概念是怎樣開花的

摘要：概念教學要從重視概念的生長過程開始，立足學生的已有認知進行適切的教學設計，結合課堂的真實生成逐步引導，激發學生在一以貫之的結構主線上觀察、分析、發現、突破、創造，使概念在教學活動中自然地生根、發芽、開花、盛放．

關鍵詞：概念教學;生長過程;結構主線;整體性;一致性;發展性

概念是數學邏輯的基礎，是學生認知數學的起點．在初中數學的課型中，概念教學往往難度較大．如何突破這個教學難點呢？卜以樓老師指出，數學概念教學，要重視概念的生長過程，生長過程源于概念產生的事實背景．所以，教師要選擇適切的問題情境，引導學生親歷建立數學概念的思維之路，領悟數學概念形成、生長之魅力[１]．受此啟迪，筆者以蘇科版八年級上冊“一次函數（第１課時）”為例，進行了實踐和思考．

１定位與設計

１．１ 教學內容

在初中階段，學生會學習一次函數、反比例函數、二次函數，這三種函數都是基于代數式的結構來定義的．?義務教育數學課程標準（２０２２年版）?指出“教師應把握數與式的整體性”[２]，這個整體性完全可以延伸到函數的教學中．筆者將本節內容設置為“舉出不同的函數實例，根據表達式的結構初步認識不同種類的函數;初步認識一次函數（正比例函數）”，引導學生從宏觀的角度鳥瞰初中階段的函數全貌．

１．２ 主問題串設計

（１）你能發現身邊的函數嗎？

（２）你能找到結構不同的函數嗎？

（３）根據表達式的結構，將以上函數分類．

（４）哪些函數是一次函數（正比例函數）？

２ 實踐與說明

２．１ 身邊的函數

問題１ 我們班共２９人，有１位同學缺勤，實到２８人．這里其實就蘊涵著函數關系，你發現了嗎？

師生活動：

生１：如果缺勤的同學有x 人，實到y 人，那么①y＝２９－x．

師：y 是x 的函數嗎？ 為什么？

生２：是的，因為對x 的每個值，y 都有唯一的值與它對應．

師：很好！ 另外，該函數源于實際，還應確定自變量的取值范圍，這里的x 可以取哪些值呢？

生３：x 是一個正整數，并且１≤x≤２９．

說明：該實例是貼近學生實際的一次函數，學生容易理解和接受．一次函數是函數的外延，從實例出發，感受實例中函數的特征是形成概念的必經之路．

問題２ 我們的身邊有形形色色的函數，你能再舉出一個函數的實例嗎？

師生活動：學生舉出函數的實例，并說出表達式，老師板書并引導學生繼續思考．

生４：一個水池原來有水５０m３，如果放水速度是５m３/h，且放水x h后還有y m３．那么②y＝５０－５x．

生５：汽車油箱里有４０L汽油，行駛過程中每小時耗油２L，如果行駛x h后油箱里剩余y L油，那么③y＝４０－２x．

師：請看①～③式，怎么感覺它們非常像？

生６：它們都是一個總量減去x 的倍數．

師：難怪這么像，結構都一樣！ 那么大家能舉出和它們結構不同的函數嗎？

說明：教師沒有給出材料而是讓學生自主發現，這樣做是為了真實呈現學生的理解水平．看到學生舉例的辦法是換情境，教師指出以上函數的“同”，引發學生對“不同”的追索．

２．２ 不同的函數表達式

問題３ 繼續舉出函數的實例，要求函數表達式的結構與以上不同．

師生活動：學生舉例，老師板書并引導生思考．

生７：一顆小樹高６０cm，假設它每年長高１０cm，如果x 年后小樹高為y cm，那么④y＝６０＋１０x．

師：哦，有變化了！ 從“減”到“加”了！ 不過它們的結構仍可以看作是相同的，大家試著從代數式的類型來看一看．

生８：２９－x，５０－２５x，４０－２x，６０＋１０x 都是多項式，并且都是一次二項式．

師：有沒有函數的表達式不是一次二項式呢？（課堂陷入了沉默中．）

師：想不出來不著急，我們一起來看個例子．（教師畫出兩個邊長為x 的正方形．）

師：第１個正方形，若y 是它的周長，那么

生：⑤y＝４x．

師：在第２個正方形中，若y 是它的……

生：若y 是它的面積，那么⑥y＝x２．

看到不同的代數式了嗎？ 再想一想，試一試．

說明：什么是表達式的結構？ 學生剛開始的認識比較模糊，通過教師指明“代數式的類型”，學生對“結構”的認識開始明晰．由于生活經驗不足，學生很難想到不同的實例．教師的舉例讓學生轉變視角，從單薄的生活現實回歸到熟悉的數學現實中．

師生活動：通過閱讀補充材料，學生知道正比例函數的命名來自小學階段“正比例關系”．在定義的基礎上，學生體會兩種函數的關系，并舉出一些不同的一次函數例子．

問題５ 正比例函數和一次函數二者之間有什么關系？ 我們學習過類似的關系嗎？

生１６：正比例函數是特殊的一次函數．

生１７：像這樣的特殊與一般的關系還有很多，比如，正方形是特殊的長方形，整數是特殊的有理數，有理數是特殊的實數……

問題６ 我們已經舉了很多一次函數的例子，你覺得一次函數能舉得完嗎？

生１８：舉不完．因為系數、常數是無窮無盡的．

師：可以用什么代表無窮無盡、千變萬化呢？

生：字母！師：對，字母表示數！ 誰來試試看？

生１９：y＝ax＋b（a，b 為常數，a≠０）．（括號是在其他學生提示下加的．）

師：由于正比例函數中的自變量系數又叫做比例系數，常用k 表示．于是約定：定義２ 一般地，形如y ＝kx ＋b（k，b 為常數，k≠０）的函數叫做一次函數，其中x 是自變量，y 是x的函數．特別地，當b＝０時，y＝kx（k 為常數，k≠０）），y叫做x 的正比例函數．

例１ 表２中，y 是x 的一次函數嗎？ 是正比例函數嗎？ 如果是，指出k 和b 的值;如果不是，指出函數的類型．

師生活動：教師引導學生總結要先把一次函數寫成一般形式后再確定k 和b 的值．

例２ 已知一次函數y＝－２x＋３．

（１）當x 為何值時，y＝０？

（２）當x 為何值時，y＞２？

師生活動：教師引導學生發現當y 的值確定時，實際上得到了關于x 的一元一次方程、一元一次不等式，學生初步體會方程、不等式、函數之間是可以互相轉化的．

２．５ 結語

師：今天這節課拉開了豐富多彩的函數世界的帷幕，我們會從一次函數開始踏上認識函數、理解函數、應用函數的征程．

３ 反思與提煉

數學概念不但是數學認知的基礎，還是積累數學活動經驗的載體，為培養學生“三會”提供了得天獨厚的思維平臺．概念教學不僅是教學任務，還是教學機遇．

３．１ 概念形成需要多元化的實例———真

概念的形成常始于從實例抽象，而限于篇幅，教材中往往給出的都是符合概念的完美例子．在概念教學中，應該鼓勵學生舉出多元化的例子，學生在對比和沖突中自發摒棄不完美的例子，從而聚焦于完美例子，是概念形成的最好的模樣．事實上，這指向了學生概念學習的一個重要要素———“真”．

３．２ 概念形成要回歸到概念體系中去———貫與破

數學概念之間有嚴密、精確的關聯，任何一個概念總是概念體系中的一點，它們不是孤立、憑空而生的，新概念的形成往往既有“一以貫之”（合理性），又有“破而后立”（必要性）．“貫”是內部和諧，“破”是外部需求，回到概念體系中認識貫與破，恰是概念教學的核心任務．“貫”是繼承，“破”是創造，其實哪個概念的形成不是貫與破的共舞呢！

３．３ 概念形成不妨兼顧周邊概念———窮

函數的外延不止有一次函數，還有反比例函數、二次函數等．在學習一次函數概念時，由于出現了不同類型的實例，因此完全可以順勢而為，窮盡不同的同級概念．本節課中，同級概念的提出，不但無損于一次函數概念的形成，反而通過對比強化了彼此的理解．

在概念形成的過程中，“真”是土壤，“窮”是花園，“貫、破”是陽光雨露，萌發的是學生思維之芽，綻放的是學生思維之花，結出的是學生思維之果，而教師在這個生長過程中，只需培土、澆水、維護，是一個護花使者．進一步看，“真”指向以生為本的人文教育觀念，“貫、破”指向數學教學特有的結構意識，為教學提供了生長視角，“窮”指向無限可能的生長課堂．概念是這樣開花的，開花的不止是概念，還有學生思考的心靈．

參考文獻：

[１]卜以樓．生長數學：卜以樓初中數學教學主張[M]．西安：陜西師范大學出版社，２０１８：２２９Ｇ２３８．

[２]中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準（２０２２ 年版）[S]．北京：北京師范大學出版社，２０２２．