開放系統懸臂類結構的動力特性計算方法

付相球，潘旦光,2

(1. 北京科技大學土木工程系，北京 100083；2. 城市地下空間工程北京市重點實驗室，北京科技大學，北京 100083)

結構動力特性主要包括自振頻率、阻尼比和振型，是評價結構動力反應、抗震性能、損傷狀態的重要指標，被廣泛應用于結構地震反應分析、震害評估、健康檢測等結構工程領域。真實結構總是建立在場地之上，土-結構間存在相互作用，彼此形成具有能量傳遞的開放系統。研究[1?3]表明，相比于剛性基礎假定的封閉系統，場地條件降低了結構的頻率，增大了結構的阻尼。準確地計算結構動力特性，是結構抗震設計的基礎[4?5]，但考慮土-結構相互作用開放系統的結構動力特性的計算依然存在不少問題。

由于地基剛度計算的困難性和隨頻率變化的復雜性，以及地基的無限性，導致人們不得不尋求簡便方法來等效真實的開放系統。對于均質條件下的彈性半空間，如果不考慮地基土的動力效應，即可直接用地基靜剛度進行簡化計算[6]，這種方法忽略了地基土的阻尼效應和附加質量而導致地震反應誤差較大。為考慮輻射阻尼等效應，可利用解析解形成阻抗函數，因阻抗函數與頻率相關難以在時域中進行計算，由此提出了頻率無關的集總參數模型[7?9]。李昌平等[10]基于集總參數SR 模型，推導了簡化隔震結構模型動力特性參數表達式；王滿生和潘旦光[11]基于雙自由度集總參數模型，研究了不同土層對上部結構動力特性的影響；王國波等[12]分別采用Veletsos 和Richart 經驗公式對一個簡單的3 層框架結構計算地基的阻抗值，并以此為基礎對框架結構進行模態分析。SHI[13]針對層狀土層地基且考慮平動和轉動的耦合項，提出一種系統地生成集總參數模型的方法。KECHIDI 等[14]基于4 參數集總參數模型考慮輻射阻尼的影響，提出一種可直接應用于OpenSees 的基于性能的抗震設計方法。集總參數模型計算簡單，易于操作，但地基阻抗函數是基于有限頻率范圍下的均質土層得到，因此該方法計算精度有限且難以模擬復雜的結構和場地。

隨著數值計算的發展，截取有限范圍的土-結構相互作用有限元模型，其地震反應分析計算精度高，且可考慮各種復雜因素而得到廣泛的應用[15?17]，但對直接有限元模型進行模態分析時，存在土體范圍和人工邊界的選取缺乏統一性、結構模態識別工作量大的問題。鮑華等[18]對一基礎隔震的框架結構截取了不同深度、半徑為上部結構5 倍的圓柱土體模型，模型底部固定，四周豎向約束，得到結構自振周期隨著土體深度的增大而增大的結論。潘旦光等[19]在結構-土-結構相互作用的動力特性研究中，計算模型的側向采用了自由邊界，底部固定，土體寬度取了8 倍基礎寬度，研究了結構與土體的頻率比、基礎寬度與土體厚度的寬厚比對結構自振頻率的影響。李海山等[20]對一網殼結構截取了20 m 深度、5 倍于柱殼平面尺寸的土體，采用等效粘彈性邊界單元，與剛性基礎下的結構動力特性計算結果相比，體系基頻從1.869 Hz 降低到了0.565 Hz，且體系振型發生明顯改變。然而，一方面，振動臺實驗結果顯示，就算是軟土場地對結構自振頻率的降低效果也不會如此明顯[21?23]；另一方面，由現場模態實驗結果可知，建立在真實場地之上的結構具有穩定可測的模態[24?27]。理論上，數值模型的土域范圍增大時其模擬效果應該更好，這與隨土體范圍增大體系基頻不斷降低直至收斂到零相矛盾。這是因為，對整體有限元模型直接進行模態分析時，計算結果為土-結構系統的動力特性，而非結構本身的動力特性，因此不同土體范圍和人工邊界下的模態分析結果完全不同，當土體單元較多時，還需從成千上萬個系統模態中挑選出相應的結構振動模態。榮峰等[28]取深度范圍60 m、水平方向范圍為3 倍雙塔高層建筑橫向尺寸的地基，采用粘彈性人工邊界直接模態分析，結果顯示，有限元模型所涉及的頻率范圍很寬、頻率變化緩慢，很多模態都是場地土局部振動模態，前180 階模態中只有4 個模態是以上部結構振動為主，只能人為選取這4 個模態作為結構的前四階模態。潘旦光等[29]也曾對SSI 體系進行縮尺模型實驗和原型有限元分析，由于土體單元較多，有限元模態分析結果存在上萬階模態，只能從中匹配出相應的結構振動模態，這也給開放體系下結構動力特性的計算帶來了很大的困難。由此可知，因為直接有限元法得到的是系統的模態，為考慮半無限地基的輻射阻尼，當有限元模型采用粘性人工邊界時，此時體系存在剛體模態而導致基頻為0，對于粘彈性人工邊界則隨著土域范圍增大收斂至0；同時，模態分析結果中存在大量土域的模態，需要從中識別結構的振動模態，但目前還沒有明確的識別方法。

既然土-結構有限元模型可以有效地進行開放系統的土-結構相互作用地震反應分析，而結構的動力特性實際上體現的是結構在自由振動時表現的固有特點，因此完全可以通過某種方式激發結構的自由振動，由此識別結構的動力特性。真實建筑結構的現場模態試驗常利用大地脈動激勵近似白噪聲的特點，采用未知輸入下的模態識別方法得到包括土-結構相互作用效應的動力特性[30?33]。但從識別試驗結果看，采用已知輸入的模態識別方法的精度更高，實際工程結構采用無輸入下的模態識別是由于對工程結構施加激勵比較困難。但是，受這個試驗方法啟發，在開放體系動力特性的數值計算時，人為地施加一個脈沖信號，測量結構的動力反應，由此采用模態識別的方法計算開放系統下結構的動力特性。該方法首先建立土-結構相互作用開放系統的直接有限元模型，通過對結構施加脈沖荷載激發結構的自由振動反應，然后由實驗模態分析方法識別結構的動力特性。這種方法借助脈沖荷載下模態試驗技術，形成土-結構相互作用體系動力特性的數值計算方法，因此，將這種方法稱為脈沖荷載響應模態分析法。為驗證所提方法的有效性，以一個半無限空間上的懸臂類5 層框架結構為例，研究了所提算法計算結構動力特性的收斂性，并分析了脈沖荷載激勵點位置和土材料阻尼對計算結果的影響。在此基礎上，討論集總參數法、直接模態分析法和本文方法計算結果的差異。

1 脈沖荷載響應模態分析法計算理論

對于圖1 所示建立在半無限空間土域上的結構，為分析開放系統下結構的動力特性，截取有限土體，施加粘彈性人工邊界用以模擬波的輻射效應，建立二維土-結構相互作用直接有限元模型如圖2 所示。采用脈沖荷載激發結構的自由振動反應時，根據激勵點的多少可分為單輸入多輸出與多輸入多輸出2 類。不失一般性，本文以多輸入多輸出為例介紹所提方法的理論計算過程，單輸入多輸出方法作為一種特殊情況同樣適用。nf個脈沖荷載輸入下，有限元模型離散為n自由度體系的運動方程為：

圖1 半無限空間土域上的結構Fig. 1 A structure on soil of semi-infinite space

圖2 二維土-結構有限元模型Fig. 2 2-D finite element model of soil-structure interaction

將脈沖荷載稱為輸入，體系的動力響應稱為輸出。已知輸入和輸出，即可采用模態識別方法進行結構的動力特性的計算。本文以特征系統實現算法(ERA)[34]為例，討論已知脈沖荷載信號和結構動力反應信號下模態參數的計算問題。采用狀態空間法進行式(1)的求解[35]，即：

式中：abs 為取絕對值；real 為取實部。

上述即為脈沖荷載響應模態分析法的整體計算過程，不同于傳統的實驗模態分析方法，所提方法的“實驗過程”通過數值模擬完成，“實驗數據”來自于數值模型的動力計算結果，該方法結合了數值計算方便、計算精度高和試驗模態分析可直接得到結構部分的動力特性的優點，從而形成土-結構相互作用開放系統結構部分動力特性的計算方法。避免了整體有限元模型直接模態分析方法人為選擇結構振動模態的過程，直接得到結構的各階振型。

2 開放系統結構動力特性的收斂性

2.1 土-結構相互作用直接有限元模型

以一個半無限空間土域上的懸臂類5 層框架結構為例，框架的長度遠大于寬度，由此取其中一榀將結構簡化為平面問題進行分析，已知基礎寬度b=12 m，厚度h=1 m，密度為 ρb=2700 kg/m3，彈性模量Eb=30 GPa，泊松比μb=0.3；上部框架結構簡化為集中質量模型，各層的等效質量和側移剛度見表1。彈性半空間土域采用均質彈性土體，考慮到場地土體類型不同，土體的剪切波速不同。為此，以表2 所列5 種不同剪切波速討論土體波速對結構動力特性的影響。這部分內容為研究輻射阻尼效應導致的結構各模態阻尼比，因此計算過程不考慮結構、基礎和土體的材料阻尼。

表1 五層結構水平方向等效質量、剛度Table 1 Horizontal equivalent masses and stiffnesses of a 5-story struture

表2 不同波速土體參數Table 2 Soil parameters of different wave velocities

地基土采用半圓形土體模型，其中r=50 m 時的有限元模型如圖3 所示，土體與基礎均采用平面四邊形等參單元，懸臂結構采用集中質量模型，質量采用集中質量單元，層間剛度采用約束轉動自由度的梁單元模擬，土體的人工邊界采用粘彈性邊界，由彈簧單元模擬，彈簧的剛度系數和阻尼系數取為[38]：

圖3 土域半徑r=50 m 時土-結構有限元模型Fig. 3 Finite element model of soil radius r=50 m

式中：A0為脈沖荷載幅值，本算例取為1000 kN；B0控制脈沖段的持時，取1000；t0為脈沖中心時刻，取為2 s；為保證計算精度，時間步取為0.01 s，總時長為20.48 s，時程和傅里葉譜如圖4 所示。

圖4 脈沖荷載Fig. 4 Impulse load

2.2 計算結果分析

有限元模型建立后，由于懸臂類結構模型簡單，因此采用單輸入多輸出的激勵方式，在基礎水平方向施加脈沖荷載，計算結構體系的水平位移反應。其中，土體剪切波速為200 m/s、土域半徑r=50 m 時，計算得到結構底層與頂層的位移反應如圖5 所示，從中可以看出結構在脈沖荷載激勵后的自由振動衰減。

圖5 結構水平位移時程Fig. 5 Time history of horizontal displacements of the structure

為研究開放系統結構動力特性的收斂性，對不同土域半徑(r=20 m～1000 m)下的模型采用所提方法進行結構模態參數識別，得到不同剪切波速地基下結構前三階自振頻率與阻尼比隨土域半徑r的變化規律如圖6 所示。由圖6 可以看出：① 當截取的土域范圍較小時，結構動力特性計算結果存在波動，這主要是由人工邊界的反射效應引起的；② 隨著計算土域半徑r的增大，結構自振頻率和阻尼比均收斂到穩定值，說明本文方法可以有效地計算開放系統下結構的動力特性；③ 隨著地基土剪切波速增大，結構的各階自振頻率增大，阻尼比減小。

圖6 不同剪切波速地基下結構動力特性隨土域半徑r 的變化Fig. 6 Structure dynamic characteristics under different soil radius rof different shear wave velocities of soil

式中， λ1為土體在剛性基礎下結構基頻對應的波長，簡稱基頻波長。由此計算結構動力特性的相對誤差隨無量綱土域范圍d的變化曲線(圖7)。

由圖7 可以看出：① 隨著土域范圍變大，結構自振頻率與阻尼比相對誤差的整體趨勢變小；② 土域范圍較小時結構阻尼比相對誤差較大，當d≥2 時，各階自振頻率相對誤差小于1%，各階阻尼比相對誤差小于5%。對于本文算例此類結構尺寸相對于土域范圍較小的情況，以d≥2 作為截取有限土體范圍的依據可取得較高精度的計算結果。此時，地基土剪切波速越大所需的計算土域范圍越大，但同時單元尺寸也可相應地增大，因此不會增加額外的計算量。但對于大尺寸的結構，如水壩等大型公共設施，此時不能簡單地作為點源問題考慮，土域范圍應該根據實際情況適當增大。

圖7 不同剪切波速地基下結構動力特性相對誤差隨土域范圍d 的變化Fig. 7 The relative errors of dynamic characteristics under different soil range dand different shear wave velocities of soil

除自振頻率與阻尼比外，由式(13)可得結構的各階振型。圖8 為土體剪切波速200 m/s 下，r=400 m 時關于第五層幅值歸一的結構前五階振型。由于計算模型不包括材料阻尼，振型存在實部和虛部，表明由于土體輻射阻尼的存在，使得結構呈現了非比例阻尼的特征，與無阻尼或比例阻尼體系不同，此時各自由度振型幅值不會同時到達峰值點。

圖8 所提方法計算的結構五階振型示意圖Fig. 8 The five modes of the structure calculated by the proposed method

2.3 不同激勵點位置的影響

在錘擊法進行試驗模態分析時，激勵點應避開重要模態的節點。脈沖荷載響應模態分析法從原理上看與錘擊法相同，分析由脈沖荷載位置對模態分析的影響。為此，以基礎、1 層～5 層分別作為激勵點進行單輸入多輸出計算以及對結構所有自由度分別進行激勵，采用多輸入多輸出方法計算，識別結構自振頻率、模態阻尼比結果如表3、表4 所示。計算采用的模型為土域范圍r=400 m、土體剪切波速200 m/s。

表3 結構前五階自振頻率/HzTable 3 The first five-order frequencies of the structure

表4 結構前五階阻尼比/(%)Table 4 The first five-order damping ratios of the structure

計算結果表明，不同激勵點對結構動力特性的識別影響很小，自振頻率差異在1%以內，阻尼比差異在5%以內。這是由于算例中集中質量位置都不是模態節點，數值計算的精度高，任一集中質量位置作為激振點都可激發結構各階模態的自由振動，因而不會影響識別效果。為避免質量和剛度非均勻情況，部分模態和集中質量位置重合問題，對于懸臂類結構建議以懸臂端或基礎位置作為激勵位置。

2.4 土體材料阻尼的影響

為考慮土體材料阻尼對結構動力特性的影響，采用瑞利阻尼構造土的阻尼矩陣，其中土的阻尼比取0.05，參考頻率取結構的前兩階自振頻率。阻尼的存在將引起振動的衰減，在相同的計算精度下，土體有材料阻尼的計算范圍必然小于無阻尼的。因此，對于200 m/s、300 m/s、400 m/s、500 m/s 和600 m/s 剪切波速下土域計算范圍，根據d≥2 分別取300 m、400 m、500 m、600 m和800 m。不同剪切波速下，考慮和不考慮土材料阻尼的結構各階自振頻率和模態阻尼比如圖9 所示。

由圖9 可以看出，不同波速土體下，與無阻尼土體相比，土體材料阻尼導致結構基頻最大降低0.15%，第一階模態阻尼比最大增加4.77%，這表明土的材料阻尼對結構的各階自振頻率幾乎沒有影響，對各階模態阻尼比的影響遠小于輻射阻尼，這與已有研究的結論[39]一致。

圖9 不同剪切波速地基下結構各階動力特性Fig. 9 Dynamic characteristics of structure under differentshear wave velocities of soil

3 不同方法計算結果對比

式 中 ：Kfc=πρs、Mfc=Kfc(b/vs)2、Cfc=Kfc(b/vs)為歸一化因子；mf1、mf2、kf1、kf2、kf3、cf1、cf2、cf3取泊松比為0.33 時的值，分別為0.0013、0.347、2.085、?0.447、0.761、1.149、?0.509、1.194。直接模態分析分別進行了土體范圍r=50 m、r=200 m 和r=400 m 下有限元模型的實模態分析，本文方法為土域半徑取為400 m(d=3.7＞2)的計算結果。計算中土體的剪切波速取為200 m/s，不考慮土體和結構的材料阻尼。不同方法計算得到的結構前五階自振頻率和模態阻尼比分別見表5 和表6。

表5 結構前五階自振頻率 /HzTable 5 The first five-order frequencies of the structure

表6 結構前五階阻尼比 /(%)Table 6 The first five-order damping ratios of the structure

由表5、表6 可以看出：① 剛性基礎假定高估了結構的自振頻率，結構基頻相比于本文方法計算結果放大了34%，且無法考慮土體輻射阻尼的影響；② 整體有限元模型直接模態分析得到的前五階頻率隨土域范圍的增大而明顯下降，400 m土域范圍下模型基頻已不足0.1 Hz，即模型基頻隨土域范圍增大而趨向于0；這是因為直接模態分析方法計算的是土-結構相互作用系統的頻率而不是結構的頻率，當土域范圍越大時系統頻率越低，且該方法無法考慮輻射阻尼；③ 3 參數集總參數模型頻率與阻尼比的計算結果與本文所提方法差別較大，8 參數集總參數模型的對于均質場地的自振頻率和阻尼比的計算結果優于3 參數集總參數模型。但對于非均質場地情況下，集中參數模型建立比較困難，而本文所提方法采用有限元模型考慮土體，因此可適用于任意場地條件，因此，脈沖荷載響應模態分析法可計算任意場地條件下開放系統結構的自振頻率、阻尼比及振型參數。

4 結論

為計算開放系統下結構的動力特性，提出脈沖荷載響應模態分析法計算懸臂類結構自振頻率、阻尼比和振型。該方法在建立土-結構相互作用有限元模型的基礎上，通過脈沖荷載激勵得到結構動力反應，然后由模態識別方法計算結構的動力特性。根據理論分析和數值計算可得出以下結論：

(1) 隨著開放系統截取土域范圍的增加，不同土體剪切波速下結構的各階自振頻率與阻尼比計算結果均收斂到穩定值，當土域計算范圍大于2 倍基頻波長時，結構自振頻率相對誤差小于1%，阻尼比相對誤差小于5%。

(2) 對于脈沖荷載響應模態分析法，采用任意非模態節點作為激勵點都可以得到比較精確的結果。

(3) 土的材料阻尼對結構的各階模態阻尼比有一定的影響，但遠小于輻射阻尼對各階模態的影響。

(4) 剛性基礎高估了結構的自振頻率，且無法考慮土體輻射阻尼的影響；3 參數集總參數模型計算誤差很大，8 參數集總參數模型可用于均質場地的土-結構相互作用體系動力特性的計算；而整體有限元模型直接模態分析得到的基頻是土-結構相互作用系統的基頻，將隨土域范圍的增大而明顯下降，且無法考慮土體輻射阻尼的影響。