由于線段AM的中點O到平面EFGH的距離為3,所以以點O為球心,3為半徑的球與平面EFGH相切于正方形EFGH的中心O′,即存在唯一的點P(此時點P與點O′重合)滿足∠APM＝,故選項B正確.

綜上,選BCD.

點評幾何法是解決立體幾何問題中的一種常用方法,通過點線面的位置關系以及對應邊、角等的大小關系,利用立體幾何、平面幾何的相關知識加以分析與處理,合理巧妙解決對應的立體幾何問題,對空間想象、邏輯推理以及數學運算等方面的能力要求較高.

2 變式拓展

變式1(多選題)如圖3所示,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是正方形,SA⊥平面ABCD,SA＝AB,O,P分別是AC,SC的中點,M是棱SD上的動點,則( ).

圖3

A.OM⊥AP

B.存在點M,使得OM∥平面SBC

C.存在點M,使得直線OM與AB所成角為30°

D.點M到平面ABCD與平面SAB的距離之和為定值

答案ABD.

變式2(多選題)如圖4所示,已知正方體ABCDEFGH的棱長為2,M為棱CG的中點,P為底面EFGH上的動點,則( ).

圖4

A.存在點P,使得AP＋PM＝4

B.存在唯一點P,使得AP⊥PM

C.當AM⊥BP時,點P的軌跡長度為

D.當點P為底面EFGH的中心時,三棱錐P-ABM的外接球體積為

答案BCD.

(完)