分布與端部激勵下懸索瞬時相頻特性對比

孫測世， 李 聰， 鄧正科， 譚 超

(1. 重慶交通大學 土木工程學院，重慶 400074； 2. 湖南城市學院設計研究院有限公司，長沙 410005)

索結構在超高壓輸電線、大型體育館及大跨徑橋梁中應用廣泛，且多數結構以多索形式共同承載[1]。索結構是一種柔性結構，極易在外激勵作用下，產生各種不同大幅振動，進而引發一系列損壞[2-4]。其中大幅振動與索間相位差引起的碰撞問題隨著超高建筑、超大跨徑橋梁的發展愈加突出，全球的多座橋均發生過拉索碰撞事件[5-7]，給橋梁帶來非常大的危害。

大振幅[8]和相位差是索發生碰撞的根源，前者是幅頻特性的反映，后者是相頻特性的反映。索碰撞的必要條件是相頻特性差異，相頻特性是指響應與激勵的相位差隨激勵頻率的變化。相關研究表明響應與激勵的相位差與激勵頻率有關[9-10]，且在多模態下，結構不同模態之間的相位差也受激勵頻率的影響[11]。目前，對相頻特性或相位差的關注已不少，如Rega等對橫向荷載作用下懸索的研究表明響應滯后于激勵，其相位差與激勵頻率有關。Bossens等[12]進行了大規模的主動控制模型試驗，他們給予懸索的主動端部振動與懸索索力的相位差也隨激勵頻率變化。Baicu等[13]對一端施加橫向激勵的水平懸索進行試驗，發現其相頻曲線是一條具有一正一負兩個峰值的曲線。Zhao等[14]進行考慮溫度作用下的懸索非線性振動研究，發現其調諧相位圖中存在多值。Kim等[15]的研究則表明施工過程中斜拉橋的最大懸臂端的豎向振動與斜拉索振動也有相位差存在。

可見，懸索相頻特性與激勵及其頻率密切相關。但上述研究中的相頻特性均指方程線性解中的相移值，當激勵頻率不變時，該相移值為恒定常數。而在非線性系統中，系統響應不僅包含其線性項，還有多個高階近似項。當高階項對響應的影響較大時，將使得響應相位隨時間呈周期變化[16]，即：系統某個瞬時的相位在逐漸變化。

分布激勵和端部激勵是兩種典型的激勵形式。為探明兩種激勵下懸索的瞬時相頻特性的異同，本文分別建立了面內分布激勵和端部激勵作用下的懸索模型。采用多尺度法求解系統在不同參數下的響應，利用Hilbert變換得到瞬時相位，進一步對比分析響應的激勵相位差幅值在λ2-Ω平面內的分布規律。

1 力學模型

1.1 基本假定

懸索簡化模型,如圖1所示。研究懸索分別在分布激勵和端部激勵下非線性振動的相頻特性。假設分布與端部激勵的激勵頻率大小一致，考慮到精簡符都采用激勵頻率Ω。懸索模型中設分布激勵幅值為F；端部激勵面內橫向激勵幅值為ub，豎向激勵幅值為vb，端部激勵的面內橫向位移Ub(t)，豎向位移Vb(t)，取索長l和垂度d。考慮到懸索振動方向與端部激勵方向的一致性，此處僅需建立局部振動坐標系o-xy(見圖 1)，其中：坐標原點o為左端錨固點；x為懸索的索向坐標；y為索面內垂直索向下的坐標。另外，各方向對應位移分別用u，v表示。假設：①懸索的抗彎剛度足夠小以至于可以忽略不計；②懸索只承受拉力；③懸索在振動過程中的軸向應變足夠小；④只考慮幾何非線性，不考慮其他非線性。

圖1 水平懸索動力學模型Fig.1 Dynamic model of horizontal suspended cables

1.2 動力平衡方程

考慮懸索的幾何非線性及懸索兩端鉸接，基于Hamilton變分原理，考慮懸索的垂度，得到運動方程。在準靜態假設下，忽略u軸向加速度和速度項，即不考慮軸向振動，其后考慮邊界條件得到位移u(x,t)[17]，對方程進行約化可得到其面內分布激勵非線性動力平衡方程[18]為

其中用到的無量綱變換如下(為書寫方便*已經省略)

式中：“′”為對坐標x求導；“·”為對時間t求導；m為拉索單位長度質量；c為阻尼系數；H為拉索索力；E為彈性模量；A為截面積；y=4(d/l)x(1-x)為拉索靜態構型。

同理，可得到其面內端部激勵非線性動力平衡方程[19]為

其中

U(t)=ubcosΩt×cosθ-vbsinΩt×sinθ

式中，θ為拉索的傾角，但是因懸索中的傾角為0，式(2)可進一步化簡只跟軸向激勵有關項，即

U(t)=ubcosΩt

1.3 離散化模型

1.3.1 分布激勵

分布激勵下振動模型如圖 1(a)所示，已知懸索邊界條件為

v(0,t)=0，v(l,t)=0

在分布外激勵作用下，懸索振動位移被認為是由純模態振動產生，因此令

(3)

式中：Φk為懸索第k階振動模態；qk為懸索面內振動的第k個廣義時間坐標。其第k階面內正對稱和反對稱模態函數[20]為

(4)

式中，h為附加索力軸向分力。

利用Galerkin方法可得

其中

1.3.2 端部激勵

端部激勵下振動模型如圖 1(b)所示，已知懸索邊界條件為

v(0,t)=0，v(l,t)=Vb(t)

端部激勵作用下，懸索振動位移被認為是由純模態振動與靜位移產生，因此令

(6)

利用Galerkin方法進行模態截斷得到

(7)

其中

Δ=2A(t)+L2(t),A(t)=U(t)=ubcosΩt，

2 攝動分析

2.1 分布激勵

基于多尺度法求得近似解并令其為

q(t,ε)=εq0(T0,T1,T2)+ε2q1(T0,T1,T2)+ε3q2(T0,T1,T2)

(8)

(9)

(10)

可解得式(8)近似解為

q0=A1(T1,T2)exp(iωkT0)+cc

(11)

將式(11)代入式(9)，同時令長期項為零[21]

D1A=0

(12)

可解得

(13)

其中

將式(13)和式(11)代入式(10)得到關于q2的長期項

式(5)的二階近似解為

q=εacos(Ωt-γ)+

(16)

2.2 端部激勵

同理采用多尺度法求解端部激勵下面內振動微分方程。按照ε的冪次進行整理，得面內方程。

(17)

(18)

(19)

可解得式(17)近似解為

q0=A1(T1,T2)exp(iωkT0)+cc

(20)

將式(20)代入式(18)，同時令長期項為零得到[22]

-2iωkD1A1+feiσT1=0

(21)

式中，f為與端部激勵相關的項

且得到高階近似項為

(22)

將式(20)和式(22)代入式(19)得到q2的長期項

(23)

同理，結合式(21)與式(23)，可得平均方程

式(7)的二階近似解為

q=εacos(Ωt-γ)+

(25)

3 數值分析

為研究在漂移項及高階項存在的情況下懸索相頻特性，利用MATLAB軟件對懸索在分布激勵和端部激勵下進行數值分析，取索參數如表1所示。

表1 索參數[23]Tab.1 Cable parameters

3.1 分布激勵

3.1.1 時程曲線

為使結果一般化，取無量綱分布激勵頻率Ω=1.0，激勵幅值F=0.01。參照以往理論的取值范圍，然后從小到大依次取索力為5 500 kN，6 500 kN，7 500 kN，8 500 kN和9 500 kN，相應的垂跨比為0.013 1，0.011 1，0.009 6，0.008 5，0.007 6。為使結果更具有一般性和代表性，引進與垂跨比相關的λ2參數。圖 2中給出與上述5組垂跨比對應的λ2值5.07，3.91，3.07，2.68，2.00，并且繪畫出相關λ2值懸索的響應時程曲線。

從圖 2(a)中可以看出在λ2為2.68，2.00時的響應時程曲線比較接近，并且不難發現，圖 2中各λ2下時程曲線均存在向下漂移，這是因為近似解中的漂移項所引起的。對比圖 2(a)中各λ2下時程曲線線型，可明顯觀察到當λ2=5.07和λ2=3.91時，時程曲線下波峰線形發生變化。圖 2(a)中λ2=2.68，λ2=2.00和λ2=5.07，λ2=3.91的曲線相比，后兩個λ2的曲線下波峰段較為平緩。在圖 2(b)λ2=3.07時響應曲線線型變化更為明顯，時程曲線整體下移至負軸，下波峰段向上突起，這是因為這3個λ2參數下的二倍頻項對懸索振動響應產生較大影響所致。

圖2 不同λ2下的時程曲線圖Fig.2 Time history curves for different λ2

當時程曲線線型發生改變，瞬時相位也會受到影響。因二倍頻項在λ2=5.07和λ2=3.07下對懸索振動響應產生不一致的影響，為進一步分析原因，分別對其的響應與激勵的時程曲線進行Hilbert變換得到瞬時相位，再對同一時刻的響應瞬時相位與激勵瞬時相位做差得到響應與激勵的瞬時相位差值。考慮差值在[-π, π]變化，以無量綱時間為橫坐標，瞬時相位差為縱坐標，繪制出如圖 3所示瞬時相位差的時程曲線。

圖3 瞬時相位差時程曲線Fig.3 Instantaneous phase difference time histories curve

為求得響應瞬時相位，且體現其一般性，定義無量綱參數為

(26)

式中，Δp為拉索響應瞬時相位與激勵瞬時相位之差。

瞬時相位差時程曲線的周期與時程曲線的周期相同。由圖 3可知，響應與激勵瞬時相位差隨著時間不再是一個定值，這是受近似解中二倍頻項與漂移項的影響。當λ2=5.07時，瞬時相位差波動峰值僅為0.26，且變化波形較為平緩；當λ2=3.91時，峰值接近0.96，即瞬時相位差值接近π，同時峰值附近瞬時相位差具有明顯突變。圖 3中的瞬時相位以原平衡位置為基準，瞬時相位差較大值出現在上波峰處，由于漂移項的影響使得響應與激勵的振動中線分離，從而進一步導致瞬時相位差的增大。

通過求解空間點的運動軌跡來獲得懸索的運動情況，取圖 2中較為典型的3個不同的λ2參數，這3個參數具有較大的差距時程曲線，即對λ2=3.91，λ2=3.07和λ2=2.68的q(t)進行Hilbert變換。通過繪制復平面圖和瞬時相位差幅值的時程曲線圖來分析激勵與響應的瞬時相位差的變化特性以及最大瞬時相位差的原因，如圖 4所示。

圖4 復平面圖及瞬時相位時程圖Fig.4 Complex plane diagram and instantaneous phase time histories graph

對應點隨著時間的變化繞著響應曲線轉動，瞬時相位具有周期性。圖 4(a)為λ2=3.91的復平面圖及瞬時相位差時程曲線圖，由于響應振動存在較大的漂移，從而使得響應投影曲線向左移動，進而引起瞬時相位差的產生。如圖 4(b)所示，當λ2=3.07時復平面圖中響應投影曲線左端出現小“圓環”，對應著響應時程曲線的下波峰，可見這是受二倍頻的影響，當二倍頻系數越大，小“圓環”越明顯。同時響應投影曲線向左平移至二三象限使得響應與激勵的瞬時相位在右端點上產生較大的相位差，瞬時相位差時程曲線出現突變點。如圖 4(c)所示，當λ2= 2.68時，最大瞬時相位差小于0.2π，可見此參數下響應與激勵不會產生較大的瞬時相位差。

3.1.2 最大瞬時相位差的分布

為便于進一步對p的幅值進行研究，再定義一個新的無量綱參數

(27)

式中，Δpmax為懸索響應瞬時相位與激勵相位之差Δp的幅值。后續分析中均考察pmax的分布規律用以討論不同參數下的懸索的瞬時相頻特性。

采用MATLAB軟件對懸索在分布激勵下的主共振響應進行數值分析。通過改變懸索的λ2與激勵頻率Ω獲得對應的時程數據，其中λ2變化范圍為1～6，間隔為1.0；激勵頻率Ω的變化范圍為0.90～1.35，間隔為0.01。對不同參數下的時程數據和激勵時程數據分別進行Hilbert變換來得到兩者的瞬時相位差。

圖 5為分布激勵下最大相位差pmax在λ2-Ω平面內分布的等高線圖。其中，圖 5(a)為λ2在1～6內的整體圖像，圖 5(b)為λ2在2.81～3.37內的局部放大圖，為保證圖像的準確性，數值計算時對點進行了加密計算。由整體圖可知，pmax在λ2≈3.0的狹小區間內有突變，數值接近1，即相位差接近π；而在其他區間pmax數值均在0.5以下。由局部放大圖可知，等高線圖以λ2=3.06為界，其左右兩邊的pmax變化趨勢大致成反對稱分布。當λ2<3.06時，同一λ2參數下pmax隨Ω增大而增大；而在λ2>3.06時，變化趨勢相反。另外，由局部放大圖還可看出，pmax接近1的區域會隨λ2和Ω的關系而變化，大致以Ω=-0.96λ2+4.06和λ2=3.06兩條直線的交點為中心(對應Ω=1.12)，沿Ω=-0.96λ2+4.06逐漸變寬。

圖5 分布激勵下λ2-Ω平面內的pmax等高線圖Fig.5 pmax contour map in λ2-Ω plane under external excitation

為更清楚的進行對比，取Ω=0.95，1.10和1.25時pmax隨λ2參數的變化曲線繪于圖 6。由圖 6可知，3種激勵頻率Ω下Pmax在λ2=3.06附近時均突然增大，且其峰值隨Ω增大而往λ2負方向移動。

圖6 分布激勵作用下的pmax-λ2曲線Fig.6 pmax-λ2 curves under external excitation

3.2 端部激勵下的最大瞬時相位差

類似的，對端部激勵下的時程數據進行Hilbert變換，得到最大瞬時相位差隨λ2及激勵頻率Ω的變化曲線圖，如圖 7所示。相比分布激勵，端部激勵下的pmax在λ2-Ω平面上的所有區域內的數值均較小，其最大值僅約為0.3，且僅集中出現在λ2≈3.0且Ω≈1.12附近的很小區域內。將λ2在2.59～3.39的區域加密再局部放大，得到右側的局部放大圖如圖 7(b)。可見，pmax≈0.3的區域很小。pmax的等高線圖變化趨勢也大致關于λ2=3.06呈反對稱分布。

圖7 端部激勵下λ2-Ω平面內的pmax等高線圖Fig.7 pmax contour map in λ2-Ω plane under end excitation

圖 8為無量綱端部激勵頻率為1.00，1.12和1.27時的瞬時相位差幅值隨λ2參數的變化曲線。由圖 8可見，僅在激勵頻率Ω=1.12的pmax曲線出現突增，峰值接近0.3，其他激勵頻率下pmax數值變化較小，最大值不超過0.1。

圖8 端部激勵作用下的pmax-λ2曲線Fig.8 The pmax-λ2 curves under end excitation

3.3 對比分析

從以上pmax的等高線圖來看，無論分布激勵還是端部激勵，在λ2-Ω的參數平面內，響應與激勵的瞬時相位差幅值均會在λ2≈3.0附近某一個狹小的區域內發生突變，且從局部看均存在反對稱分布規律。不同之處在于，分布激勵下pmax整體上大于端部激勵下的情形，前者最大值約為1，后者最大值僅為0.3；前者分布于λ2≈3.0的一個狹長的帶域附近，而后者分布在λ2≈3.0且Ω≈1.12的一個點域附近。另外，結合等高線圖和pmax-λ2曲線圖還可以看出，懸索受不同類型激勵作用時，激勵頻率變化對瞬時相位差產生的影響并不同。

從解析式表達式來看，分布激勵和端部激勵的近似解式(16)和式(25)的形式是一致的，導致兩者響應及其相位差不同的原因是：分布激勵和端部激影響了長期項的形式，從而導致響應幅值的變化。這可以由式(12)與式(21)看出，式(21)中多了與端部激勵相關的項feiσT1；同時，式(14)與式(23)對比，式(14)中多出0.5FeiσT1一項。因此，分離實、虛部后的方程不同。得到的頻率響應方程式(15)和式(24)雖在結構上類似，但右邊項不同，所以響應振幅a不同，導致高階近似解的漂移項和二倍頻項不同，進而出現不同的相頻特性。

3.4 討 論

(1)瞬時相頻特性本質上是非線性效應對系統固有頻率的調制作用，即：系統非線性固有頻率隨時間變化，因而響應的頻率并非時時等于激勵頻率，體現為“瞬時”性和“周期”性。

(2)瞬時相頻特性對時間的一階導數，便是瞬時頻率，而后者與懸索瞬時索力間存在確定性關系。因此，兩種類型激勵下，懸索瞬時相頻特性pmax在λ2-Ω平面內分布上的差異，可能對其動態最大索力的研究有借鑒意義，值得后續開展深入研究。

(3)由于瞬時相頻特性是各個時刻相位的真實反映，因此其也是研究斜拉橋等結構中具有相近參數拉索間的相對運動的基礎。

4 結 論

(1)考慮高階近似項的影響后，響應與激勵瞬時相位差不再是與時間無關的定值γ，而是隨時間成周期變化。

(2)瞬時相位差產生的原因，一是漂移項導致復平面偏移，從而影響瞬時相位差最大值；二是二倍頻的存在導致復平面曲線圈線形發生改變，從而影響瞬時相位變化規律。

(3)懸索在分布激勵與端部激勵作用下，響應與激勵的瞬時相位差幅值pmax均會在λ2≈3.0且Ω≈1.12為中心的局部范圍內突然增大，且近似在λ2-Ω平面內呈反對稱分布。但是，前者突變的范圍呈現在λ2≈3.0的狹長帶域內，而后者集中在該中心點附近。另外，量值上分布激勵下的pmax約為1，而端部激勵下僅為0.3。