基于T-P 模型的樁-樁水平振動相互作用研究

江 杰，柴文成，張 探，龍逸航

(1. 廣西大學土木建筑工程學院，廣西，南寧 530004；2. 工程防災與結構安全教育部重點實驗室，廣西，南寧 530004；3. 廣西防災減災與工程安全重點實驗室，廣西，南寧 530004)

樁基動力響應問題的關鍵是樁-土相互作用分析。通常，其分析方法分為三類：有限元模型[1]、動力Winkler 地基梁模型[2]、連續介質模型[3]。其中動力Winkler 地基梁模型，以簡單有效地描述樁側土的力學狀態和樁身的力學行為而具有優勢，被得以廣泛運用[4?6]。

樁-樁動力相互作用的研究是群樁動力基礎設計的重要一步，而樁-樁相互作用通常利用相互作用因子來反映。KAYNIA 和KAUSEL[7]首次將靜力相互作用原理推廣到動力相互作用問題，提出了動力相互作用因子的概念。DOBRY 和GAZETAS[8]基于動力Winkler 地基梁模型，在考慮樁-土相互作用的基礎上，提出一種計算動力相互作用因子的簡化方法，但該方法忽視了被動樁與土體的動力相互作用。在此基礎上，MAKRIS 和GAZETAS[9]考慮了被動樁與樁周土的動力相互作用，完善了上述簡化方法，計算了均質土體和彈性模量線性變化土體中樁-樁動力相互作用因子。隨后，MYLONAKIS和GAZETAS[10]、蒯行成和沈蒲生[11]、雷文軍和魏德敏[12]眾多學者基于動力Winkler 地基梁模型，在簡化方法的基礎上進一步發展并應用于分層土中。然而，這些研究均局限于水平動力，沒有考慮豎向荷載對樁-樁動力相互作用產生的影響。

目前，已有研究表明豎向荷載會對樁基水平動力響應產生影響[13?15]。對此，蔣建國等[16]、周緒紅等[17]和熊輝等[18]部分學者基于動力Winkler地基梁模型，對考慮軸向力作用的樁-樁水平動力相互作用進行了研究，普遍認為如果忽略軸向力的作用將直接影響樁-樁動力相互作用因子計算的準確性，從而不能準確地確定群樁承載能力。因此，研究豎向荷載對樁-樁動力相互作用因子的影響是非常有必要的。值得注意的是，上述研究的開展多是局限于傳統的動力Winkler 地基梁模型，忽略了水平振動時土層間的剪力傳遞和樁身剪切變形對樁-樁動力相互作用因子的影響[19]，這給更加精確地揭示樁-土相互作用和研究樁-樁動力相互作用帶來了困難，有必要對其進行合理改進，以使更加符合工程實際。

不難看出，在樁-樁水平振動相互作用研究中少有同時考慮地基、樁基剪切變形和豎向荷載影響的相關研究。為更加精確地揭示樁-土動力相互作用，本文同時考慮樁身剪切變形和土體剪切效應，建立Pasternak-Timoshenko 模型模擬樁-土相互作用；接著，運用傳遞矩陣法處理土體分層特性，推導水平動力和豎向荷載共同作用下主動樁力與位移關系的顯式表達；隨后，在主動樁顯式表達的基礎上，根據樁-樁動力相互作用原理，求解層狀土中多向荷載作用下樁-樁動力相互作用因子，并對計算結果進行對比，以驗證本文方法的準確性；最后，分析樁-土剪切效應和豎向荷載對樁-樁動力相互作用因子的影響。

1 主動樁的水平振動

1.1 模型的建立與基本假定

為便于問題的研究，將樁體和地基土性質進行簡化，引入以下基本假定：

1) 地基土為層狀、各向同性的線彈性連續介質；主動樁等效為圓形、等截面的Timoshenko梁，樁體視為均勻、各向同性的線彈性體。

2) 樁周土對樁的作用簡化為一系列分布的彈簧、阻尼器和純剪切單元。純剪切單元分別與獨立彈簧，阻尼器相連接，且只能發生剪切變形而不可壓縮。

3) 水平動力和豎向外荷載共同作用于樁基頂部，彼此互不干擾；不考慮上部的樁基承臺對樁的影響。

4) 在外荷載作用下，樁-土體系產生穩態簡諧振動。其變形僅限線彈性范圍，只考慮水平方向位移，忽略豎向位移，在振動過程中樁-土緊密接觸不發生相對滑移和脫離。

將樁等效為Timoshenko 梁，按地基土分層情況將樁身劃分為N段單元，考慮樁身剪切變形和轉動慣量，第i段樁身單元受力情況如圖1 所示；地基采用Pasternak 地基，樁周土對樁的作用簡化為一系列分布彈簧、阻尼器和純剪切單元，在前人研究基礎上，第i層土的剛度系數kxi[9,20]、阻尼系數cxi[9]和土體剪切系數gxi[21?22]分別表示為：

圖1 Pasternak-Timoshenko 模型Fig. 1 Model of Timoshenko beam on Pasternak foundation

1.2 主動樁水平振動控制方程的建立

1.3 主動樁水平振動傳遞矩陣的推導

將式(6)進行簡化，利用初參數法，可得：

式(7)的方程通解為：

1.4 主動樁樁頂阻抗的求解

樁底邊界處的力與位移關系式為：

2 樁-樁動力相互作用因子

在實際工程中，建筑的樁基通常以群樁的形式出現，群樁中的基樁在承受上部結構荷載外，還受到相鄰樁的影響，其過程體現為：主動樁在外荷載作用下的振動(up)→引起樁間場地土的波動(us)→導致被動樁產生沿軸向分布的附加位移(u2p?us)。

2.1 模型的建立及基本假定

在Pasternak 地基-Timoshenko 梁(主動樁)模型基礎上，考慮被動樁與樁周土的相互作用，建立樁-樁相互作用模型，如圖2 所示。其中：s為樁間距； ?為入射波角度。為簡化分析，引入以下基本假定：

圖2 樁-樁動力相互作用模型Fig. 2 Model of pile-pile dynamic interaction

1) 被動樁樁頂無水平動力，僅受上部結構傳遞的豎向荷載，同時不考慮樁基承臺對樁的影響。

2) 主動樁振動引起的柱面波經土壤沿水平方向傳播，柱面波在各層土的傳播速度雖有不同，但由于相鄰樁的間距較小，不同土層內的柱面波到達被動樁的時間差與主動樁振動周期相比很小，因此假定柱面波同時到達被動樁的各個截面[10]。

3) 受主動樁-土體系穩態簡諧振動的影響，被動樁也作穩態簡諧振動。其變形僅限線彈性范圍，只考慮水平方向位移，忽略豎向位移，在振動過程中被動樁-土緊密接觸不發生相對滑移和脫離。

2.2 被動樁水平振動控制方程的建立

主動樁在樁頂水平簡諧荷載作用下，會導致樁周土振動，根據土體的二維平面波動理論，樁周土將產生向外水平傳播的柱面波，考慮主動樁與樁周土水平位移的關系，可得樁周土體水平位移場函數為：

2.3 被動樁水平振動傳遞矩陣的推導

2.4 樁-樁動力相互作用因子的求解

利用傳遞矩陣法，被動樁樁頂位移、轉角、剪力和彎矩與樁底對應物理量的關系為：

令f=??1，根據樁-樁動力相互作用因子的定義，樁-樁水平、水平-搖擺、搖擺動力相互作用因子分別表示為：

3 算例驗證與分析

KAYNIA 和KAUSEL[7]研究了均質、層狀地基中樁-樁相互作用因子，得到了嚴格解；MYLONAKIS和GAZETAS[10]則考慮被動樁與土的相互作用，得到了動力Winkler 模型解，并與KAYNIA 和KAUSEL[7]的結果進行了對比。本文的Pasternak-Timoshenko 模型考慮了樁身剪切變形和土體剪切效應，當地基剪切系數gxi、樁身參數1/Jp和Wp同時趨于0 時，可退化為動力Winkler 模型，即T-P模型退化解。圖3～圖6 分別為均質土和雙層地基土中KAYNIA 和KAUSEL[7]嚴格解、動力Winkler模型[10]解、本文T-P 模型退化解和本文T-P 模型解在動力相互作用因子方面的對比結果。均質土體中樁土參數：Ep/Es=1000 ，ρp/ρs=1.5 ，βs=0.05，νs=0.4；L/d=20，νp=0.3；a0=ωd/Vs；雙層土體中樁土參數：h1/d=1，Ep/Es2=10 000，Ep/Es2=1000 ， ρp/ρs=1.3，a0=ωd/Vs2，其他參數與均質土中相同；樁的間距比分別為s/d=2, 5, 10。

圖3 均質土中水平動力相互作用因子(Ep/Es=1000)Fig. 3 Lateral dynamic interaction factor in homogeneous soil(Ep/Es=1000)

圖4 均質土中搖擺動力相互作用因子(Ep/Es=1000)Fig. 4 Rocking dynamic interaction factor in homogeneous soil (Ep/Es=1000)

圖5 均質土中水平-搖擺動力相互作用因子(Ep/Es=1000)Fig. 5 Cross-swaying-rocking dynamic interaction factor in homogeneous soil (Ep/Es=1000)

圖6 雙層土中水平動力相互作用因子(Ep/Es1=100 ，Ep/Es2=1000 ，h1/d=1)Fig. 6 Lateral dynamic interaction factor in double-layered soil (Ep/Es1=100 ，Ep/Es2=1000 ，h1/d=1)

從圖3～圖6 可以看出，在處理均質土和層狀土時，本文方法所提出T-P 模型的退化解與文獻[10]的動力Winkler 模型解的計算結果有很好的吻合性，驗證了本文方法的正確性。同時將選用本文T-P 模型與選用文獻[10]動力Winkler 模型時的計算結果進行對比，說明了本文所提出的Pasternak-Timoshenko 模型的優越性。此外，可以得到樁-樁動力相互作用的基本特點：

1) 樁的間距比較小時(s/d=2)，動力相互作用因子的實部和虛部隨頻率變化相對平緩無波動性；隨著樁間距比的變大(當s/d=10時)，動力相互作用因子隨頻率變化開始出現波動性，有波峰和波谷的存在，變化趨勢趨于復雜。

2) 低頻時，動力相互作用因子實部隨間距比的增大而逐漸減小，虛部變化不明顯；高頻時，由于動力相互作用因子會隨著樁間距比的增大產生波動性，導致樁間距較大時，動力相互作用因子呈現隨頻率增加而增大的變化趨勢。

4 參數分析

在工程實踐中，表層土性質(尤其是彈性模量)對樁基動力響應的影響最為明顯[25?26]，為此，根據《建筑樁基技術規范》[27]，結合實際工程常規取值，本文將在不同地基土體(上覆軟土層土體：Ep/Es2=10 000,Ep/Es2=1000；均質土體：Ep/Es=1000；上覆硬土層土體：Ep/Es2=100,Ep/Es2=1000)中分析各因素對樁-樁動力相互作用因子的影響。影響樁-樁動力相互作用因子的因素有很多，除了常規因素(樁間距比、激振頻率和入射波角度)以外，這里將討論一些其他不同因素(土體剪切效應、樁身剪切變形和豎向荷載)對動力相互作用因子的影響。

4.1 土體剪切效應對樁-樁水平動力相互作用的影響

為研究土體剪切效應對樁-樁動力相互作用的影響，本節采用本文Pasternak-Timoshenko 模型分別計算了不同土體分層情況下Winkler 地基(不考慮土體剪切效應，χG=0)和Pasternak 地基(考慮土體剪切效應，χG=0.5)中的樁-樁水平動力相互作用因子，結果如圖7 和圖8 所示。計算參數如下：L/d=20,νp=0.3 ；βs=0.05,νs=0.4 ,ρp/ρs=1.5；均質土：Ep/Es=1000,a0=ωd/Vs；上覆硬土層土體：Ep/Es2=100,Ep/Es2=1000,表層土厚度h1/d=1,a0=ωd/Vs2。

圖7 均質土中不同土體剪切效應下水平動力相互作用因子(Ep/Es=1000)Fig. 7 Lateral interaction factor of different soil shear effects in homogeneous soil (Ep/Es=1000)

1) 以往DOBRY 和GAZETAS[8]的簡化方法是不能用來處理非均質土體的，部分學者認為可以采用加權平均法將層狀土體簡化為均質土體。然而，圖8 對比圖7 可以看出，層狀土對動力相互作用因子產生的波動性和影響程度遠高于均質土對其的影響，簡單地，將層狀土簡化地視為均質土并不能反映出層狀土中(尤其是表層土)土體性質的改變對水平動力相互作用因子的巨大影響。因此，在分析樁-樁動力相互作用時，將層狀土簡化處理為均質土是不合理的。

圖8 上覆硬土層土體中不同土體剪切效應下水平動力相互作用因子(Ep/Es1=100 ,Ep/Es2=1000 ,h1/d=1)Fig. 8 Lateral interaction factor of different soil shear effects in foundation with hard soil overburden (Ep/Es1=100,Ep/Es2=1000 ,h1/d=1)

2) 如圖7、圖8 所示，不論在哪種地基土中(均質土體、上覆硬土層土體)，在考慮土體剪切效應后，Pasternak 地基中的實部相對比于Winkler地基中的實部都有所增加，虛部都有所減小；波動性有加劇的趨勢，且波峰與波谷之間的間距在增大。這說明土體剪切效應對樁-樁動力相互作用有增強效果。

3) 此外，注意到圖7 和圖8 中，土體剪切效應對樁-樁動力相互作用的增強效果會隨樁間距比的增大而有所削弱。同時，層狀土中土體剪切效應對水平動力相互作用因子的增強效果(實部增長幅值為?0.044～0.119，虛部增長幅值為?0.071～0.151)也遠大于均質土中土體剪切效應的這種效果(實部增長幅值為?0.008～0.020，虛部增長幅值為?0.013～0.006)。這表明：在均質土中可以不考慮土體剪切效應對樁-樁動力相互作用因子的影響；但在層狀土中這種影響不可忽略。

4.2 樁身剪切變形對樁-樁動力相互作用的影響

如圖9、圖10 和圖11 所示，采用本文模型分別計算了不同樁身長徑比下不考慮樁身剪切變形(Euler 梁)和考慮樁身剪切變形(Timoshenko 梁)的樁-樁動力相互作用因子。計算參數如下：s/d=2,νp=0.3 ；βs=0.05,νs=0.4 ,ρp/ρs=1.5,a0=0.5；均質土：Ep/Es=1000；上覆軟土層土體：Ep/Es2=10 000,Ep/Es2=1000,表層土厚度h1/d=1,a0=ωd/Vs2；上覆硬土層土體：Ep/Es2=100,Ep/Es2=1000,表層土厚度h1/d=1,a0=ωd/Vs2。

圖9 均質土中不同樁身剪切變形下動力相互作用因子(Ep/Es=1000)Fig. 9 Dynamic interaction factor of different pile shear deformation in homogeneous soil (Ep/Es=1000)

圖10 上覆軟土層土體中不同樁身剪切變形下動力相互作用因子(Ep/Es1=10 000 ,Ep/Es2=1000 ,h1/d=1)Fig. 10 Dynamic interaction factor of different pile shear deformation in foundation with soft soil overburden(Ep/Es1=10 000 ,Ep/Es2=1000 ,h1/d=1)

圖11 上覆硬土層土體中不同樁身剪切變形下動力相互作用因子(Ep/Es1=100 ,Ep/Es2=1000 ,h1/d=1)Fig. 11 Dynamic interaction factor of different pile shear deformation in foundation with hard soil overburden(Ep/Es1=100 ,Ep/Es2=1000 ,h1/d=1)

1) 樁-樁動力相互作用因子并不會隨著樁長一直發生變化，而是樁長在一定范圍內變化時，會對動力相互作用因子產生明顯影響，但當樁長超過這一范圍時，樁長對動力相互作用因子幾乎沒有影響。這種變化趨勢與單樁水平動力響應中有效樁長[13,24]的分析情況相類似，因此，可以認為樁-樁動力相互作用中也存在一個“有效樁長”。從圖9、圖10 和圖11 中可以看出，此“有效樁長”的數值在L=10d～15d范圍內，這與單樁水平動力響應中的有效樁長范圍(Ld=10d～15d)基本相一致。

2) 由圖9、圖10 和圖11 可知，當樁身長徑比在L/d=5 ～10范圍內時，考慮樁身剪切變形(Timoshenko 梁)得到的樁-樁動力相互作用因子遠小于不考慮樁身剪切變形(Euler 梁)時的情況，而當樁身長徑比L/d>10后，樁身剪切變形對動力相互作用幾乎沒有影響。這是因為在一般的樁土參數下，可以采用Euler 梁理論的樁身界限樁長在8d左右，當樁身長徑比L/d>8時，樁身剪切變形對水平動力響應的影響可以忽略不計[28]。也就是說，出于實際工程安全考慮，當樁身長徑比L/d<10時，應必須考慮樁身剪切變形對樁-樁動力相互作用因子的影響，可將樁視為Timoshenko 梁模型。

4.3 豎向荷載對樁-樁動力相互作用的影響

樁頂豎向荷載會使得樁身在水平位移形變較大時產生P-Δ效應，對樁基動力響應產生影響[14]，因此，研究豎向荷載對樁-樁動力相互作用因子的影響具有重要意義。圖12 和圖13 給出了不同土體地基(均質土和上覆軟土層土體)中考慮樁頂豎向荷載作用下的樁-樁動力相互作用因子。本文用來計算動力相互作用因子的樁頂豎向荷載N0

1) 如圖12 和圖13 所示，在均質土中，豎向荷載對樁-樁動力相互作用有增強效果，但這種影響程度有限；在層狀土中，表層土的土體彈性模量較小，豎向荷載對動力相互作用因子的增強效果有明顯的增大趨勢。究其原因，當表層土的彈性模量較小時，土體對樁頂邊界的約束能力相對較弱，樁身水平位移有所增大，此時豎向荷載產生的P-Δ效應有所增強，從而給動力相互作用因子帶來更加明顯的變化。

圖12 均質土體中不同豎向荷載作用下動力相互作用因子(Ep/Es=1000)Fig. 12 Dynamic interaction factor of different soil shear effects in homogeneous soil (Ep/Es=1000)

圖13 上覆軟土層土體中不同豎向荷載作用下動力相互作用因子(Ep/Es1=10 000 ,Ep/Es2=1000 ,h1/d=1)Fig. 13 Dynamic interaction factor of different soil shear effects in foundation with soft soil overburden(Ep/Es1=10 000 ,Ep/Es2=1000 ,h1/d=1)

2) 另一方面，豎向荷載對水平、水平-搖擺、搖擺動力相互作用因子的影響程度也各有不同。其中：豎向荷載對水平-搖擺的影響程度最大；對搖擺的影響程度次之；對水平的影響程度最小。總的來看，當研究樁-樁動力相互作用因子(尤其是水平-搖擺動力相互作用因子)時，不宜忽略豎向荷載的作用。

5 結論

本文基于Timoshenko 梁理論和Pasternak 地基理論，建立了考慮樁身剪切變形和土體剪切效應的樁-土相互作用模型，提出了一種層狀地基中水平動力和豎向荷載共同作用下樁-樁動力相互作用因子的計算方法，分析了樁-土剪切效應和豎向荷載對動力相互作用因子的影響，得到了如下結論：

(1) 通過對比發現，無論是在均質地基還是層狀地基中，本文Pasternak-Timoshenko 模型的退化解與MYLONAKIS 和GAZETAS[10]的動力Winkler模型解都能有很好的吻合性，說明本文方法的正確性。

(2) 土體剪切效應對水平動力相互作用有增強效果，且這種效果會隨表層土彈性模量的增大和樁間距比的減小而有所加強。

(3) 在給定樁土參數情況下，主動樁和被動樁的“有效樁長”為Lu=10d～15d。當樁長L15d時，一般可將樁視為無限長樁。

(4) 當樁身長徑比較大時，可以不考慮樁身剪切變形對樁-樁動力相互作用的影響，但當樁身長徑比L/d<10時，應采用Timoshenko 梁模型考慮樁身剪切變形的影響。

(5) 豎向荷載對水平、搖擺、水平-搖擺動力相互作用因子的影響程度不盡相同，其中對水平-搖擺作用因子的影響最為明顯。