退化拋物型方程擴散系數識別的反問題

許 瑤 瑤

(蘭州交通大學 數理學院，甘肅 蘭州 730070)

0 引言

我們研究兩種退化拋物型方程的擴散系數識別的反演問題,主要討論一維線性方程.當0<α<1時,弱退化方程如下:

(1)

當1≤α<2時,強退化方程如下:

(2)

考慮并分析以下兩種類型的未知擴散系數識別的反演問題.

線性情況:給定α=1,反問題是根據在某一時刻的附加數據來識別常數系數a(x)≡a的,其中a是未知的正常數.

冪指數型情況:給定a(x)=1,反問題是根據在某一時刻的附加數據來識別冪指數α∈(0,2)的.

近年來,退化拋物型方程由于其重要的相關理論分析和實際應用而受到越來越多的關注,如氣候學[1]、種群遺傳學[2]、金融數學[3]、流體動力學[4]等.反問題是一種在Hadamard意義上不適定的問題[5-6],這意味著,要么解不存在,要么解不唯一,或者觀測數據的小誤差可能會導致解的計算出現巨大誤差.而對于討論解的唯一性和穩定性的理論方法主要包括:能量方法和Hardy不等式,強極值原理[7],Laplace積分變換和其他類似的積分變換方法,以及Carleman不等式.

退化拋物型方程反問題具有重要的基礎意義和實際應用.期權定價中著名的Black-Scholes方程:

就是一個退化拋物型方程,很顯然s=0是它的退化邊界.文獻[8]研究了利用市場觀測數據重構隱含波動率σ的反問題.文獻[9]考慮退化拋物型方程的唯一延拓和近似能控型:

Lu:=ut+(xαux)x,Q=(0,1)×(0,T)，

邊界條件為u(0,t)=(xαux)(0,t)=0.推導出L新的局部Carleman估計得到唯一的延拓性結果并推導出弱退化問題的Dirichlet邊界控制的近似可控性;文獻[10]運用壓縮映射原理和基于預測-校正方法的數值算法分析了退化拋物型方程一階系數的反演問題;文獻[11]基于最優控制理論來反演一類退化熱傳導方程中的與空間相關的熱源.