一類Riesz空間分數階對流彌散方程的差分方法

張治國，陳豫眉，梁 倩

(西華師范大學a.數學與信息學院 b.公共數學學院，四川 南充 637009)

0 引言

分數階偏微分方程已被廣泛應用于生物、化學和物理等領域[1-6].由于應用背景廣泛并且分數階微分方程難以獲得精確解，故求其數值解尤為重要.目前有不同的數值方法用于求解Riesz空間分數階方程.Meerschaert等[7-8]應用移位的Grünwald-Letnikov公式逼近Riesz分數階導數，提出了無條件穩定的一階差分格式.Celik等[9]使用分數階中心差分公式近似了Riesz分數階導數，提出了無條件穩定的二階隱式差分格式.劉桃花等[10]研究了帶有分數階邊界條件的Riesz分數階對流擴散方程，他們利用分數階中心差分公式離散Riesz分數階導數, 對邊界條件中的左側Riemann-Liouville分數階導數使用標準的Grünwald-Letnikov公式離散.林海欣等[11]研究了帶左側Rieman-Liouville分數階導數邊界條件的對流擴散方程，他們利用分數階中心差分算子離散Riesz分數階導數,同時對于邊界條件則是使用加權和移位的Grünwald-Letnikov公式進行離散.尹修草[12]和曾寶思等[13]研究的分數階對流擴散方程中含有帶整數階的Robin邊界條件，利用中心差分公式離散Riesz分數階導數.古傳運等[14]推廣了含Rieman-Liouville導數的分數階微分方程的比較定理.

給定如下帶有分數階邊界條件的Riesz空間分數階對流彌散方程：

(1)

u(x,0)=q(x),0

(2)

(3)

(4)

定義中Γ(·)為Gamma函數.

本文主要討論β>0時的情況.

1 差分格式構造及理論分析

均勻剖分給定區域

(N，M∈Z+)分別為空間及時間步長，則xi=ih(i=0,1,…,N)，tm=mΔt(m=0,1,…,M).再令φi=φ(xi)，

Celik等[9]定義如下分數階中心差分算子：

(5)

其中

利用(5)式對(4)式在點(xi,tm)進行近似處理，即：

(6)

利用向后Euler差分近似一……