基于障礙Lyapunov函數的雙臂空間機器人捕獲衛星柔順控制

朱 安 艾海平 陳 力

1.江西理工大學能源與機械工程學院，南昌，3300132.福州大學機械工程及自動化學院，福州，350116

0 引言

隨著人類在空間探索、衛星通信、氣象觀測、資源勘探、導航定位等領域研究的深入，各航空大國向太空發射的衛星數量正在急劇增加。目前太空中衛星的數量高達6000顆，但能正常工作的數量占比卻不到一半, 失效衛星極大地占用了有限的空間軌道資源。另外, 衛星失效的主要原因是其攜帶的燃料耗盡而不是出現故障, 如果可以對其進行燃料補給, 衛星的壽命將被極大地延長。為有效利用空間軌道資源和節約太空探索成本，需要對失效的衛星進行清除或維修，目前使用空間機器人來完成上述任務在理論上和技術上都具備可行性，因此對空間機器人的研究已成為空間探索的熱點[1-5]。相較于單臂空間機器人，雙臂空間機器人由于具有更高的靈活性，更大的負載能力，能執行更加復雜的任務，已逐漸成為研究重點[6-10]。但由于雙臂空間機器人捕獲衛星操作過程存在非完整動力學約束問題,雙臂系統的動量、動量矩與能量傳遞變化難以計算，捕獲前后雙臂系統結構存在的開閉環變拓撲問題導致閉環接觸幾何、運動學約束難以分析，因此對雙臂空間機器人進行研究相對困難。

一般情況下, 空間機器人捕獲衛星的過程可分為四個階段：①對被捕獲衛星進行觀測；②進行捕獲操作前的準備；③空間機器人與被捕獲衛星接觸、碰撞；④對閉鏈混合體系統進行鎮定控制。由于第三階段的接觸、碰撞沖擊一般很大，第四階段形成的混合體系統嚴重失穩，因此第三、第四階段是最具風險和最難控制的階段。

針對第三階段，DIMITROV等[11]詳細建立了空間機器人捕獲衛星過程的接觸動力學模型，并分析了捕獲過程的動量交換問題。YOSHIDA等[12]從角動量分布的角度討論了碰撞接觸前后空間機器人姿態偏差的最小化問題，利用偏置動量法成功地實現了阻抗控制對衛星的捕獲操作。FLORES-ABAD等[13]為了減少碰撞過程對空間機器人載體的影響，對旋轉衛星的運動狀態進行了分析，且預測了對機器人進行捕獲的最佳時機。然而，鮮有學者考慮空間機器人的關節保護問題，實際上若在捕獲過程中未對關節進行保護，關節很可能因所受沖擊力矩過大而造成破壞，導致捕獲操作的失敗。對于地面機器人的關節保護問題，常用的方法有：對關節位置和速度施加約束[14-15]、對關節力矩進行限幅[16-17]、在關節處加入柔順機構等[18-20]。然而對關節位置和速度施加約束容易減小機械臂的工作空間和降低關節的靈活性，對關節力矩進行限幅容易因輸出力矩不足導致控制精度降低。目前，在關節處加入柔順機構是較為有效的手段，因此參考地面機器人的串聯彈性執行器(series elastic actuator, SEA)結構，筆者針對空間機器人設計了一種彈簧阻尼機構(spring-damper device, SDD)來實現對關節的保護。相較于SEA, SDD不僅能夠對沖擊載荷快速地緩沖、卸載，而且能使柔性振動快速衰減，實現對柔性振動的抑制。

針對第四階段，LIU等[21]采用阻抗控制對雙臂空間機器人捕獲衛星后的混合體系統進行了鎮定控制；HUANG等[22]針對空間機器人捕獲衛星后質量特性與反作用輪結構發生變化的問題，提出了一種改進的狀態依賴Riccati方程最優控制器；LUO等[23]考慮混合體系統的不可測狀態、未知慣性特性和外部干擾，提出了一種基于有限時間收斂的魯棒無慣性預定性能控制方案。然而上述控制方案均未考慮沖擊效應，沖擊效應較大時混合體系統將處于失穩的狀態，極大地增加了鎮定控制的難度。近年來，障礙Lyapunov函數(barrier Lyapunov functions, BLFs)越來越多地被用于求解時變約束問題。YAN等[24]為了防止約束被突破，在每一步的反演設計中都采用了時變非對稱障礙Lyapunov函數；LIU等[25]結合神經網絡利用時變BLFs來防止n連桿機器人對約束的違反；LI等[26]將位置約束和速度約束統一轉化為名義輸入約束，并將輸入飽和效應與BLFs結合，解決了機械臂的運動約束問題。考慮到捕獲的衛星具有一定的初速度，由此引起的沖擊效應將導致捕獲后的混合體系統處于嚴重的翻滾狀態，若不對其狀態施加約束，將很難實現混合體系統的鎮定控制，因此筆者設計了一種基于BLFs的模糊自適應控制方法，在每一步反演設計中都采用BLFs以嚴格限制狀態約束不被突破，利用模糊控制器對系統的不確定系數進行擬合，最終實現軌跡的高精度跟蹤。

綜上，本文設計了一種彈簧阻尼機構，以避免雙臂空間機器人捕獲衛星操作過程中關節受沖擊破壞。利用含耗散力Lagrange方程與Newton-Euler方程導出了分體系統動力學方程；結合Newton 第三定律、動量守恒定理、捕獲點速度約束、閉鏈幾何約束, 導出了閉鏈混合體系統動力學模型，計算了碰撞沖擊效應與沖擊力；提出了一種基于BLFs的模糊自適應控制方法對失穩混合體系統進行鎮定控制；通過對捕獲操作過程的仿真分析, 驗證了所提策略的有效性。

1 彈簧阻尼機構的結構及柔順策略描述

1.1 彈簧阻尼機構的結構

彈簧阻尼機構的結構如圖1所示，主要由彈簧、阻尼器、輸入圓盤、負載軸等幾部分組成。彈簧主要用于傳動與沖擊能量的吸收，阻尼器則實時提供阻力來抑制柔性振動。輸入圓盤與電機相連、負載軸與機械臂相連，為了讓阻尼器實時同步提供阻尼力抑制柔性振動，將其嵌套在彈簧內部實現同步運動。為更加真實地描述空間機器人系統，將電機端、機械臂端的阻力等效為阻尼器。圖1b中，Ksi、Dti(i=1,2,…,6)分別為彈簧的剛度、阻尼器的阻尼系數；Dmi、DLi分別為電機、機械臂端等效阻尼器的阻尼系數。

(a)模型圖

(b)原理圖圖1 彈簧阻尼機構的結構

1.2 柔順策略設計

在空間機器人捕獲衛星操作的第三階段，其末端執行器將不可避免地與被捕獲衛星接觸、碰撞，由于衛星具有一定的初速度，因此產生的沖擊效應將使混合體系統處于翻轉狀態，極大地增加了第四階段鎮定控制的難度。

本文給出的SDD可通過彈簧有效地吸收接觸、碰撞過程在關節處產生的沖擊載荷，然后利用阻尼器快速實現彈簧勢能的卸載，從而實現第三階段接觸、碰撞的緩沖。但由于SDD是被動機構，沖擊效應的存在會使關節電機開啟時產生瞬時沖擊力矩，若未設計與SDD匹配的主動柔順策略以限制該力矩，很容易導致第四階段鎮定控制的失敗。為此，本文同時設置了電機的關閉與開啟閾值，其中關閉閾值用于限制瞬時沖擊力矩，開啟閾值可防止電機頻繁開關機。當檢測到沖擊力矩超過所設關機閾值后關閉電機，此時SDD中的彈簧將會提供彈力來減小關節所受沖擊力矩，阻尼器將會快速耗能且抑制柔性振動；當SDD將沖擊力矩降低到開啟閾值后電機將再次開啟。

2 動力學建模與碰撞分析

2.1 分體系統動力學建模

配置SDD的雙臂空間機器人系統與被捕獲衛星系統如圖2所示。其中O0、Oi、Os分別為載體質心、各關節鉸中心、衛星質心；OXY為慣性參考坐標系；O0x0y0、Oixiyi、Osxsys分別為固定在載體質心、關節鉸中心、被捕獲衛星質心上的坐標系。文中所用部分量符號定義如表1所示。

圖2 配置SDD的雙臂空間機器人與被捕獲衛星系統

表1 空間機器人系統與衛星系統符號定義

含耗散力的Lagrange方程為

(1)

θL=(θ1,θ2,θ3)TθR=(θ4,θ5,θ6)T

式中，Lr為Lagrange函數;?r為耗散函數，用于描述SDD中的非有勢力;Q∈R9×1為系統廣義力；qr為雙臂空間機器人系統的廣義坐標。

通過式(1)可得捕獲操作前的空間機器人系統動力學方程為

(2)

qm=(θm1,θm2,…,θm6)T

采用Newton-Euler法可獲得捕獲前的衛星動力學方程為

(3)

式中，Ms為衛星系統對稱、正定的慣量矩陣,Ms∈R3×3；qs為衛星系統廣義坐標，xs、ys為衛星質心坐標，qs=(xs,ys,θs)T；Js為衛星把手被捕獲點的運動雅可比矩陣，Js∈R3×6；FP′為被捕獲點所受作用力，FP′∈R6×1，在捕獲操作前FP′為零向量。

2.2 混合體系統動力學建模

捕獲操作過程中，雙臂空間機器人與被捕獲衛星發生碰撞，由于相互作用力的存在，各自的運動狀態會發生變化。衛星把手上的力可分解為

(4)

由式(2)、式(4)結合牛頓第三定律可得

(5)

捕獲操作完成后，雙臂空間機器人與被捕獲衛星鎖緊固連形成閉鏈混合體系統。在該系統內左右臂的廣義坐標與廣義速度存在如下關系：

(6)

式中,J′OL、J′OR分別為基座連體坐標系下兩個運動相關點對應的運動Jacobian矩陣，J′OL、J′OR∈R2×3；Em×n表示n×m階元素均為1的矩陣。

(7)

對式(7)求導可得

(8)

捕獲操作完成后，捕獲點的速度滿足

(9)

式中，Jrp、Jsp′分別為機器人左臂末端點、被捕獲衛星左把手在慣性參考坐標系下對應的增廣運動Jacobian矩陣，Jrp∈R3×6、Jsp′∈R3×3。

由式(9)可解出

(10)

對式(10)求導可得

(11)

將式(7)、式(8)、式(11)代入式(5)可得

(12)

L=UMrUTG=UHrUTN=UDLUT

(13)

由于Hh、DLh的前兩列元素均為零，因此式(13)可轉化為完全能控形式：

(14)

式中,Mh11、Hh11、DLh11∈R2×2；Mh12、Hh12、DLh12，Mh21、Hh21、DLh21，Mh22、Hh22、DLh22分別為Mh、Hh、DLh對應的分塊矩陣，Mh12、Hh12、DLh12∈R2×4、Mh21、Hh21、DLh21∈R4×2、Mh22、Hh22、DLh22∈R4×4。

2.3 碰撞沖擊效應與碰撞力計算

雙臂空間機器人捕獲衛星操作過程中未受到外力，因此整個系統滿足動量守恒，假設碰撞時間為Δt，對式(2)、式(3)在碰撞時間內積分得

(15)

式中，t0為碰撞時刻。

由于碰撞時間很短，在這一時段可以認為系統的廣義坐標未發生突變，僅有廣義速度和廣義加速度發生突變，為了保護關節電機，在碰撞階段電機處于關機狀態，故式(15)可近似寫為

(16)

式中,fP、fP′為碰撞沖量。

結合式(7)、式(10)、式(16)可解得碰撞沖擊效應：

(17)

將式(17)代入式(16)可解得碰撞力為

(18)

3 控制器設計

3.1 模糊邏輯規則

IF-THEN的模糊邏輯規則可描述為

(19)

式(19)可進一步簡寫為如下形式：

y(x)=WTΦ(x)

(20)

Φn(x)定義如下：

(21)

3.2 控制器設計

假設1 模糊控制器擬合誤差有界，即‖ε‖≤εm。

為方便控制器的設計，將混合體系統動力學方程改寫為狀態空間表達式：

(22)

若定義zd為期望軌跡，則誤差信號可定義為

(23)

其中，e1為軌跡誤差；e2為速度誤差；α為虛擬的狀態變量，其定義如下：

(24)

Kα=diag(kα1,kα2,kα3,kα4),kαp>0

式中,K1為正定常數矩陣,K1∈R4×4;e1p(p=1,2,3,4)為e1中的元素。

對式(23)求導且結合式(24)可得

(25)

考慮如下形式的障礙Lyapunov函數V1：

(26)

障礙Lyapunov函數V1具有兩個重要的性質：首先，它是正定函數且存在一階導數；其次，當|e1p|→kαp時V1→∞，即當|e1p|

對式(26)求導且結合式(25)可得

(27)

基于式(27)設計障礙Lyapunov函數V2：

(28)

對式(28)求導可得

(29)

式(29)結合特性1及式(25)可得

(30)

由于空間機器人在工作過程中所攜帶的燃料會不斷地被消耗，載體質量將持續減小，且其惡劣的工作環境會使系統參數攝動，如向陽面與背陽面的巨大溫差容易導致各分體質心偏移等，因此空間機器人的系統參數往往難以精確地獲得。為了實現捕獲后混合體系統軌跡的高精度跟蹤，采用模糊控制器對系統的不確定項進行擬合。

η(x)=W*TΦ(x)+ε

(31)

式中，W*為理想權值矩陣；ε∈R4×1為擬合誤差；x為模糊控制器的輸入項。

根據式(30)、式(31)，設計如下形式的控制率：

(32)

將設計的控制率(式(32))代入式(30)得

(33)

設計如下形式的模糊自適應率：

(34)

式中，Γp為增益系數；σp為很小的正常數，用于提高系統的魯棒性。

基于式(33)設計障礙Lyapunov函數V3：

(35)

對式(35)求導，結合式(34)可得

(36)

結合假設1可知：

(37)

(38)

ρ=min(λmin(K1),2λmin(Kv)/λmin(Mc))C=

σiW*TW*/2

由引理1可知，若采用式(32)設計的控制率和式(34)設計的模糊自適應率，則可保證系統收斂。

由于式(32)設計的為載體與左臂的控制力矩，為均配各關節力矩以實現雙臂協調控制，結合速度、位置約束，采用加權最小范數法均配各關節控制力矩：

τg=ΞΩT(ΩΞΩT)-1τb

(39)

τb=[τ1τ2τ3]T

式中,Ξ為對稱正定的權值矩陣,Ξ∈R6×6。

4 仿真模擬分析

4.1 SDD抗沖擊性能模擬

采用圖2所示的雙臂空間機器人及衛星系統進行數值仿真。空間機器人系統參數為：m0=200 kg,ml=10 kg(l=1,2,4,5)，mk=5 kg(k=3,6)，Ll=2 m，Lk=1 m，dl=1 m，dk=0.5 m，I0=128 kg·m2，Il=15 kg·m2，Ik=2 kg·m2，Imi=0.05 kg·m2，ksi=1000 N/rad，Dmi=28.65 N·s/rad，Dti=1146 N·s/rad，DLi=28.65 N·s/rad，ψ1=2.791 rad，ψ2=0.349 rad。衛星系統參數如下：ms=50 kg，ds=0.5 m，Is=8.5 kg·m2。空間機器人初始靜止，初始位置為q=(10°,120°,-60°,-60°,60°,60°,60°)T。

為了驗證SDD在捕獲操第三階段的抗沖擊性能，給定多組衛星速度對關節所受沖擊力矩進行模擬，結果如表2所示。

表2 不同衛星速度下SDD抗沖擊性能對比

由表2可知，在碰撞過程中，對于給定的不同衛星速度，SDD均能顯著地降低關節所受沖擊力矩，且最大可以降低53.10%，因此可以認為SDD能在碰撞過程對關節起到較好的保護作用。

4.2 柔順策略性能模擬

(1)假設在負載情況下，關節能承受的沖擊力矩為140 N·m，因此設置第1組仿真的電機關閉閾值為FC1=120 N·m，開啟閾值為FO1=50 N·m。

由圖3可知,電機信號在切換3次后瞬時沖擊力矩被有效地卸載。由圖4可知,瞬時沖擊力矩被很好地限制在安全范圍內。由圖5～圖7可知，所提控制方法可將載體姿態角及各關節角限制在所設置的狀態約束內，實現了對軌跡的高精度跟蹤。為進一步分析不同關閉閾值對關節的保護效果，選取多種閾值對系統進行仿真。

圖3 電機切換信號(第1組)Fig.3 Switch signal of motor(the 1st group)

圖4 關節沖擊力矩(第1組)Fig.4 Joint impact torque(the 1st group)

圖5 載體姿態角跟蹤誤差(第1組)Fig.5 Attitude angle tracking error(the 1st group)

圖6 左臂關節角跟蹤誤差(第1組)Fig.6 Joint angles tracking error of left arm (the 1st group)

圖7 右臂關節角跟蹤誤差(第1組)Fig.7 Joint angles tracking error of right arm (the 1st group)

(2)考慮到隨著工作年限的增加，空間機器人關節的抗沖擊能力會下降，因此設置第2組仿真的電機關閉閾值為FC2=100 N·m，開啟閾值為FO2=50 N·m。

由圖8、圖9可知,電機在信號切換6次后瞬時沖擊力矩被有效地卸載，與第一組相比電機切換次數明顯增加，這意味著系統的不穩定性增加。由圖9可知，減小關閉閾值后瞬時沖擊力矩會遠小于安全值，柔順策略的保護性能增加。由圖10～圖12可知,減小關機閾值后，所提控制方法仍能實現軌跡的高精度跟蹤。

圖8 電機切換信號(第2組)Fig.8 Switch signal of motor(the 2nd group)

圖9 關節沖擊力矩(第2組)Fig.9 Joint impact torque(the 2nd group)

圖10 載體姿態角跟蹤誤差(第2組)Fig.10 Attitude angle tracking error(the 2nd group)

圖11 左臂關節角跟蹤誤差(第2組)Fig.11 Joint angles tracking error of left arm (the 2nd group)

圖12 右臂關節角跟蹤誤差(第2組)Fig.12 Joint angles tracking error of right arm (the 2nd group)

(3)為探討繼續減小關閉閾值與系統穩定性的關系，增加第三組仿真實驗，設置電機關閉閾值為FC3=85 N·m，開啟閾值為FO3=50 N·m。

由圖13、圖14可知,當關閉閾值設置得較小時，瞬時沖擊力矩不能被有效地卸載，且系統在9.35 s時產生激振，導致鎮定控制失敗。

圖13 電機切換信號(第3組)Fig.13 Switch signal of motor(the 3rd group)

圖14 關節沖擊力矩(第3組)Fig.14 Joint impact torque(the 3rd group)

(4)為探討關閉閾值與SDD保護性能的關系，設置第四組仿真的關閉閾值為FC4=135 N·m，開啟閾值為FO4=50 N·m。

由圖15可知，將關閉閾值設置得較大時，由于SDD緩沖需要一定的時間，瞬時沖擊力矩會出現超過安全值的情況，未達到保護效果。

圖15 關節沖擊力矩關節(第4組)Fig.15 Joint impact torque(the 4th group)

由上述4組仿真實驗可知,關閉閾值的設置將直接影響捕獲操作的柔順性。關閉閾值設置得太小瞬時沖擊力矩得不到有效的卸載，容易導致鎮定控制失敗；關閉閾值設置得太大則會使瞬時沖擊力矩超過安全值，導致關節損壞。因此，在物理實驗前充分考慮材料、裝配、機械結構、衛星質量、衛星速度、機器人姿態等因素，通過仿真模擬來預估關閉閾值的取值范圍具有一定的研究意義。

5 結論

(1)捕獲操作的碰撞過程中，關節處會產生很大的沖擊力矩，在電機與機械臂之間添加彈簧阻尼機構可以實現沖擊載荷的快速卸載，且不管是捕獲僅有線速度、僅有角速度、既有線速度又有角速度的衛星均有緩沖效果，最大沖擊力矩可減小53.10%。

(2)捕獲操作的鎮定控制過程中，配合彈簧阻尼機構所設計的柔順策略可以將關節所受沖擊力矩限制在安全范圍內，且設置關閉閾值FC1=120 N·m時，最大沖擊力矩為121.16 N·m，設置關閉閾值FC2=100 N·m時，最大沖擊力矩為103.43 N·m。但如何設置關閉閾值，需兼顧關節的保護效果與系統的穩定性。

(3)基于障礙Lyapunov函數設計模糊自適應控制方法，可有效地實現軌跡的高精度跟蹤，且在設置不同的關閉閾值下，控制精度均可達到1 mm。