基于干擾觀測器的含有柔性關節的柔性機械臂抑振策略

尚東陽， 李小彭， 尹 猛， 李凡杰， 周賽男

(1. 東北大學 機械工程與自動化學院，沈陽 110819；2. 中國科學院深圳先進技術研究院，廣東 深圳 518055)

柔性機械臂廣泛應用于太空探索、核電設備檢修、工業裝配等諸多方面。文獻[1]所設計的“加拿大2號”機械臂是一種典型的柔性機械臂，它應用在國際空間站中。文獻[2]提出了具有柔性雙臂的新一代移動機器人平臺。目前機械臂中多采用帶有諧波減速器的一體化關節作為減速器。諧波減速器中存在著柔性部件以及彈性聯軸器，所以一體化關節存在著一定的扭轉剛度[3]。文獻[4]將這種關節的扭轉剛度加以考慮，提出了柔性關節的概念。含有柔性關節的柔性機械臂具有更輕的質量，更大的回轉半徑等優點。但是，柔性機械臂相比較于剛性機械臂，具有較小的抗彎剛度，在運動中更容易出現振動的現象。含有柔性關節的柔性機械臂的設計和抑振研究已經得到了許多學者的關注。

進行含有柔性關節的柔性機械臂控制研究的前提是建立受控對象的動力學模型。含有柔性關節的柔性機械臂是一個耦合的復雜非線性系統。文獻[5]將含有柔性關節的傳動系統等效為雙慣量系統。據此，含有柔性關節的柔性機械臂也可以等效為含有柔性連桿的雙慣量系統。根據文獻[6]，柔性機械臂通常可以等效成為歐拉-伯努利梁。文獻[7-8]使用連續體振動理論描述柔性機械臂的變形，并應用拉格朗日原理建立其動力學方程。除了使用拉格朗日原理外，文獻[9]使用哈密爾頓原理建立了柔性機械臂的動力學方程。隨著計算能力的提高，利用有限元法獲得柔性機械臂的動力學方程變成了可能[10]。在轉動過程中，柔性機械臂還受到非線性摩擦力矩的影響。文獻[11]在柔性關節的建模中，考慮了電機端摩擦力矩的影響。文獻[12]使用LuGre模型描述機械臂在運動過程中所受的摩擦。但使用LuGre模型描述非線性的摩擦力矩時，會忽略溫度、潤滑等工況的影響。根據機械臂傳動系統的結構可知，摩擦主要源于轉動軸系和軸承之間的摩擦力矩。軸承摩擦力矩[13]將溫度、軸向載荷、潤滑等工況的因素考慮在內。

機械臂通常采用三環控制的策略(位置環速度環電流環)使轉角獲得穩定的輸出。其中，機械臂的速度環多采用PI(proportional integral)控制策略[14]。隨著控制理論的發展，魯棒控制、自適應控制、神經網絡控制等策略都應用于機械臂的控制。文獻[15]使用魯棒控制策略對柔性機械臂進行控制。文獻[16]利用模糊規則整定PID(proportional integral derivative)控制參數，實現擬人機械臂的自適應控制策略。文獻[17]利用神經網絡辨識柔性機械臂動力學方程的不確定部分，由此提高控制精度。為了降低摩擦力矩對于機械臂的影響，干擾觀測器(disturbance observer，DOB)廣泛的應用于機械臂。文獻[18]證明了干擾觀測器能夠有效的觀測并補償伺服系統中摩擦力矩。相比較于其他抗干擾控制策略，干擾觀測器能夠有效的辨識出外界干擾。干擾觀測器的優勢在于原理簡單，需要設計的參數較少；缺點是不能有效地控制時變模型和強非線性的模型。對于一些時變系統，采用含有干擾觀測器的PI控制策略無法獲得良好的跟蹤效果。因此，采用含有干擾觀測器的PI控制策略適合于弱非線性且固定參數的動力學系統。

本文使用連續體的振動理論和拉格朗日方法建立含有柔性關節的柔性機械臂的動力學模型，并將軸承摩擦力矩予以考慮。通過李雅普諾夫穩定性定理設計含有干擾觀測器的PI控制策略的超限補償控制律。通過含有干擾觀測器的PI控制策略抑制含有柔性關節的柔性機械臂的角速度波動。相比于文獻[19]所建立的雙柔性機械臂伺服系統的動力學模型，本文將軸承摩擦因素加以考慮。在含有干擾觀測器的PI控制器的設計上，通過低通濾波器魯棒穩定性的設計和引入超限補償控制律保證柔性機械臂的穩定。

1 含有柔性關節的柔性機械臂動力學建模

本文所建立的考慮關節柔性的柔性機械臂由伺服電機、柔性關節、柔性連桿組成，如圖1所示。圖1中：XOY為靜態坐標系；x0Oy0為動態坐標系；Ff為推力球軸承摩擦力矩；Tm為電機電磁力矩；Jm為電機端轉動慣量；θm為電機端轉角；θl為柔性連桿的轉角；Ks為柔性關節扭轉剛度；w(x,t)為柔性連桿的變形。

圖1 雙柔性機械臂伺服系統示意圖Fig.1 Double flexible manipulator servo system

根據文獻[20]可知，柔性連桿的變形可以認為是模態坐標和模態函數的二維函數，其表達式如式(1)所示。

(1)

式中：φi(x)為第i階模態函數；ηi(t)為第i階模態坐標；βi為模態函數特征根值，它與柔性連桿的固有頻率之間的關系，如式(2)所示。

(2)

式中：ωi為柔性連桿的第i階固有頻率；ρ為柔性連桿的體密度；A為柔性連桿的橫截面積；EI為柔性連桿的抗彎剛度。

柔性連桿在水平面轉動的過程中，因為柔性的存在會產生微小的變形。因此，柔性連桿上任意一點在靜態坐標系的位置如式(3)所示。

(3)

式中：x為柔性連桿上任意一點的橫坐標；B(θl)為旋轉變化矩陣。

根據式(3)可得到柔性連桿的動能，如式(4)所示。

(4)

同理，可得到柔性連桿的勢能，如式(5)所示。

(5)

含有柔性關節的柔性機械臂除了由柔性連桿組成外，還有柔性關節和伺服電機。因此，含有柔性關節的柔性機械臂的動能應該由柔性連桿的動能和伺服電機的動能共同組成，如式(6)所示。

(6)

同理，含有柔性關節的柔性機械臂的勢能應由柔性連桿的彈性勢能和柔性關節的勢能組成，其表達式如式(7)所示。

(7)

根據拉格朗日動力學方程，可求得含有柔性關節的柔性機械臂的動力學方程，如式(8)所示。

(8)

軸承在機械臂傳動系統中起到支撐連桿轉動的作用。但是軸承內圈轉動的摩擦力矩會影響伺服系統的運動精度。根據文獻[21]可得到軸承摩擦力矩的表達式，如式(9)所示。

Ff=M0+M1

(9)

式中：M0為與轉速相關的摩擦力矩；M1為載荷相關的摩擦力矩。

M0的表達式，如式(10)所示。

(10)

式中：v為軸承潤滑阻尼系數；n為轉速；ωm為電機端的角速度；dm為軸承的平均直徑。

M1的表達式，如式(11)所示。

(11)

式中：C0為軸承額定靜載荷；p0為軸承的額定徑向載荷；p1為等效載荷，它取決于載荷的大小和方向；Fa為軸向載荷,Fr為徑向載荷。

含有柔性關節的柔性機械臂是一個復雜的非線性系統。為了方便設計干擾觀測器，需要對動力學方程進行簡化。根據Shang等和李小彭等的研究可知，轉角和模態坐標耦合的非線性項對于系統的影響較弱。因此可以忽略非線性的影響。

簡化后的含有柔性關節的柔性機械臂的動力學方程，如式(12)所示。

(12)

為了設計干擾觀測器，需要獲得受控對象的傳遞函數。在忽略動力學方程中的摩擦力矩后，對式(12)進行Laplace變換，可以得到式(13)。

(13)

在只考慮一階模態的情況下，可以得到含有柔性關節的柔性機械臂的傳遞函數，如式(14)所示。

(14)

式中，Gn(s)為名義傳遞函數。

2 含有干擾觀測器的PI控制策略

2.1 基于魯棒穩定性的干擾觀測器設計

低通濾波器的設計是干擾觀測器設計的核心環節。低通濾波器應該同時滿足魯棒穩定性和抑制干擾的能力。

由于在獲得名義傳遞函數的過程中，對含有柔性關節的柔性機械臂的動力學方程進行了一定的簡化。除此之外，含有柔性關節的柔性機械臂在運動過程中，動力學模型的一些參數會發生改變。這種動力學模型的簡化和參數攝動會造成名義模型和真實的伺服系統模型之間存在一定的誤差。根據Yun等的研究可知，名義模型和真實模型之間的關系可以用乘積攝動描述，如式(15)所示。

Gp(s)=Gn(s)[1+Δ(s)]

(15)

式中： Δ(s)為攝動；Gp(s)為實際的傳遞函數。

圖2 基于干擾觀測器的角速度控制回路Fig.2 Speed control loop based on disturbance observe

根據Yun等的研究，可以得到整個閉環系統關于參數攝動的補靈敏度函數，如式(16)所示。

(16)

式中，TDOB(s)為干擾觀測器內環的補靈敏度函數。

根據式(16)，可得到TDOB(s)的表達式，如式(17)所示。

TDOB(s)=Q(s)

(17)

系統魯棒穩定性的充分必要條件如式(18)所示。

‖Δ(jω)TDOB(jω)‖∞=‖Δ(jω)Q(jω)‖∞≤1

(18)

對式(18)進行變形，可得到式(19)。若低通濾波器的設計滿足式(19)，則可以保證系統穩定。

(19)

低通濾波器可以寫成如式(20)所示的形式。

(20)

式中，α，β，χ為待設計參數。

通過調整系數，可以使低通濾波器滿足式(20)，保證系統獲得穩定性。低通濾波器的伯德圖，如圖3所示。

圖3 低通濾波器伯德圖Fig.3 Bode diagram of the low-pass filter

通過圖3可知，低通濾波器的設計滿足式(20)，能夠保證系統穩定。

2.2 超限補償控制律的設計

在僅考慮一階模態的情況下，根據式(15)可得到含有柔性關節的柔性機械臂的狀態空間方程，如式(21)所示。

(21)

式中：ω為廣義速度；u為雙柔性機械臂伺服系統的輸入力矩；d為由軸承摩擦力矩和其他未知因素所引起的干擾。

根據文獻[22]可知，由于電流環和速度環之間的帶寬較大，因此可以忽略電流環的影響。本文使用PI控制器對速度環進行控制。PI控制器的控制律，如式(22)所示。

(22)

式中：Kp為控制器比例參數；Ki為控制器積分參數；e為誤差。

根據式(21)，可得到式(23)。

(23)

式中，f為伺服系統已知函數，它是一個有界函數，且具有上界。

根據式(23)可到標準的反饋控制率，如式(24)所示。

(24)

式中：ω*為期望速度矢量；E為誤差向量；D矩陣表示一組正矢量參數，滿足式(25)。

(25)

式中，k1和k2為正數向量。

本文所提出的控制策略的控制律由3個部分組成，如式(26)所示。

u=uPI+uDOB+uSC

(26)

式中，uSC為超限補償控制律，它用來保證系統穩定。

式(26)中，干擾觀測器的補償控制律的表達式，如式(27)所示。

(27)

為了使本文所提出控制策略的控制律能夠與標準的反饋控制律一致，應用李雅普諾夫函數設計PI控制器的超限補償控制律。

將式(27)代入式(23)，可得到式(28)。

(28)

根據式(28)可得到式(29)。

(29)

根據式(29)可得到式(30)。

(30)

定義李雅普諾夫函數如式(31)所示。

(31)

式中，P為正定對稱矩陣滿足式(32)。

(32)

式中，Q為給定的正定對稱矩陣。

根據式(31)可得到式(33)。

(33)

根據式(33)可得到式(34)。

(34)

式中，fU為已知函數f的上界取值。

設計超限補償控制律，如式(35)所示。

(35)

含有柔性關節的柔性機械臂的控制框圖，如圖4所示。

圖4 雙柔性機械臂伺服系統的控制框圖Fig.4 Control block diagram of the double flexible manipulator servo system

3 數值仿真分析與控制實驗

本文以含有柔性關節的柔性機械臂為研究對象，通過數值仿真分析和控制實驗驗證本文所提出控制方法對于抑制機械臂振動的有效性。為了驗證這種機械臂的控制效果，本文在柔性機械臂處于兩種不同長度的情況下開展仿真和控制實驗，具體參數如表1所示。

表1 含有柔性關節的柔性機械臂參數Tab.1 Parameters of the dual-flexible manipulator

表1 (續)

3.1 數值仿真實驗

含有柔性關節的柔性機械臂在轉動的過程中，受到摩擦力矩的影響。根據式(9)可知，軸承摩擦模型能夠將溫度、潤滑、軸向載荷等因素加以考慮。相較于LuGre[23]模型和Stribeck模型，軸承摩擦模型能夠更加準確地描述伺服系統中摩擦力矩和轉速的函數關系。本文在數值仿真過程中以軸承摩擦力矩作為伺服系統所受到的外界干擾。為了驗證伺服系統控制策略的跟蹤效果，采用正弦函數作為伺服系統角速度的期望輸入。以工況1的參數開展數值仿真分析，使用干擾觀測器觀測到的摩擦力矩和伺服系統的輸入力矩，如圖5所示。其中：圖5(a)表示經過干擾觀測器辨識的摩擦力矩；圖5(b)表示系統的輸入力矩。

根據圖5(a)可知，經過干擾觀測器辨識的摩擦力矩會出現微小的波動，這是由于名義模型和實際模型存在誤差。但通過干擾觀測器中低通濾波器的魯棒穩定性設計可以保證伺服系統參數攝動的穩定性。由于靜摩擦因素的影響，在角速度方向改變的瞬間，軸承摩擦力矩會發生突變。摩擦力矩的突變引起伺服系統所需控制力矩的突變。在真實的控制中，控制器無法在瞬時改變伺服系統的輸入力矩。由此會引起伺服系統輸出轉速的波動。干擾觀測器可以通過補償摩擦力的方式削弱摩擦力矩突變對于伺服系統的影響。根據圖5(b)可知，使用干擾觀測器后，伺服系統所需的輸入力矩的突變得到了明顯的改善。

圖5 摩擦力矩仿真結果Fig.5 SIMULINK results of friction torque

含有柔性關節的柔性機械臂末端執行器的振動除了與電機端的輸出轉速有關外，還和連桿端輸出轉速的波動有關。同樣，根據工況1和工況2的參數開展數值仿真實驗，得到不同控制策略下仿真輸出結果，如圖6所示。其中：圖6(a)和圖6(b)表示連桿端的輸出轉速；圖6(c)和圖6(d)表示柔性連桿末端的變形。

圖6 仿真輸出結果Fig.6 SIMULINK results of the servo system

隨著機械臂長度的增大，連桿的柔性也逐漸增強。根據圖6(a)和圖6(b)可知，在機械臂長度較長的情況下，連桿端的速度波動明顯增加。但是使用本文所提出的控制策略能有效的減弱連桿端角速度的波動。根據圖6(c)和圖6(d)可知，隨著機械臂長度的增加，在轉動過程中末端變形波動程度也增大。使用本文所提出的控制策略，能有減弱末端變形的波動。由此，驗證了本文所提出的控制可以抑制含有柔性關節的柔性機械臂的振動。

3.2 控制實驗

本文搭建了含有柔性關節的柔性機械臂的控制實驗平臺，如圖7所示。控制實驗平臺由伺服電機、柔性關節、柔性連桿、NI控制器、磁編碼器等組成。因為套索傳動的關節具有一定的扭轉剛度，因此將這種關節等效為柔性關節。NI控制器由NI-Crio-9053模塊、NI-9264模塊和NI-9401數據采集模塊組成。NI控制器中NI-Crio-9053作為下位機將控制信號輸入NI-9264模塊。伺服電機的輸出力矩由NI-9264模塊產生對應的脈沖信號控制。NI-9401數據采集模塊采集電機端和連桿端磁編碼器所測量的數據。并將所采集到的數據實時傳入控制程序。

圖7 雙柔性機械臂控制實驗平臺Fig.7 Control experiment for the double flexible manipulator

根據表1中的參數，設置機械臂的長度。使用上述兩種不同的控制策略對含有柔性關節的柔性機械臂的角速度進行控制。以正弦信號作為輸入信號，所得到的伺服系統連桿端的角速度和誤差的變化規律，如圖8所示。

圖8 實驗結果Fig.8 Results of experiment control

根據圖8(a)和圖8(b)可知，隨著機械臂長度的增加，使用PI控制控制策略已經無法保證伺服系統獲得穩定的角速度輸出。但是使用本文所提出的控制策略，仍然能夠保證伺服系統獲得穩定的角速度輸出。根據圖8(b)和圖8(d)可知，使用干擾觀測器能有效的減小角速度方向改變時產生的誤差急劇增大的現象。因此，通過含有柔性關節的柔性機械臂的控制實驗說明了本文所提出控制方法的有效性。

為了進一步評價控制策略的控制效果，本文對誤差數據進行分析。以誤差絕對值的平均值和誤差的標準差作為評價指標。繪制了不同工況下的誤差指標統計圖，如圖9所示。

圖9 誤差指標統計圖Fig.9 Statistical graphs of errors indicators

根據圖9可知，無論在哪種工況下，本文所提出的控制策略都擁有更小的誤差絕對值平均值和誤差標準差。在機械臂較短的工況下，本文所提出的控制策略擁有更加明顯的優勢。在工況1情況下，相比于PI控制策略，本文所提出的控制策略能夠使誤差絕對值平均值降低15.415%；使誤差標準差下降20.728%。在工況2情況下，本文所提出的控制策略能夠使誤差絕對值平均值降低7.244%；使誤差標準差下降14.248%。根據統計數據可以證明本文所提出的控制策略能提高含有柔性關節的柔性機械臂角速度的控制精度。

4 結 論

本文以含有柔性關節的柔性機械臂為研究對象，使用拉格朗日方法建立了考慮軸承摩擦的動力學方程。然后應用含有干擾觀測器的PI控制策略抑制伺服系統角速度的波動。在設計干擾觀測器的過程中，考慮了參數攝動情況下的穩定性。使用李雅普諾夫穩定性定理設計控制器的超限補償率。通過干擾觀測器辨識并補償伺服系統中的軸承摩擦力矩，以此減小摩擦力矩對輸出角速度的影響。仿真結果和控制實驗表明：本文所提出的控制方法能夠抑制角速度的波動。具體研究結論如下所示。

(1) 在含有柔性關節的柔性機械臂中，當角速度的方向發生改變時，軸承摩擦力矩會發生突變。這種突變現象會加劇角速度的波動，進而增大誤差。

(2) 干擾觀測器可以有效的辨識出伺服系統中的摩擦力矩，并且干擾觀測器通過補償干擾力矩的方式，減弱摩擦力矩的影響。

(3) 根據仿真分析和控制實驗可知，含有干擾觀測器的PI控制策略更適合于機械臂較長的工況。本文所提出的控制策略在工況2的情況下，使轉速誤差絕對值的平均值下降11.33%；使誤差標準差下降17.488%。由此可知，本文所提出的控制策略能夠抑制含有柔性關節的柔性機械臂的角速度波動，進而減弱機械臂的振動。

干擾觀測器的使用前提是受控對象能夠用傳遞函數表示。多柔性連桿的機械臂是一個強非線性的復雜模型，無法獲得它的傳遞函數。基于干擾觀測器的控制策略不適用于多柔性連桿的機械臂。但是非線性的干擾觀測器和其他抗干擾的控制策略可以用于控制多柔性連桿的機械臂。關于多柔性連桿的機械臂的建模和控制策略還需要進行深入的研究。在未來，希望能夠將智能控制策略用于多柔性連桿機械臂的控制，以此解決強非線性模型的控制問題。