引入GeoGebra軟件的“數學物理方法”教學改革探索

全鵬程，董義道，馮志剛

（國防科技大學空天科學學院，湖南 長沙 410200）

1 “數學物理方法”課程性質

“數學物理方法”[1-4]是一門既古老又新穎的學科，學界一般認為達朗貝爾在1746年《張緊的弦振動時形成曲線的研究》一文中提出弦振動偏微分方程標志著數學物理方法（偏微分方程）的誕生，從第一個偏微分方程一直到今天，各個領域都在誕生很多新穎奇特的偏微分方程，而關于偏微分方程的理論遠遠還沒有完善。當代中國大學“數學物理方法”的教學內容一般包括復變函數和偏微分方程兩部分，課程偏微分方程部分主要講述的是19世紀解決線性偏微分方程的經典數學方法，包括：行波法、分離變量法、積分變換法、保角變換法以及格林函數法。

筆者講授“數學物理方法”課程針對本校力學專業三年級的本科生，對于力學專業來說，課程的重要性體現在如下三個方面：第一，大學物理上升到力學的階梯。力學專業是在“大學物理”基本概念的基礎上構建完整的理論體系，而“數學物理方法”的課程知識就是構建完整體系必不可少的工具；第二，提升學生的邏輯思維能力；“數學物理方法”以概念定理、數學符號及各種偏微分方程將復雜的物理過程表現出來，一個簡單問題的處理往往需要綜合運用到很多數學知識，在這過程中就能夠訓練和培養學生的邏輯思維能力；第三，培養學生利用現有知識體系解決實際問題的能力。“數學物理方法”課程針三大類經典力學問題，講述模型建立、方程解算以及實際問題預測相關的知識，能在經典力學問題的介紹中培養學生分析和解決實際問題的能力。

2 “數學物理方法”教學過程中存在的問題

2.1 課程內容繁而多，學生容易淹沒在數學推導的汪洋大海

“數學物理方法”含有復變函數和數學物理方程（偏微分方程）兩部分共十四章內容，每一章節又包含了很多由概念定理、數學符號、各類關系式、方程等形式組成的細小知識點，這些細小知識點經常會在不同章節交織在一起組成一張復雜的知識網。并且由于課程學時多，教學過程持續時間長，很多學生都會對某些知識點的掌握不牢固，而對于一些比較復雜的物理問題，因為涉及使用不同章節的數學知識，筆者經常遇到的一個問題是學生容易卡在某一個細小的數學知識點不可自拔而忽視掉物理問題的全局，甚至在整個課程的學習中產生多米諾骨牌效應──“一步跟不上，步步跟不上”。

2.2 課堂推導過程單調，學生聽課過程中感到枯燥乏味

“數學物理方法”這門課程在某種程度上是披著物理外衣的數學，其涉及的物理背景相對來說比較簡單，整個課程只涉及三大類物理現象：波動問題、熱傳導問題和穩定場問題（包括靜電勢分布問題）。對于物理問題的描述學生一般都較為清楚，但是課程大部分時間是利用偏微分方程的相關知識去解決物理問題，筆者在教學過程中主要是利用板書來推公式、解方程，基本上每次課都會寫滿四塊板書，課件主要是對板書的補充和總結，看上去也基本都是公式和方程。對著密密麻麻的板書和課件學生難免會感到枯燥乏味，很難在兩節課時間內都保持注意力集中。

2.3 結果抽象不直觀，學生感到困惑的同時失去信心

“數學物理方法”的兩部分內容是復變函數和數學物理方程，大量公式定理的講解都涉及抽象的數學知識，學生不容易直觀理解。復變函數的核心是解析函數的相關性質及應用，包括：解析函數、柯西積分理論、無窮級數、解析延拓、復變函數、留數定理以及積分變換，這些知識雖然都有物理上的應用，但是由于學時的限制講解過程以數學定理的推導和證明為主；數學物理方程的核心是在不同的坐標系中利用分離變量法解偏微分方程，包括直角坐標系、極坐標系、柱坐標系及球坐標系，分離變量法的求解的結果往往都是利用本征函數組成的級數解，一個簡單的物理問題的解往往要寫成直觀上無法理解的級數解，學生也容易感到困惑。

3 引入GeoGebra軟件的教學改革措施

3.1 聚焦物理問題的描述與理解，源于物理，用于物理

“數學物理方法”課程雖然涵蓋了很多數學知識，但其實課程的內容（尤其是數學物理方程部分）都有很深的物理背景，講解過程將物理融入數學會大大提高學生對知識的接受度。以格林函數法的教學為例，筆者首先會以靜電勢的分布為例介紹無界空間的格林函數，其基本思想是將空間電荷分割為無限個點電荷，求出點電荷的電勢分布（亦即其格林函數）后再進行疊加積分求出完整的電勢分布。這部分的講解主要是對學生已有物理知識的直接運用，接受起來也比較簡單。然后再將這種無限分割求和的思想推廣到有界空間，邊界的存在物理上會產生感生電荷，數學上對應定解問題的邊界條件，因而問題的關鍵是格林函數邊界條件的提法。單純依靠物理知識并不能解決邊界條件的提法，剩下來的時間主要是利用格林第一公式和格林第二公式解決這個問題。最后，再將靜電勢分布的格林函數法推廣到含時間項的物理問題，包括波動問題和熱傳導問題。格林函數法的核心思想起源于物理上的電勢分布，經過延伸也能推廣到其他的物理現象，雖然中間也有不少的數學公式推導，但是只要以“無限分割求和”這種樸素的物理思想為牽引，學生基本上都能比較容易理解這一方法并進行延伸。

3.2 穿插名人軼事、應用舉例，豐富課堂教學內容

針對課堂枯燥無味，學生厭學情緒嚴重這一問題，筆者嘗試了將和課程內容相關的一些科學趣事和應用舉例融入課堂。筆者通常會用2個學時講解貝塞爾函數應用的例題，該題解答過程比較復雜，以板書推倒為主，需要1.5個學時，剩下的0.5個學時筆者一般會穿插一些科學界的小故事來吸引學生注意力：貝塞爾函數是由德國數學家貝塞爾提出，其從26歲一直到62歲逝世都擔任柯尼斯堡天文臺臺長，期間做出了很多天文學的發現，比如光年的概念就是由貝塞爾首先提出；同時，也會利用GeoGebra軟件將結果可視化提高課堂學生的積極性和主動性。

3.3 利用GeoGeBra進行動畫設計，讓公式開口說話

GeoGebra軟件[5]可以呈現一些無法板書或板書不清的復雜情境，甚至呈現三維效果，拓展學生的空間想象能力，更重要的是該軟件能動態呈現變化過程，將枯燥無味的數學推導變得形象具體。筆者在教學過程中用到的一些GeoGebra應用實例包括：（1）復數及其代數運算的幾何表示；（2）復變函數實部和虛部的幾何表示；（3）黎曼面的形象表示；（4）解析函數實部和虛部等值線的正交；（5）多值函數繞支點/非支點一周函數值的變化；（6）傅里葉級數疊加對不同函數的模擬；（7）傅里葉變換與拉普拉斯變換核函數的區別；（8）隨機信號時域和頻率分布；（9）無界弦上左行波與右行波的動態演示；（10）行波在半無界弦上的反射及半波損失動態演示；（11）兩端固定弦行波反射形成駐波；（12）波動方程解的動態演示；（13）熱傳導方程解的動態演示；（14）二維泊松方程解云圖；（15）球函數值分布云圖；（16）初等函數保角變換演示；（17）儒可夫斯基變換演示。實踐發現將該軟件引入數學物理方法課堂教學中，能夠使得教學過程更加直觀、生動并富有啟發性，讓學生印象深刻，從而激發學生自主學習的積極性，提高課堂教學質量。同時，筆者編寫的GeoGebra程序在課后都會發給學生自主探索，學生在完成學習任務的同時能利用程序處理一些其他生活或者專業中的問題，提升了利用基礎數學物理知識分析和解決問題的能力。

4 結語

通過聚焦物理、穿插舉例、引入GeoGebra軟件可視化對現有的教學模式進行了一定的改革，改變了傳統教學模式中存在的一些弊端，將抽象復雜的公式和方程用圖形和動畫的形式展示出來，很好激發了學生的學習熱情，提升了學生對知識重難點的理解，提升了人才培養的質量。