培養(yǎng)逆向思維探尋解題新途徑

摘" 要：在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力，既可以突破學(xué)生思維固化已久的局面，又能增強(qiáng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的綜合能力，進(jìn)而達(dá)到提高初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效果的目的。對(duì)此，文章主要對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生逆向思維能力養(yǎng)成的有效教學(xué)策略進(jìn)行探索，以期為初中數(shù)學(xué)教學(xué)提供思考與借鑒。

關(guān)鍵詞：逆向思維；初中數(shù)學(xué)教學(xué)；培養(yǎng)訓(xùn)練

思維是人腦在一定時(shí)期內(nèi)對(duì)客觀(guān)現(xiàn)實(shí)進(jìn)行概括與間接的反映，它體現(xiàn)了事物本質(zhì)和內(nèi)部規(guī)律性。而逆向思維則是打破常規(guī)思維定勢(shì)的一種思維方式，是站在對(duì)立面反其道而行之，具有變通性、獨(dú)創(chuàng)性、靈活性等特點(diǎn)。初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)在于強(qiáng)化學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、思維能力、數(shù)學(xué)思想方法以及解決問(wèn)題的能力。初中數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)應(yīng)做到以下幾點(diǎn)教學(xué)手段：

一、從概念定義教學(xué)入手，培養(yǎng)逆向思維

很多教學(xué)概念的界定都要通過(guò)揭示概念的本質(zhì)屬性來(lái)得出，有些數(shù)學(xué)結(jié)論也是通過(guò)確定、分析和探究某一數(shù)學(xué)對(duì)象或某一研究過(guò)程而得出的。因此，從不同角度去觀(guān)察、分析事物就會(huì)產(chǎn)生新的認(rèn)識(shí)。這種由已知到未知的思維過(guò)程叫作反向思維能力。教學(xué)中我們應(yīng)激發(fā)學(xué)生把握這一特征，以深化對(duì)定義的認(rèn)識(shí)與把握，發(fā)展逆向思維，形成逆向思維習(xí)慣。如線(xiàn)和平面垂直的定義是：“如果線(xiàn)和平面內(nèi)任意一條線(xiàn)垂直，那么線(xiàn)和平面垂直”。利用定義來(lái)求解的題目并不多，但是往往利用其逆命題來(lái)證明線(xiàn)和平面是垂直的。筆者把這一結(jié)論應(yīng)用于其他方面，往往可以起到化繁為簡(jiǎn)的效果，使解題更加簡(jiǎn)便。再比如互為反函數(shù)定義域和值域之間存在互逆關(guān)系。利用這種關(guān)系可以通過(guò)求定義域得到一些函數(shù)值域。否定命題只要有反例即可。舉反例來(lái)訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維，不僅可以加深記憶，而且在深入理解定義，定理公式方面起到主要作用，還是一種常見(jiàn)的糾正錯(cuò)誤手段。如定理：“閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)函數(shù)必然存在最大值與最小值。”其關(guān)鍵字眼為“閉區(qū)間”與“連續(xù)”，這兩個(gè)詞缺一不可，如果定理?xiàng)l件發(fā)生了變化，則定理結(jié)論將遭到否定。由此可見(jiàn)，教學(xué)時(shí)注重經(jīng)常性地激發(fā)學(xué)生對(duì)一些定理、概念的逆用，可有效發(fā)展他們的逆向思維能力。

二、幾何定義、定理等逆向思維的培養(yǎng)

幾何上很多定義、定理、公式、法則都是雙向的，教師在平時(shí)教學(xué)時(shí)，常常只秉持從左向右地應(yīng)用，會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生定向思維，對(duì)逆用公式法則極不適應(yīng)。在解數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，若無(wú)法從正面求解時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生反其道而行之，進(jìn)行思考與探究。證明題中如果條件較少或者不充分時(shí)，常以分析法為首要，執(zhí)果索因地從結(jié)論出發(fā)，一步一步地尋找出使得結(jié)論成立的條件，然后運(yùn)用已知條件，展開(kāi)因果導(dǎo)向下的論證。

例如當(dāng)已知一個(gè)數(shù)與另一個(gè)數(shù)成比例時(shí)，如何求這個(gè)數(shù)量？如果只知道這個(gè)量的絕對(duì)值（或相反數(shù)）而未知其和值，怎樣求解？這種對(duì)問(wèn)題解決方式的逆向探索，更有利于學(xué)生逆向思維品質(zhì)的形成和問(wèn)題解決方式的尋找，因此教師有目的地對(duì)學(xué)生的逆向思維加以訓(xùn)練，有助于發(fā)展學(xué)生思維的靈活性、深刻性和突破性。恰當(dāng)?shù)貙?shí)施逆向思維教學(xué)對(duì)打開(kāi)解題思路、突破定向思維限制產(chǎn)生積極影響。這種情況常常通過(guò)一些簡(jiǎn)單教學(xué)便能逐漸形成。

三、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，訓(xùn)練逆向思維

初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過(guò)程，應(yīng)訓(xùn)練學(xué)生養(yǎng)成逆向思維能力，教師應(yīng)該先給學(xué)生提出符合教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生從逆向思維出發(fā)，分析、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。在此基礎(chǔ)上，教師可通過(guò)一題多解指導(dǎo)學(xué)生，進(jìn)一步加強(qiáng)其逆向思維能力培養(yǎng)。例如一般學(xué)生常用正向思維思考、分析數(shù)學(xué)問(wèn)題，但在正向思維不能判斷題目回答正確與否時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生從逆向思維出發(fā)，驗(yàn)證結(jié)果，判斷解題思路及解答是否準(zhǔn)確，鍛煉學(xué)生“舉一反三”的思維敏捷性。

教師在引導(dǎo)學(xué)生研究數(shù)量關(guān)系的過(guò)程中，可以提出：“小云的媽媽去市場(chǎng)上賣(mài)雞蛋，已知她第一次售出的雞蛋數(shù)量是全部雞蛋一半的一半；第二次售賣(mài)的數(shù)量是上次所剩雞蛋一半的一半；如果按照這種方式，一共售出了四次，雞蛋恰好會(huì)全部賣(mài)完，請(qǐng)學(xué)生計(jì)算一下，小明的媽媽原本有多少個(gè)雞蛋？”教師可引導(dǎo)學(xué)生從逆向思維出發(fā)，探索這道題的解決方法，請(qǐng)學(xué)生列舉數(shù)量關(guān)系式，并加以分析驗(yàn)證，以測(cè)試正向思維計(jì)算結(jié)果的正確性。通過(guò)此形式，學(xué)生不僅能更進(jìn)一步掌握數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題求解的本領(lǐng)，還可養(yǎng)成了用不同觀(guān)點(diǎn)處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的自覺(jué)性與能力。

四、利用數(shù)學(xué)公式，培養(yǎng)逆向思維

就初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)而言，通常情況下，學(xué)生習(xí)慣于正向運(yùn)用數(shù)學(xué)公式，一旦在考試時(shí)數(shù)學(xué)公式發(fā)生微小的形變，學(xué)生在解題時(shí)就會(huì)沒(méi)有思路，影響了學(xué)生學(xué)習(xí)效率的提升和教師教學(xué)質(zhì)量的穩(wěn)定。因此，教師在進(jìn)行初中數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，應(yīng)給學(xué)生舉出能逆向運(yùn)用數(shù)學(xué)公式的實(shí)例，并對(duì)其進(jìn)行鍛煉，這既能深化學(xué)生對(duì)公式的認(rèn)識(shí)與把握，又能促進(jìn)其更靈活地運(yùn)用公式，從而促進(jìn)學(xué)生在實(shí)際中學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)。例如完全平方公式（ａ＋ｂ）２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２，在實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題中，使用范圍很廣，學(xué)生不能僅僅掌握完全平方公式的正向用法，教師也要引導(dǎo)學(xué)生逆向理解完全平方公式，促使學(xué)生對(duì)該公式進(jìn)行理解及變換應(yīng)用。

在解答題目時(shí)，有些學(xué)生由于不能將兩個(gè)相同的數(shù)之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化過(guò)來(lái)，因此常常會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。例如：“已知ａ２＋ｂ２－２ａ－４ｂ＋５＝０，求■（ａ－１）２－ａｂ的值”，學(xué)生碰到此問(wèn)題時(shí)，自覺(jué)地先化簡(jiǎn)，但對(duì)式子能連接哪一個(gè)公式，學(xué)生反而更加迷茫了，字母中存在平方，所以它可能和完全平方公式相關(guān)。對(duì)此，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生自由發(fā)揮、暢想，將式子通過(guò)某些形變，化簡(jiǎn)為完全平方公式，通過(guò)交流和探討，促使學(xué)生能獲得“（ａ－１）２＋（ｂ－２）２＝０”，這就解決了“ａ－１＝０”和“ｂ－２＝０”的問(wèn)題，并最終得到“ａ＝１”和“ｂ＝２”的結(jié)果，接著代入原式，解值為－２。由此看出，一個(gè)典型的逆向使用完全平方公式來(lái)求解的題目，能鍛煉培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維及逆向思維能力，同時(shí)也能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新能力以及探索精神等。這說(shuō)明在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要善于為學(xué)生創(chuàng)設(shè)運(yùn)用逆向思維處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的情境，增強(qiáng)初中數(shù)學(xué)教學(xué)有效性。

五、布置課后習(xí)題，加強(qiáng)逆向思維

對(duì)初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)來(lái)說(shuō)，發(fā)展學(xué)生的逆向思維能力不是一朝一夕之功，而是需要很長(zhǎng)一段時(shí)間堅(jiān)持所得，因此教師僅僅依靠上課短短幾十分鐘的教學(xué)時(shí)間是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，教師很難對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)問(wèn)題進(jìn)行綜合的思考，應(yīng)通過(guò)布置課后習(xí)題，讓數(shù)學(xué)知識(shí)從課內(nèi)教學(xué)向課外自主學(xué)習(xí)延伸，在課余時(shí)間讓學(xué)生也能對(duì)知識(shí)進(jìn)行全面應(yīng)用。為了實(shí)現(xiàn)鞏固課內(nèi)知識(shí)的教學(xué)目標(biāo)，教師在布置課后作業(yè)時(shí)要有計(jì)劃性、有針對(duì)性地訓(xùn)練逆向思維能力，鼓勵(lì)學(xué)生廣泛地接觸各種數(shù)學(xué)題目，從而促進(jìn)學(xué)生逆向思維意識(shí)和模式的形成。

比如在求證“兩線(xiàn)交叉只有一個(gè)交點(diǎn)”這個(gè)結(jié)論時(shí)，為了指導(dǎo)學(xué)生驗(yàn)證該結(jié)果，教師可以從指導(dǎo)學(xué)生的假設(shè)開(kāi)始：“如果兩條直線(xiàn)相交，就出現(xiàn)Ａ、Ｂ兩個(gè)交點(diǎn)。”然后結(jié)合“穿過(guò)點(diǎn)Ａ與點(diǎn)Ｂ之間只存在一條直線(xiàn)”這一學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行推理和分析，就可以很容易地推翻原來(lái)的假設(shè)，它顯然不符合相關(guān)的數(shù)學(xué)定義，從而準(zhǔn)確地判斷出假設(shè)的正確性。教師可以讓學(xué)生提出各種觀(guān)點(diǎn)，要求學(xué)生根據(jù)這個(gè)答案：先設(shè)定結(jié)果，然后根據(jù)這一結(jié)果進(jìn)行逆向推理，再一步步顛覆以前的設(shè)定，得出正確的判斷。在鞏固練習(xí)后，學(xué)生也可以初步應(yīng)用逆向思維的方法，通過(guò)對(duì)相關(guān)習(xí)題的解答，促使自身逆向思維能力得到訓(xùn)練與開(kāi)發(fā)。基于此，教師可以給學(xué)生布置層次化的課下學(xué)習(xí)任務(wù)，結(jié)合學(xué)生依據(jù)自身情況，有針對(duì)性地安排課后作業(yè)，這樣就能照顧到全體學(xué)生的學(xué)，實(shí)現(xiàn)更有效的教學(xué)效果。

六、培養(yǎng)學(xué)困生的反思意識(shí)

（一）和學(xué)生搞好關(guān)系，創(chuàng)設(shè)民主教學(xué)氛圍

和學(xué)生搞好關(guān)系，創(chuàng)設(shè)民主教學(xué)氛圍，這樣能使他們減少心理包袱、敢問(wèn)、敢提不同意見(jiàn)，從而培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，主動(dòng)性。教學(xué)活動(dòng)過(guò)程，就是師生雙方進(jìn)行情感、思維溝通的過(guò)程。構(gòu)建良好的師生關(guān)系有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生建立起學(xué)習(xí)信心。教師平時(shí)應(yīng)該更加積極地親近學(xué)困生，多關(guān)心他們，向他們打聽(tīng)學(xué)習(xí)、生活等問(wèn)題，積極幫助他們排憂(yōu)解難，讓每個(gè)學(xué)生都能感受到自己是一個(gè)有活力的個(gè)體，從而增強(qiáng)自信心和進(jìn)取心，提高學(xué)習(xí)積極性。同時(shí)也要注意及時(shí)了解學(xué)生在學(xué)習(xí)上遇到的問(wèn)題與困惑，以便對(duì)癥下藥。從而提高學(xué)生對(duì)教師的信任感，打消學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的恐懼。

（二）給予學(xué)困生更多鼓勵(lì)，增強(qiáng)其信心

要給予學(xué)生更多鼓勵(lì)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)自信心。例如教學(xué)“正弦定理”時(shí)，結(jié)合初中所學(xué)三角形全等判定定理提出：“這里怎么不存在‘邊邊角’這一定理？”這道題對(duì)優(yōu)秀生來(lái)說(shuō)并不難，但是可以很好地刺激學(xué)困生的好奇心。隨后教師可用畫(huà)圖的方法來(lái)表示它：一個(gè)正方形邊長(zhǎng)為ａ＝ｂ＋ｃ，如果將其中兩個(gè)角分別剪成等腰三角形，那么它們是怎樣連接起來(lái)的？然后請(qǐng)學(xué)生用作圖的方法來(lái)解決問(wèn)題。在此過(guò)程中，教師鼓勵(lì)學(xué)生幫助學(xué)困生對(duì)定理進(jìn)行驗(yàn)證，使學(xué)困生有成功經(jīng)歷，并有同伴協(xié)助。最后，教師肯定學(xué)生的探索，從而引發(fā)學(xué)生更加強(qiáng)烈的反思欲望。

（三）培養(yǎng)學(xué)生反思思維

反思思維并非與生俱來(lái)，對(duì)學(xué)困生來(lái)說(shuō)尤其如此。所以，教師應(yīng)該教會(huì)學(xué)生反思，幫助他們養(yǎng)成反思能力。在教學(xué)實(shí)踐中，雖然很多學(xué)生也能寫(xiě)出一些反思記錄，但是往往只是停留于表面，沒(méi)有深入思考過(guò)問(wèn)題產(chǎn)生的原因和解決辦法。教師讓學(xué)生采用數(shù)學(xué)周記寫(xiě)作的方式能夠很好地訓(xùn)練學(xué)生反思的能力，并且因?yàn)閿?shù)學(xué)周記內(nèi)容是公開(kāi)的，所以更能督促學(xué)生復(fù)習(xí)，使其注意學(xué)習(xí)過(guò)程。學(xué)生可通過(guò)周記的方式記錄課上教師演示解題時(shí)不懂的部分，方便以后和教師或者同學(xué)進(jìn)行溝通；也可記錄下習(xí)題的各種解法，并記錄下在學(xué)習(xí)期間的情感體驗(yàn)等。為了使學(xué)困生擺脫數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困境，教師應(yīng)該給學(xué)困生多一些關(guān)心和幫助，使其感到教師對(duì)其與其他學(xué)生一視同仁，不反感、不拋棄，從而使其逐步建立起學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。

七、結(jié)語(yǔ)

通過(guò)逆向思維的培養(yǎng)，學(xué)生可以認(rèn)識(shí)到在使用某種方法無(wú)法解決問(wèn)題的情況下，應(yīng)該轉(zhuǎn)變思維方向，進(jìn)行相反方向的思考。所謂逆向思維能力是指在解題過(guò)程中對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析、綜合、比較后得出正確結(jié)論的思維習(xí)慣。在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)該注重強(qiáng)化對(duì)學(xué)生逆向思維能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生意識(shí)到在某個(gè)問(wèn)題通過(guò)某種方式無(wú)法解決的情況下，可以變換思維方向，反其道而行之，增強(qiáng)學(xué)生的逆向思維能力。訓(xùn)練學(xué)生逆向思維，不僅可以提高其分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，還可以改進(jìn)他們的思維方式，幫助他們形成靈活而寬廣的思維，養(yǎng)成良好思維習(xí)慣，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新開(kāi)拓精神。

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（責(zé)任編輯：秦" 雷）