隨機多孔碳纖維紙的非線性面外壓縮本構模型

石姍姍，呂航宇，呂超雨，蘇智博，孫 直

(1. 大連交通大學機車車輛工程學院，遼寧，大連 116028；2. 大連理工大學工業裝備結構分析國家重點實驗室，遼寧，大連 116023)

碳纖維紙在先進能源以及先進環境材料領域中有廣泛應用前景，如功能材料、電化學材料和新能源材料等[1?6]，其主要服役狀態為面外壓縮。大量的實驗和分析研究[7?12]表明，碳纖維紙的面外壓縮變形對其力學、熱學、電學性能以及流體性能具有顯著影響[7?15]。碳纖維紙不同于分布規則的碳纖維編織結構[16?18]，具有隨機散亂的結構特征，其微觀結構由雜亂的短切碳纖維形成低密度多孔結構，空間幾何分布類似于無紡布。這種散亂的多孔結構與現有模型有很大差別，其性能隨微孔半徑大小而改變[19]，導致碳纖維紙的應力-應變關系不同于常見的均勻材料或連續材料，并呈現出明顯的非線性特征。

目前，針對碳纖維紙的研究主要集中于化學處理和微納觀改性領域[20?24]，相關的力學研究較少。對于碳纖維紙的力學性能與耦合性能，多采用實驗測量，并根據實驗結果進行初步的數值分析。高源等[25]使用隨機重構技術建立三維微孔隙結構模型，通過改變孔隙率、纖維直徑和燃料電池的氣體擴散層厚度等參數觀測碳纖維紙的滲透率的變化趨勢。GARCíA-SALABERRI 等[26]充分考慮了碳纖維紙的非線性特點，通過大量的實驗數據，擬合了碳纖維紙的非線性應力-應變關系。該模型高度依賴于實驗數據的數量和有效性，不利于實際使用，尤其是碳纖維紙型號改變的時候，其應力-應變關系會隨著孔隙率、有機質含量、單胞尺寸等參數劇烈變化。BAHRAMI 等[6]基于梁理論，預測壓縮載荷作用下碳纖維紙變形的力學解析模型。BAHRAMI 模型考慮了碳纖維紙的微觀纖維分布與纖維彎曲變形，但該模型是線性的，只能在很小的范圍內與實驗數據吻合。ZHANG 等[27]建立了碳纖維紙的隨機微觀結構，研究發現接觸對和孔隙率是決定壓縮非線性的2 個關鍵因素。實際上，碳纖維紙在壓縮載荷下，內部孔隙會不斷減小，導致結構孔隙率下降，實體率上升，微觀結構逐漸密實，從而引發碳纖維紙的彈性模量隨壓縮應變的增加而快速增加。針對碳纖維紙的非線性應力-應變關系，只有建立一種可以反映其特征的非線性本構模型，才能準確預測碳纖維紙的性能，進而更準確地分析碳纖維紙的力-電性能、力-熱性能、力-滲透性能等多場耦合性能。然而，目前尚缺少有效的非線性碳纖維紙本構模型。

為建立有效的非線性本構模型，本文針對碳纖維紙微結構的隨機多孔特點，提出了兩種本構模型，分別是全面考慮微結構孔隙率、單胞尺寸變化及微結構彎曲與接觸變形的對數型模型，以及忽略赫茲接觸變形的冪函數型簡化模型。首先選取典型六面體微結構作為碳纖維紙的代表性單胞結構，將碳纖維紙的壓縮變形分解為接觸變形和彎曲變形兩部分。分別使用赫茲接觸理論和彎曲梁理論分析典型纖維的接觸變形和彎曲變形，并考慮壓縮變形過程中，結構的孔隙率變化，及其對纖維直徑、單胞長度、微結構單元面積等相關幾何參數的影響，得到碳纖維紙的非線性本構關系。基于三種商品化的碳纖維紙的應力-應變實驗數據，分析對比本文提出的兩種本構模型的適用范圍。

1 非線性面外壓縮模型

1.1 碳纖維紙的代表性六面體單胞

碳纖維紙的多孔結構由雜亂且低密度的短切碳纖維組成，如圖1 所示。觀察俯視視角和橫截面視角的掃描電鏡圖片，可以發現碳纖維在平面內的分布表現為隨機長度和隨機角度的四邊形(圖1(a))；在厚度方向的分布表現為較為規則的堆疊(圖1(b))。根據碳纖維紙中碳纖維的實際分布規律，本文選用六面體作為碳纖維紙的代表性單胞，如圖2 中虛線所示。六面體單胞四周為4 個矩形，高度是碳纖維直徑的4 倍；上、下表面為隨機四邊形，邊長、單胞面積等參數的統計值詳見表1。每個代表性六面體單胞包含2 根橫向纖維和2 根縱向纖維(第1 層含1 根完整的橫向碳纖維，第3 層含有2 個半根的橫向碳纖維。同理，第2 層、4 層各含有1 根縱向碳纖維)。

圖1 碳纖維紙掃描電鏡圖片Fig. 1 SEM images of commercial carbon fiber papers[8]

圖2 碳纖維紙的代表性六面體單胞示意圖Fig. 2 Schematics of the proposed typical hexahedral unit cell model for the carbon fiber papers

1.2 接觸變形

碳纖維紙最重要的力學行為是厚度方向上的壓縮變形。當六面體單胞承受壓縮應力時，水平方向纖維與相鄰的垂直纖維發生緊密接觸而產生非線性接觸變形，如圖3 所示。它是碳纖維紙的主要變形方式之一，也是碳纖維紙發生非線性力學響應的重要原因。

圖3 碳纖維紙接觸變形模式示意圖Fig. 3 Schematics of contact deformation with use of Hertz's contact model

表1 給出了幾種商用碳纖維紙的力學性能和幾何參數。根據這些數據，可以發現碳纖維紙六面體單胞的平均長度(119 μm～136 μm)遠大于平均纖維直徑(6.95 μm)。因此，六面體單胞內纖維可以近似認為無限長圓柱體，碳纖維間的接觸為無限長圓柱的正交(垂直)赫茲接觸。

表1 商用碳纖維紙的力學性能和幾何參數Table 1 Mechanical properties and geometric parameters of commercial carbon fiber papers

根據正交赫茲接觸[30]圓柱的載荷-位移關系，得到：

式中：P和u分別為單胞所承受的壓縮載荷和壓縮位移；E、D和ν分別代表碳纖維的彈性模量、單根纖維的直徑和碳纖維單絲的泊松比。由式(1)可以分別得到單胞平均壓縮應力和赫茲接觸變形引起的平均壓縮應變：

1.3 彎曲變形

如圖4 所示，碳纖維紙代表性單胞在受到壓縮載荷時，具有一定長度的纖維與纖維接觸點會構成三點彎曲。因此，單胞內除了會產生接觸變形外，還會產生彎曲變形。彎曲變形是碳纖維紙的另一種主要變形方式。

圖4 碳纖維紙彎曲變形模式示意圖Fig. 4 Schematics of bending deformation with use of beam bending model

對碳纖維紙結構的彎曲變形，BAHRAMI 等[6]利用歐拉-伯努利梁理論成功地建立了碳纖維紙六面體單胞的彈性本構模型。由于彎曲纖維所受彎矩和變形與纖維間的夾角無關，歐拉-伯努利梁理論同樣適用于六面體單胞中的交叉纖維。因此，壓縮載荷下六面體單胞的纖維彎曲變形引起的壓縮應變[6]可以表示為：

1.4 考慮赫茲接觸影響的對數型模型

碳纖維紙代表性單胞在受到壓縮載荷時，主要發生2 種變形，即接觸變形和彎曲變形。其中，接觸變形主要發生在纖維之間的接觸點，如圖3 所示；彎曲變形主要體現為纖維軸線在厚度方向上發生撓度，如圖4 所示。在模型中，兩種變形同時發生，單胞的壓縮位移等于兩種變形位移之和。根據式(5)和式(8)，可以得到 dε 和 dσ之間的微分關系如下：

由式(10)計算得到的碳纖維占比均大于碳纖維紙的實測實體率，這說明碳纖維紙內含有大量空隙。考慮纖維分布的隨機性，假設空隙均勻分布，可以得到單胞的充盈率 η。若 η=1，則說明碳纖維紙被六面體單胞充滿；若 η＜0，則碳纖維紙內含有 η的六面體單胞與1?η的空隙。單胞的充盈率 η可由碳纖維紙的實測孔隙率與單胞理論孔隙率之比得到：

隨著壓縮位移與應變的增加，碳纖維紙會變得越來越密實(碳纖維的體積不變，碳纖維紙的體積減小)，即碳纖維紙的單胞充盈率會隨著壓縮應變增加而增加。忽略泊松效應對碳纖維紙單胞幾何尺寸的影響，單胞名義充盈率 η?可表示為：

式(12)顯示，在壓縮載荷下，隨著名義應變( ε＜0)的減少，單胞名義充盈率η*可能會大于1，這表示厚度方向上原本未接觸的碳纖維發生了更多的接觸，導致單胞尺寸變小、數量增加。本文近似地認為其對彈性模量的影響是線性的。

將式(12)代入式(9)，得：

通過對式(13)進行兩邊積分，可得到碳纖維紙的對數型本構關系：

1.5 同時考慮孔隙率和單胞尺寸的冪函數型模型

若進一步考慮壓縮變形時，結構堆疊將對單胞尺寸產生影響。隨著名義應變 ε的變化，例如，當名義應變達到?0.5 時，單胞尺寸縮小為l· (1?0.5)，則單胞長度l可寫為：

式中，l0為壓縮變形發生前單胞長度。

由于接觸等效模量Ec和彎曲等效模量Eb與單胞尺寸的關系不一樣，若同時考慮兩種等效模量隨單胞尺寸的變化，微分方程將無法分離變量，會給求解帶來不便。而且隨著壓縮變形持續增加，接觸變形的影響會變小，壓縮變形導致的單胞尺寸變化對碳纖維紙應力-應變關系的作用變得明顯。因此，本節只分析彎曲等效模量隨單胞尺寸的變化，并建立相應的應力-應變關系。

對彎曲等效模量，根據BAHRAMI 等[6]模型，可得：

同時考慮孔隙率的變化，由式(12)、式(15)和式(16)，可以得到：

即：

通過對式(18)進行兩邊積分，可得到碳纖維紙的冪函數型本構關系：

2 結果與討論

本節中，采用表1 給出的SGL24AA、SGL25AA和SGL10BA 三種商用碳纖維紙的力學性能和幾何參數，將1.4 節和1.5 節中提出的全面考慮微結構孔隙率、單胞尺寸變化及微結構彎曲與接觸變形的對數型模型和忽略赫茲接觸變形的冪函數型簡化模型，與這三種商用碳纖維紙實驗所測應力-應變關系曲線進行對比分析。由于SGL10BA 這類碳纖維紙中含有聚四氟乙烯或熱塑性樹脂等有機物，這將對其力學本構關系產生影響，因此本節將分別討論有、無額外有機物的碳纖維紙。

2.1 無有機物碳纖維紙的本構模型驗證

如圖5 所示，三角曲線分別代表了SGL 24AA 和 SGL 25AA 商業碳纖維紙應力-應變曲線的實驗測試值；圓點曲線代表對數型本構模型；方形曲線代表冪函數型本構模型；直線代表線性本構模型[6]。可以看出，針對SGL 24AA 和 SGL 25AA 這兩類碳纖維紙，冪函數型本構模型與實驗測量值呈現出高度吻合，冪函數型模型具有良好的非線性特征。對數型本構模型與實驗數據具有相似的模量強化趨勢，線性本構模型與實驗結果相差最遠。

圖5 對數型本構模型、冪函數型本構模型與線性本構模型和實驗應力-應變曲線的對比圖Fig. 5 Comparison of experimental stress-strain curves with the logarithmic-type model，the power-function-type model and the linear bending model

考慮到碳纖維紙最優夾緊力為0.77 MPa[31]，為了有一個更全的覆蓋面，本文將討論的壓縮應力區間設定在0.4 MPa～1.2 MPa。如圖6 所示，對于SGL 24AA 碳纖維紙，在其壓縮應力為0.4 MPa～1.2 MPa 時，線性本構模型分析得到的應變值與實驗測得的應變平均值絕對誤差值區間為41.8%～76.6%，對數型本構模型分析得到的應變值與實驗測得的應變平均值絕對誤差值區間為2.0%～41.8%，而冪函數型本構模型分析得到的應變值與實驗測得的應變平均值絕對誤差值區間為0.1%～35.0%。對于SGL 25AA 碳纖維紙，對數型本構模型分析得到的應變值與實驗測得的應變平均值絕對誤差值區間降為0.1%～37.5%；冪函數型本構模型與實驗測得的應變平均值吻合度最高，最大絕對誤差值為1.3%～33.1%；與SGL 24AA 碳纖維紙相比，線性本構模型分析得到的應變值與實驗測得的應變平均值之間誤差更大，絕對誤差值區間為41.5%～79.8%。

圖6 對數型本構模型、冪函數型本構模型與線性本構模型和實驗應力-應變曲線誤差絕對值對比圖Fig. 6 Comparison of absolute error values with experimental stress-strain curves between the logarithmic-type model，the power-function-type model and the linear bending model

對比SGL24AA 和SGL25AA 碳纖維紙的應力-應變實驗數據與線性、對數型本構及冪函數性本構預測結果，可以發現：首先，本文提出的兩種本構模型的相對誤差均遠小于線性本構模型[6]，其主要原因為線性本構未考慮壓縮過程中纖維因接觸點增加而發生的應變強化。其次，當碳纖維紙孔隙率增加時(SGL25AA 的孔隙率大于SGL24AA)，本文提出的兩種非線性本構模型的相對誤差也會增加。這可能是因為孔隙率較大時，微觀結構隨機性更大，造成預測誤差的增加。最后，對比本文提出的兩種本構模型，可以發現在較高應變下，考慮接觸變形的對數型本構模型和冪函數本構模型模擬結果相差較大，這主要是碳纖維紙孔隙率和彈性模量隨應變改變造成的。在壓縮應變較低時，彎曲變形明顯大于接觸變形，忽略接觸變形的冪函數型簡化模型具有形式更簡單的優點，且在壓縮應變較低時與對數型本構模型相差不大。隨著壓縮應變的增加，碳纖維紙的孔隙率減少、彈性模量成倍增加。此時，忽略接觸變形與接觸剛度的影響隨著彈性模量的增加而增加，進而導致對數型本構模型和冪函數本構模型模擬結果相差較大。總體而言，冪函數型模型的參數較少，在準確性和便利性上更適合工程應用。

2.2 含有有機物的碳纖維紙本構模型驗證

SGL10BA 等碳纖維紙中含有較大比例的聚四氟乙烯或其他熱塑性樹脂，這將對其力學本構關系產生影響，本節將討論本文提出的本構模型對這類碳纖維紙的適用性。考慮到聚四氟乙烯或熱塑性樹脂的影響，需要在現有的對數型本構模型和冪函數型本構模型中引入修正因子 γ，其中 γ代表碳纖維紙中碳纖維含量比值。由于有機物的彈性模量均小于碳纖維模量，因此可認為有機物對碳纖維紙模量貢獻較小，碳纖維紙的彈性模量主要由其碳纖維在實體材料的比例 γ決定，式(14)和式(19)可以分別修正為：

圖7(a)為SGL10BA 碳纖維紙的應力-應變曲線。其中黑色三角為實驗測試值[29]；圓點曲線代表對數型本構模型；方形曲線代表冪函數型本構模型；黑色直線代表線性本構模型[6]。

圖7 SGL 10BA 碳纖維紙Fig. 7 SGL 10BA carbon fiber paper

對于SGL10BA 型碳纖維紙，紙的一側存在5%的聚四氟乙烯薄膜，因此碳纖維的實際含量需要相應減少5%，修正因子γ 為0.95。觀察圖7(b)所示的應力-應變曲線可以發現，本文所提出的對數型本構模型與冪函數型本構模型依舊具有一定的準確性，兩種模型的準確性均優于傳統的線性本構模型。

基于以上結果對比，可以發現碳纖維紙中的額外樹脂對其應力-應變關系有比較明顯的影響。對比三種本構模型的預測結果，全面考慮接觸變形、彎曲變形與孔隙率變化的對數型本構模型具有較好的魯棒性，適用范圍較廣；簡化后的冪函數型本構模型能夠較準確的預測樹脂含量較低的碳纖維紙的應力-應變關系；傳統的線性本構模型[6]對各種碳纖維紙的預測均有較大的誤差。本文提出的兩種本構模型的相對誤差均遠小于線性本構模型，其主要原因為線性本構未考慮壓縮過程中纖維因接觸點增加而發生的應變強化。對比本文提出的兩種本構模型，可以發現對數型模型的誤差最小，更適合含有機物碳纖維紙的理論與數值分析。

不過，在有額外有機物的條件下，三種本構模型與實驗結果的相對誤差均高于無有機物碳纖維紙，說明雖然有機物在碳纖維紙中含量較低，仍對其微觀變形機制和壓縮本構關系有較大影響。有必要根據碳纖維紙內的有機物分布，進行更深入的研究。

3 結論

本文針對碳纖維紙微結構隨機多孔的特點，提出了兩種非線性面外壓縮本構模型，分別是全面考慮微結構孔隙率、單胞尺寸變化及微結構彎曲與接觸變形的對數型模型，以及忽略赫茲接觸變形的冪函數型簡化模型。基于三種商品化碳纖維紙的應力-應變實驗數據，將本文提出的兩種本構模型與傳統的線性本構模型進行分析對比，得到以下結論：

(1) 對于本文涉及的多種典型碳纖維紙，作者提出的冪函數型本構模型與對數型本構模型均能夠描述材料的非線性應力-應變關系。兩種本構模型與實驗數據的相對誤差均明顯小于傳統的線性本構模型，可以為相關結構的仿真分析提供有效的本構模型基礎。

(2) 對于含樹脂等有機物較少的碳纖維紙，冪函數型本構模型與實驗數據的相對誤差最小，在最優加緊應力附近的相對誤差可低至0.1%。同時，由于冪函數型本構模型具有參數少的特點，僅通過一對應力-應變數據即可建立冪函數型本構，比較便于通過實驗測試得到。

(3) 對于含樹脂等有機物較多的碳纖維，由于這些隨機分布有機物的模量較低，降低了碳纖維紙的等效模量。本文引入了體積分數修正因子 γ，以考慮有機物雜質對碳纖維紙本構模型的影響。與實驗數據的對比顯示，修正后的兩種本構模型與實驗數據的相對誤差仍明顯小于傳統的線性本構模型，但其相對誤差的離散性較大，仍有待于進一步修正。