一類含未知函數(shù)重積分競賽題的研究與推廣

歐陽資考，石勇國，廖 為，刁 琴

(內(nèi)江師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，四川 內(nèi)江 641100)

0 引言

很多學(xué)者重視重積分教學(xué)研究. 周敏等[1]利用整體運(yùn)算與邊界運(yùn)算之間的聯(lián)系,類比推導(dǎo)了格林公式，以統(tǒng)一的觀點(diǎn)看待牛頓-萊布尼茲公式、格林公式、高斯公式與斯托克斯公式； 袁榮[2]介紹了極坐標(biāo)變換計(jì)算二重積分的方法和技巧；蔣銀山[3]給出了三重積分的幾種常用計(jì)算方法； 草吉利等[4]給出了高斯公式另一種簡捷的證明方法； 張輝等[5]介紹了第一類曲面積分計(jì)算的八種常用方法； 滕吉紅等[6]結(jié)合歷屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題，統(tǒng)計(jì)了重積分換元法的考查頻率和考查方式； 尹遜波等[7]系統(tǒng)給出了重積分坐標(biāo)變換的公式，并且運(yùn)用到近幾年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題； 張立卓等[8]說明了高斯公式計(jì)算曲面積分需要注意公式成立的條件；石勇國等[9]給出了計(jì)算定積分的一些方法.

重積分計(jì)算的難點(diǎn)涉及利用對稱性、恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換、選擇使用格林公式或高斯公式等. 試題的綜合性強(qiáng)，應(yīng)用廣泛. 重積分計(jì)算在全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽中出現(xiàn)頻率較高，其中一類含有未知函數(shù)的重積分競賽題經(jīng)常出現(xiàn)，分值較大，例如：

這類重積分競賽題有兩個(gè)明顯的難點(diǎn)，其一是題目中均有關(guān)于未知函數(shù)f的微分方程，但是f沒有給出顯式表達(dá)式，無法直接求解；其二是重積分計(jì)算公式與其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合,例如，例1與極限結(jié)合，例2與無理分式結(jié)合，例3將二重積分?jǐn)U展到……