整體觀下圖形運動的學法引領

摘" 要：“中心對稱與中心對稱圖形”這節展示課中，執教教師基于學科的知識邏輯與學生的認知規律，站在系統的高度，整體架構教學設計，以遞進式問題驅動，引領學生自主探究“中心對稱與中心對稱圖形”的概念與性質，構建初中階段圖形運動的知識體系，凸顯了幾何學習的基本思想與方法，為后續學習平行四邊形等知識奠定了扎實的基礎.

關鍵詞：中心對稱;中心對稱圖形;整體思想;注重學法

周正峰老師（以下統稱“執教教師”）展示的“中心對稱與中心對稱圖形”一課，選自蘇科版《義務教育教科書·數學》（以下統稱“教材”）八年級下冊第九章第二節. 執教教師基于單元設計理念，對分布在不同年級、不同章節的圖形運動內容進行整合，基于學生已有的認知經驗，創設情境，喚醒舊知，運用類比思想，以問題驅動方式，在情景交融的師生對話中，引導學生自主探究“中心對稱與中心對稱圖形”的概念與性質，構建初中階段圖形運動的知識體系，凸顯了幾何學習的基本思想與方法.

一、整體把握學科知識的邏輯關聯

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》在“課程結構”中強調，依據數學學科特點，關注數學邏輯體系、內容主線、知識之間的關聯，重視數學實踐和數學文化. 這個要求對初中數學教學同樣具有借鑒意義. 在教學實踐中，教師要突出數學的整體性，更要關注不同數學知識所蘊含的通性、通法和數學思想，使學生的學習過程成為一個在通性、通法和數學思想引領下的具有系統性、連貫性的有機整體. 基于此，可以看出教材中圖形運動內容具有如下特點.

1. 不同內容之間的邏輯關聯

在教材中，就平移、翻折、旋轉三種圖形運動而言，每一種圖形運動的具體內容都與其上、下位知識自成體系，且根據學生的年齡特點、認知基礎與學科知識之間的邏輯關系分布在不同年級、不同章節，形成一條鮮明的主線.

例如，在教材七年級上冊，翻折運動中的“展開與折疊”安排在第五章第三節. 在“5.1 豐富的圖形世界”中，學生對組成幾何圖形的基本元素點、線、面及其運動形式有了初步的感性認識，進而結合具體問題，在活動中感知平移、旋轉、翻折三種基本圖形運動. 基于翻折運動的一般情形，學習了“5.3 展開與折疊”一課，運用展開與折疊的方法，探究三視圖. 基于上述學習經歷與經驗，完成了數學活動——設計包裝紙箱.

在八年級上學期，遵循學生的認知規律，基于翻折運動的特殊情形——圖形重合這一事實，探究學習了“2.1 軸對稱與軸對稱圖形”. 運用“軸對稱與軸對稱圖形”的概念與性質，類比平行線的研究思路，系統地學習了等腰三角形等軸對稱圖形的相關知識.

上述學習過程是“圖形運動—翻折運動”的一個完整的過程.

前面已經說過，在學習教材七年級上冊的“5.1 豐富的圖形世界”時，學生初步認識了旋轉運動，進入八年級下學期，也就是本節課之前，教材安排的內容是“9.1 圖形的旋轉”，系統地學習了圖形旋轉的概念與性質. 這些知識點恰好與本節展示課要學習的“中心對稱與中心對稱圖形”具有內在的邏輯關聯.

2. 同一主題內容之間的邏輯關聯

前面提到，教材中每一種圖形運動的內容，從上、下位知識的邏輯結構來看，都是相對獨立，且自成體系的. 從這個意義上來說，每一種運動的研究路徑都是以“情境—操作—表象—概念—性質—簡單應用”為主線展開的. 這樣一來，對同一主題的不同內容來說，無論平移、旋轉、翻折哪一種運動的學習在前，其學習路徑都可以類比、遷移到后兩種運動的學習過程之中，特別是關于圖形對稱性的研究路徑與方法. 因此，基于翻折運動的特殊情形（圖形對折重合），探究學習“軸對稱及軸對稱圖形”的概念與性質;基于旋轉運動的特殊情形（圖形繞旋轉中心旋轉180°，與原圖形重合），探究學習“中心對稱及中心對稱圖形”的概念與性質. 從概念的形成，到性質的探究，再到應用，都有內在的一致性、可比性.

二、整體架構學習路徑與方法

章建躍博士曾指出，在面對一個新的數學研究對象時，要有“整體觀”，要先為學生構建研究的整體框架. 通過這種方式，使學生在掌握數學知識的過程中形成一定的數學素養.

可以說，本節展示課中，執教教師正是基于這樣的考量，依據教材的特點，整體架構教學內容，將遞進式的五個問題貫穿于三個活動、四個環節之中，引導學生運用類比、遷移等思想方法，自主構建了中心對稱與中心對稱圖形的知識體系，突出了對數學建模（數學抽象、直觀想象）和邏輯推理素養的培養.

教學過程中，執教教師語言精練、教態平和，課堂活動豐富多彩，體現了“以學生為主體”的理念. 在觀摩本節展示課后，筆者有如下幾點體會.

1. 運用類比思想，傳承數學問題的學習路徑

在環節1中，執教教師通過氣勢如虹的“閱兵式”場景所包含的三種運動，類比翻折到軸對稱，再到軸對稱圖形的學習路徑，結合問題1，提出了第一個值得深思的問題：是不是學習旋轉也是從旋轉到某種對稱再到某種對稱圖形呢？以此展開，旨在讓學生通過類比，傳承數學問題的學習路徑.

再看環節2，執教教師對研究中心對稱圖形的引領，又一次淋漓盡致地凸顯了與軸對稱圖形研究路徑的一致性. 整個研究過程中，執教教師讓學生清晰地領悟到：研究圖形的對稱，要從運動的一般形式入手，探究特殊情形下圖形運動的本質，即從具體事例中抽象出研究對象，給出定義，并對研究對象進行劃分，然后研究圖形的性質. 在此基礎上，再運用概念與性質解決具體問題或應用. 在教學過程中，執教教師始終注重研究內容與相關知識的內在關聯;研究性質主要從組成圖形的基本元素出發，由點到線，再到面. 在“實踐操作，活用性質”的作圖活動中，又一次激活了學生的原有經驗——作已知圖形關于某一點的中心對稱圖形，這也是從“形”回到“點”.

本節課，無論是學習中心對稱及中心對稱圖形的概念，還是探究中心對稱的性質，以及運用中心對稱作圖的方法，始終沿用軸對稱的學習路徑. 可以說，這種學習方式形成的素養，正是當前教育所倡導的.

2. 重視重構大單元體系，發展整體思想

前面提到，教材對圖形的三大運動是獨立安排章節的，它的合理性在于學生通過學習圖形的某種運動，去探究學習圖形的對稱性，再運用對稱性進一步研究一些基本的對稱圖形. 例如，學習了翻折和軸對稱之后，研究等腰三角形等軸對稱圖形;學習了旋轉和中心對稱之后，研究平行四邊形等中心對稱圖形. 學生可以運用運動的觀點去觀察、分析靜態的幾何圖形. 從內容上看，三大運動同屬于圖形運動主題. 本節展示課沒有局限于對中心對稱和中心對稱圖形的知識探究，而是將平移、翻折、旋轉三大運動的知識進行類比整合，重新構建了圖形運動的大單元知識體系. 這種整體思想必定影響著學生.

在課堂小結時，執教教師提問道：“同學們有沒有什么疑惑呢？”有學生竟然回應道：“如果圖形旋轉60°或者其他特殊度數，又可以形成怎樣的對稱？這種對稱又會有怎樣特殊的性質呢？”也有學生問：“翻折和旋轉都構成了一種對稱關系，那么平移運動會不會也能構成某種對稱關系，甚至對稱圖形呢？” 從以上的課堂生成中，不難看出學生已經初步形成了單元意識，并敢于大膽猜想. 可以說，執教教師站在整體觀下的教學設計，激發了學生的好奇心，發展了學生的高階思維，即思維的發散性、評判性和創造性.

3. 重視活動體驗，彰顯育人價值

執教教師在課堂教學的四個環節中設計的三個活動，每一個活動都非常重視學生的真實體驗和探究新知的參與度. 課堂活動包括了實例展示、類比猜想、動手操作、小組合作、游戲互動、課堂小結等，形式豐富多彩.

例如，在環節1中，教師首先呈現“閱兵式”場景，激發學生的興趣，又用課件的動態演示功能喚醒學生的舊知，讓學生初步猜想中心對稱的概念. 為了能讓學生對中心對稱有更深入地理解，在環節2中讓學生動手操作，將一個四邊形繞著點O旋轉180°后與另一個四邊形重合，親身感受中心對稱概念的形成，再讓學生基于操作經驗歸納中心對稱的概念——把做出來的再說出來，旨在鍛煉學生的語言表達能力. 至此，執教教師并沒有停止讓學生繼續探索的步伐，接著就讓學生小組合作交流探究中心對稱的性質. 在5分鐘的探究活動中，教師對每個小組都給予指導，參與其中的討論和成果展示. 學生不僅自主探究了中心對稱的基本性質，還有許多意外發現. 例如，“兩組對應點和對稱中心構成的兩個三角形全等”“連接兩組對應點，它們連線的交點就是對稱中心”，等等. 在探究運用中心對稱的性質作圖時，教師讓三名學生分別充當兩個點和一個對稱中心，通過這種簡單易懂的游戲，帶領學生體驗“如何作一個點關于某點成中心對稱的點”. 在游戲中，學生獲得了最直觀的體驗. 這種方式突出了教學重點，分散了教學難點.

在小結階段，執教教師仍不忘挖掘展示生活中的中心對稱圖形所蘊含的數學之美. 最后的教師寄語“現實生活中從不缺少美，要善于用數學的眼光去發現生活中的美”，將本節課的育人價值畫上了一個完美的句號.

總體來看，對于本節展示課，執教教師基于整體思想，善于學法引領，放手讓學生探究，充分調動了學生的積極性，培養了其數學核心素養. 寓教于樂，又讓課堂充滿生機.

三、對“中心對稱與中心對稱圖形”一課的教學思考

1. 關于多媒體技術賦能課堂教學的思考

多媒體技術與課堂教學的融合，是構建信息社會新型教學模式的重要途徑. 本節展示課有多處運用了多媒體技術輔助教學. 例如，情境問題的創設，性質的探究等環節的動態演示，很好地激發了學生的學習興趣，增加了課堂教學的容量，提升了教學效果.

課堂教學，特別是概念課教學，應該結合教學內容讓多媒體技術輔助教學做到更精準、更直觀、更形象、更生動，從而幫助學生深刻地理解數學概念. 基于這一點來研究本節展示課，新知引入環節的動態演示還有待商榷之處.

例如，教師在動態演示如圖1所示的兩個螺旋槳具有某種對稱性時，師生對話如下.

師：這兩個圖形對稱嗎？

生1：不對稱.

師：你講的不對稱，指的是什么？

生1：它們不是軸對稱圖形.

師：但是我們來觀察一下，通過一定的旋轉之后（此時，圖形恰好旋轉了360°），它能不能與自身重合？

生1：能.

師：從這個角度看，它們也是對稱的吧？但的確不是軸對稱！

此處動態演示的精準度有待商榷. 因為展示課中用PPT動態演示的兩個螺旋槳都繞著旋轉中心旋轉了360°. 實際上，任何一個圖形繞著某一個點旋轉360°后都能與自身重合. 顯然，這個演示不能充分說明如圖1所示的螺旋槳具有某種對稱性. 其實，如圖1（a）所示的螺旋槳繞著中心順時針旋轉60°，120°，180°，240°，300°，360°時，即旋轉60°的整數倍時，這個圖形都能與自身重合;如圖1（b）所示的螺旋槳繞著中心只有旋轉180°和360°時，即旋轉180°的整數倍時，才能與自身重合. 教師可以再引領學生比較這兩個螺旋槳旋轉運動的共性是什么，讓學生充分地認識到：圖1中的每個螺旋槳圖片繞中心旋轉180°時都能與自身重合. 從而揭示中心對稱圖形的概念. 也就是說，基于即將形成概念的關鍵要素（圖形繞某一點旋轉180°，圖形與自身重合）進行演示，是否能更好地讓學生在新概念形成的過程中把握新、舊知識的關聯，以及新概念的本質屬性呢？

2. 關于“雙減”背景下作業設計的思考

從作業的設計來看，執教教師設計了分層作業. 其中，選做題的實踐性價值比較高，與生活實際有一定的聯系. 但是必做題中，執教教師似乎把重心都放在了中心對稱圖形的應用（作圖）上，而忽視了對《義務教育數學課程標準（2011年版）》要求的中心對稱及中心對稱圖形概念的考查. 如果教師能在注重應用的同時，對概念的內涵及外延進行考查，則能更好地體現教、學、評的一致性. 例如，在必做題中增加一道關于圖形概念的辨析題（是否具有對稱性，或是哪種對稱）.

另外，能否從單元角度進行作業的整體設計，以體現知識之間的聯系與區別. 例如，本節課以實際生活中具有對稱美的圖形結束后，在作業中增加一個實踐性的作業，讓學生發散思維，自己設計一幅具有對稱美的圖案，從而增加作業的趣味性，發展學生的創造性思維，提升學生的綜合運用與實踐能力.

3. 對圖形運動教學的思考

幾何變換或圖形運動，是幾何學習或初中階段數學學習中很重要的內容. 它既是學習的對象，也是認識數學的重要思想方法.

關于對稱圖形，初中階段學習的平面圖形有：線段、角、等腰三角形、平行四邊形、等腰梯形、圓、正多邊形等.

對學生應用意識的培養應貫穿于整個數學教學的全過程中. 在課堂小結環節，教師是否可以提出：操場上隨處可見的球、生活中常見的正方體、長方體等具有對稱性嗎？為什么？也就是，教師要思考：我們的課堂教學要如何基于課程改革理念，真正做到學以致用？如何適度地拓展學生用數學的眼光觀察現實世界的視野，增強用數學的思維思考現實世界的深度，用精準的數學語言表達現實世界的美好呢？

參考文獻：

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