往復運動速度規劃算法對曲線磨削的影響研究

謝朝瓏 許黎明 王昆梓 周 超 趙 達

上海交通大學機械與動力工程學院，上海，200240

0 引言

往復加工形式常見于磨削、刨削等金屬切削中，加工過程往往呈現加速度大和斷續加工的特點，所帶來的剛性沖擊和柔性沖擊會直接影響加工過程的平穩性，從而影響產品的加工質量、能源效率乃至機床的壽命。曲線磨削作為一種精密加工方式，可加工復雜輪廓曲線，加工面就是以曲線為加工母線的輪廓曲面，輪廓曲面就是通過圓弧砂輪的上下往復運動(或稱沖程運動)疊加水平插補運動形成的包絡面。傳統的光學曲線磨削通常采用曲柄滑塊機構來實現砂輪的沖程運動，沖程速度的變化規律主要由硬件決定。隨著曲線加工方式的不斷改進，砂輪的往復運動從傳統的機構實現發展到伺服驅動實現，為運動速度的柔性規劃提供了條件，但目前主要還是以梯形和S形速度規劃為主，因此，亟需針對沖程運動要求研究優化其速度規劃算法及其對加工過程的影響，這對提高加工過程平穩性、保證產品加工質量和降低能源消耗均具有非常重要的意義。

目前，相關研究多集中于數控加工進給速度的規劃算法，常見的有直線加減速控制方法、指數加減速控制方法和S形加減速控制方法[1-2]。直線加減速控制方法與指數加減速控制方法在加減速階段存在加速度突變，由此產生的慣性力瞬變會激勵機床產生振動，影響加工質量。為此，很多學者研究了保證加速度乃至加加速度(急動度)連續的加減速規劃方法，主要包括提高速度規劃多項表達式的階數、利用無限可導的函數等。李志杰等[3]提出了一種急動度無突變且起止端連續的加減速曲線控制方法，加速度曲線由三角函數與直線組成，與純三角函數相比曲線可控性更強。ZHANG等[4]在數控加工中利用B樣條曲線對刀具軌跡進行了光滑處理，基于線性規劃算法提出以進給運動學參數為多約束條件的連續幾何軌跡時間優化方法，提高了輪廓加工性能和加工效率。HUANG等[5]在五軸數控加工過程中，利用分段多項式輪廓分別規劃直線軌跡和角軌跡，并提出一種時間同步的雙向掃描方法，使速度整體連續，與傳統方法相比，該方法減小了輪廓加工誤差。吳繼春等[6]根據加工路徑的幾何形狀特性對加工路徑進行細分，在連續急動度的基礎上對每段路徑進行速度規劃，使其能夠滿足加工過程中機床的動態特性要求。JAHANPOUR等[7]提出了一種自適應急動度限制的非均勻有理 B 樣條曲線插值方法，仿真結果證明插值算法能夠提供平滑的進給速度過渡，并滿足整體加工時間的要求。WANG等[8]提出了一種基于預插值和前瞻性插值的三角函數速度規劃算法，實現了速度、加速度、加加速度的平滑控制，減小了弦誤差，實現了高質量的數控加工。

軌跡規劃是機械手軌跡控制的基礎，其性能對機械手工作效率、運動平穩性等具有重要影響。賈山等[9]對可移動著陸器腿足機構各關節空間內的運動軌跡進行了以時間-急動度最優為目標的優化規劃，建立了軌跡優化模型，通過多種群遺傳算法對模型進行搜索求解，減小了著陸器腿足機構運動過程中的沖擊和振動。朱世強等[10]以機械手作業效率為優化目標，采用7次B樣條曲線插值方法構造了急動度連續的關節軌跡，并通過求解最優時間節點，規劃出了時間最優脈動連續軌跡，使機械手能快速平穩地跟蹤空間任意指定軌跡。FANG 等[11]利用分段S形Logistic函數建立了一種急動度規劃，用以滿足機器人高速和精密操作的要求，生成的軌跡在給定的速度、加速度和急動度條件下連續可微，這種S曲線模型比傳統函數模型具有更高的效率，同時避免了傳統高次多項式模型的復雜性。CONSTANTINESCU 等[12]提出了機械手路徑約束下運動平滑和時間優化的軌跡規劃方法，將驅動器扭矩作為限制條件，將急動度作為被控輸入量，將時間作為優化目標，設計出了一種時間優化的平滑軌跡。BEAREE等[13]提出了一種通過急動度限制的軌跡規劃抑制時變振動的方法，并將其應用于三軸笛卡兒機械手，有效減小了機械手工作中的振動幅度，并在一定程度上提高了作業效率。

基于軌跡規劃的能耗研究相對較少，ZHOU等[14]提出了一種節能型軌跡規劃方法，用于機器人高速銑削復雜曲面，該方法建立了機器人加工系統的能量特性模型和具有復雜約束條件的軌跡規劃模型，結果表明該方法顯著降低了加工能耗，并提高了軌跡規劃的效率，該方法有待集成進入制造系統。

上述研究結果在實現加速度、加加速度等運動學參數的平滑控制方面對往復加工運動的速度規劃具有借鑒意義，但往復加工具有往復頻率高、切削斷續的特點，其往復速度規劃不同于常規數控進給加減速規劃和機械手軌跡規劃，而且對于曲線磨削來說，沖程運動的速度規劃和加工過程平穩性、加工表面質量和加工能耗之間的關系還有待深入研究。為此，本文首先討論了沖程運動速度規劃的設計方法，然后研究了優化急動度空間分布的速度規劃算法，并對不同規劃的運動學性能進行了比較，分析了不同速度規劃對加工過程中磨削力的平穩性、工作能耗和加工表面粗糙度的影響。最后，綜合理論和實驗研究，得出磨削沖程速度規劃的優化結果。

1 沖程運動速度規劃算法和仿真分析

1.1 傳統運動規劃

傳統速度規劃包括梯形速度規劃、S形速度規劃、正弦速度規劃等。首先，在無勻速段條件下，速度由勻加速和勻減速段組成，設時間變量為t，沖程運動的單程時間為T，往復頻率為f，單程距離為s。利用MATLAB進行仿真，同時設f=1.25 Hz，s=40 mm，可以得到梯形速度規劃、S形速度規劃以及正弦速度規劃的單程速度規劃的速度v，加速度a以及急動度j,仿真結果如圖1a所示。在有勻速段條件下，設勻速段時間為T/2，梯形速度規劃以及S形速度規劃仿真結果如圖1b所示。

(a)無勻速段

(b)有勻速段圖1 傳統沖程運動的速度規劃

可見，梯形規劃的加速度在啟動、停止、勻速前后節點均有加速度的跳變，應用于沖程運動，急動度不連續，且在無勻速段的行程中點發生突變，存在較大的柔性沖擊。S形規劃的急動度有限，與梯形速度規劃相比，避免了較大的沖擊，但急動度隨時間變化不連續，在無勻速段的行程中點出現急動度跳變，會對系統產生一定的柔性沖擊。正弦速度規劃相對梯形速度規劃與S形速度規劃更為平滑，同時急動度連續可導，但無法實現勻速段加工，同時在行程中點的急動度最大。

傳統曲線磨床的砂輪往復運動由曲柄滑塊機構實現，運動曲線近似于正弦規劃，可歸為一類，但受結構所限，其運動形式固定，運動過程存在一定的不對稱性。

1.2 改進急動度空間分布的運動規劃

1.2.1正弦疊加梯形速度規劃(Ⅰ型速度規劃)

該運動規劃定義為將梯形速度規劃中的加速度疊加一個周期的正弦波動，消除梯形速度規劃中加速度與急動度的突變，這樣不僅可以實現急動度連續，而且使沖程半周期里行程起始點、中點與終止點的急動度都為0。加速度函數a(t)可表示為

(1)

其中,a1、a2分別為運動過程中的加速度與減速度幅值，t1、t2分別為加速時間與減速時間。在給定f=1.25 Hz、s=40 mm時,利用MATLAB對運動過程進行仿真，無勻速段與有勻速段(時長為T/2)的單程運動規劃仿真結果分別如圖2a和圖2b所示。結果表明，急動度連續，運動過程平滑，行程中點的急動度為0。由于起點、終點加速度均為0，也適合單次往復運動使用。

(a)無勻速段

(b)有勻速段圖2 Ⅰ型速度規劃

1.2.2加速度前瞻速度規劃(Ⅱ型速度規劃)

該規劃同時改進急動度和加速度的空間分布，設計目標為：①保證行程中點的急動度最??；②磨削沖程兩端以最大加速度過渡，提高運動效率，降低規劃的最大急動度；③可實現加工段的勻速。當有勻速段時，單程運動可分為三段，即減加速段(t

先設計減加速段：由于在端點處加速度是極大值點，因此此時急動度為零。同時，要求急動度在行程中點即t=tm(無勻速段)時為零，建立急動度函數：

j(t)=-jmaxsin(πt/tm)

(2)

式中,jmax為急動度的最大值。

設a在t=0處有最大值，在t=tm處為0，由此可推導出運動學參數軌跡方程如下：

(3)

由式(3)可計算最大加速度和最大速度分別為

(4)

同樣，加減速段可根據減加速段進行對稱設計。行程給定后，jmax與tm的關系就唯一確定了。下面討論無勻速段和帶勻速段兩種模式的運動規劃：

(1)無勻速段模式。根據對稱性，往復運動周期的急動度函數為

(5)

同樣，設f=1.25 Hz，s=40 mm，由式(2)、 式(3)、 式(5)，仿真得到運動曲線如圖3a所示，行程中點的急動度為零，減小了加工中的柔性沖擊。

(2)有勻速段模式。行程中間帶勻速加工段，單程急動度函數為

(6)

單程加速度函數為

a(t)=

(7)

單程速度函數為

v(t)=

(8)

單程位移函數為

s(t)=

(9)

在無勻速加工模式中的T/2及3T/2處插入兩個勻速段,不影響原有的連續性,給出勻速加工段長度后即唯一確定了速度規劃。設往復頻率和行程同上，單程勻速段時長為T/2，仿真結果如圖3b所示，整體急動度連續，加工段急動度為零。

(a)無勻速段

(b)有勻速段圖3 Ⅱ型速度規劃

1.3 不同速度規劃的性能比較

在往復頻率f=1.25 Hz、單程s=40 mm且無勻速段時，不同速度規劃的運動學性能仿真結果見表1。表中，jmid代表行程中點的急動度。結果表明，所設計的Ⅰ型和Ⅱ型速度規劃不僅急動度連續，而且行程中點的急動度均為0。雖然正弦速度規劃的最大急動度也較小，但其最大急動度出現在行程中點，且最大速度大于Ⅱ型規劃最大速度，對能耗也會產生影響。梯形和S形規劃的急動度均不連續，且最大值同樣分布在行程中點。

表1 無勻速段不同速度規劃的運動學性能比較

同樣，有勻速段條件下，勻速段時長占行程時長的一半，其他參數不變，比較不同速度規劃的運動學性能，見表2。結果表明，所設計的速度規劃均在急動度上連續，其中Ⅱ型規劃的最大速度、最大加速度與最大急動度均最小。與無勻速段規劃相比，帶勻速段規劃的最大加速度和最大急動度均呈大幅上升。

表2 有勻速段不同速度規劃的運動學性能比較

1.4 不同速度規劃功耗分析

上下往復運動系統在上行過程中需要克服重力做功，在不考慮摩擦及阻尼等能量損耗的情況下，不同速度規劃的理想功率P(t)為

(10)

在一個周期T內的能耗為

(11)

式中，mgw為砂輪架質量；g為重力加速度；h為絲杠導程；Jmz為驅動電機輸出軸轉動慣量。

在往復頻率f=1.25 Hz、單程s=40 mm且無勻速段條件下，不同速度規劃的理論最大功率如表3所示。梯形速度規劃的峰值功率最大，Ⅰ型速度規劃次之，正弦速度規劃的峰值功率較小，而Ⅱ型速度規劃峰值功率最小，說明它對電機的驅動能力要求最小。

表3 不同速度規劃理論最大功率

2 速度規劃對磨削力平穩性的影響

2.1 實驗條件和方法

實驗主要研究不同運動規劃對砂輪架運動的平穩性、磨削力平穩性和零件加工表面粗糙度的影響。實驗平臺為自主開發的曲線磨削樣機，結構原理如圖4所示，設備由機械系統、運動控制系統及視覺系統構成。砂輪架往復運動由Z軸伺服驅動實現，砂輪旋轉由電主軸驅動。砂輪的平面運動由U、V伺服軸控制。工件安裝在工作臺上，由X軸、Y軸直線電機驅動實現平面運動。視覺系統用來獲取加工曲線的輪廓圖像，在線監控加工輪廓誤差。

圖4 曲線磨削試驗樣機結構圖

運動控制器采用Trio公司的MC4N-ECAT，Z軸驅動采用松下伺服位置控制模式，砂輪架沖程運動的速度規劃通過數控系統的電子凸輪功能實現，速度規劃軌跡的理論與實際偏差小于0.3%。實驗采用薄型雙斜圓弧鉻剛玉砂輪，型號為P150×6×32PA120k8V35，砂輪刀尖為圓弧，輪廓如圖4所示。試件材料為高速鋼，硬度為67HRC，厚度為16 mm，兩側設計了均勻分布的凸臺，凸臺的寬度為6 mm，間距為6 mm，如圖5所示。每個凸臺可用作一次加工實驗，上面標簽代表不同組別，這樣可以減少工件裝拆及對刀次數。

圖5 實驗加工工件

測力儀固定在工作臺上，修整輪與工件安裝在測力儀上，如圖6所示。工件坐標系為O1XYZ，砂輪坐標系為O2UVZ，力坐標系為O1FXFYFZ,FX、FY、FZ分別代表軸向、法向和切向磨削力。

圖6 速度規劃加工實驗裝置圖

實驗流程設計如下：

(1)砂輪修整。每次加工前修整砂輪，砂輪進給速度為1.5 mm/s，進給量為0.015 mm。

(2)修整完畢后移動砂輪至加工位置，按照設定好的砂輪架的速度規劃，對實驗指定凸臺表面進行初次加工，設置磨削深度為0.01mm，進給速度為0.02 mm/s，往復行程為40 mm，往復頻率為1.25 Hz。

(3)二次加工同一凸臺表面，加工參數不變，加工中采集磨削力等過程信號。

(4)改變沖程速度規劃類型，重復步驟(1)～步驟(3)，加工下一凸臺。工件所有凸臺表面加工完畢后，進入步驟(5)。

(5)將工件取下測量所有凸臺表面粗糙度。

2.2 實驗結果與分析

往復曲線磨削加工是一種需要持續軸向進給的點磨削，實驗中在加工穩定狀態連續采集300 s的磨削力信號，將原始磨削力信號經過高通濾波處理，計算出三個方向狀態信號的極差值與均方根值，以此來衡量磨削力的平穩性。在時變和均勻條件下，速度規劃對磨削力平穩性的影響結果分別如表4和表5所示，圖7描繪了速度規劃對磨削力極差值的影響。

表4 沖程速度時變時磨削力統計結果

表5 沖程速度均勻時磨削力統計結果

(a)時變加工

(b)勻速加工圖7 不同速度規劃下的磨削力極差值

分析可見，在加工段速度時變條件下，梯形和S形速度規劃的磨削力極差大，平穩性相對較差。正弦和Ⅰ型速度規劃的磨削力平穩性相對較好，而Ⅱ型速度規劃下磨削力最小，平穩性也最好。在加工段勻速條件下，相對于時變條件，梯形規劃尤其是S形規劃的磨削力平穩性得到一定的提高，而Ⅱ型速度規劃下的切削力總體幅值和波動依然最小。

總體來看，曲線沖程磨削時， Ⅱ型速度規劃的磨削力最小，平穩性也最佳，其切向力和法向力波動較梯形規劃減小了30%以上。Ⅰ型規劃與正弦速度規劃的磨削力平穩性比較接近，而梯形速度規劃的磨削力及其波動均最大。

3 速度規劃對加工表面粗糙度的影響

基于第2節介紹的實驗條件和方法，完成磨削試驗后，測量各個凸臺加工表面粗糙度的分布情況，工件表面如圖8所示?？梢钥闯龉ぜ庥^質量好，表面光滑，呈現一定的反光效果。粗糙度的測點布置如圖9所示，其中圖9a為軸向粗糙度測點布置圖，7個均布測點的測量方向垂直于沖程運動方向；圖9b為沖程運動方向(切向)粗糙度測點布置圖。在加工段沖程速度時變和均勻條件下，分別計算不同速度規劃對應的加工表面軸向粗糙度平均值、標準差和極差值，重復三次實驗，統計結果如表6所示，不同速度規劃的軸向表面粗糙度平均值分布如圖10a所示。

圖8 加工后工件表面圖

(a)軸向粗糙度測點 (b)切向粗糙度測點圖9 粗糙度測點分布

表6 不同速度規劃對應的軸向粗糙度統計值

結果表明，勻速加工的軸向表面粗糙度要小于時變加工的軸向表面粗糙度，同時各速度規劃下軸向粗糙度均值差別較小，極差也基本一致。在時變加工條件下，Ⅱ型、Ⅰ型規劃和正弦規劃對應的軸向粗糙度極差最小，約為梯形和S形的50%，而Ⅱ型和Ⅰ型規劃粗糙度平均值最小，約比梯形和S形規劃粗糙度平均值減小了20%，反映了粗糙度大小和急動度的空間分布、幅值均相關，切削過程中優化急動度空間分布、抑制急動度均利于加工表面質量。

同樣，在加工段沖程速度時變和時不變條件下，分別計算不同速度規劃對應的加工表面切向粗糙度平均值、標準差和極差，重復三次實驗，統計結果如表7所示，切向粗糙度平均值分布如圖10b所示。結果表明，不論沖程速度是均勻還是時變，Ⅰ型和Ⅱ型規劃的平均切向粗糙度均較小, 在勻速條件下，Ⅰ型和Ⅱ型規劃的平均切向粗糙度約比梯形和S形速度規劃減小20%；在時變條件下，Ⅱ型規劃的切向粗糙度最小，約比梯形規劃小30%，比正弦規劃也減小了20%以上。因此，急動度的空間分布和幅值對切向粗糙度的影響相較軸向粗糙度更大。

表7 不同速度規劃對應的切向粗糙度統計值

(a)軸向

(b)切向圖10 不同速度規劃下加工表面平均粗糙度

總體來看，不同速度規劃對切向粗糙度的影響要大于對軸向粗糙度的影響，Ⅱ型規劃條件下的加工表面粗糙度最小，這一方面是由于空間急動度分布合理且幅值較小，減小了對加工表面的沖擊，另一方面，即使是時變加工條件下，Ⅱ型規劃相比其他速度規劃在行程的中間最接近勻速，因此時變加工和勻速加工的表面粗糙度結果比較一致。

4 速度規劃對加工能耗的影響實驗

實驗平臺見第2節，實驗條件與1.5節中理論功率的計算條件一致，采用中創智合型號為ZH-40074的功率采集器實時采集驅動電機的功率，采樣周期為40 ms，分析得出不同速度規劃對應的實際峰值功率，并與式(10)算得的理論功率進行比較，結果如圖11所示。

圖11 不同速度規劃下的電機能耗比較

由結果分析可見，梯形速度規劃的驅動實際峰值功率最大，而Ⅱ型速度規劃的實際峰值功率最小，與梯形速度規劃相比，功率要求降低了35%。在不同速度規劃條件下，實驗所測得的沖程運動峰值功率要大于理論功率但趨勢一致，這是由于實際工況存在各種阻尼、摩擦等能量損耗，以及理論計算未考慮驅動器本身消耗功率。實驗和理論結果都表明，提高運動過程的平穩性，以及優化加速度空間分布即在沖程兩端實現最大加速度過渡，均有利于降低工作能耗和電機驅動功率需求。

5 結論

(1)往復運動速度規劃影響運動過程平穩性。梯形速度規劃的磨削力及其波動性最大，正弦速度規劃的磨削力平穩性與S形規劃接近。Ⅱ型規劃優化了急動度和加速度的空間分布，降低了最大急動度，磨削力平穩性最好，相比梯形速度規劃，其切向力與法向力波動減小了30%以上。

(2)通過降低往復運動急動度的大小和改進急動度的空間分布，可以降低柔性沖擊對加工表面質量的影響。不同速度規劃對切向粗糙度的影響要大于對軸向粗糙度的影響，Ⅱ型規劃條件下的加工表面粗糙度最小，比梯形規劃減小約25%。

(3)沖程加工區勻速條件有助于提高梯形和S形速度規劃下的磨削力平穩性，減小軸向表面粗糙度，但同時也增大了整個運動過程的最大急動度。

(4)速度規劃對電機驅動能耗有較大影響，減小急動度、改進加速度空間布局有利于降低沖程運動工作能耗。梯形、S形和Ⅰ型規劃的能耗較大，正弦速度規劃的能耗較小，而Ⅱ型規劃的能耗最小，與梯形規劃相比，能耗降低約35%。