注重概念形成過程 提升概念理解水平

摘" 要：本節課關注加權平均數概念的形成過程，通過設計情境與問題，從孕育“權”，感知“權”，到明晰“權”，層層遞進，逐步引導學生感悟“權”，形成概念. 通過對實際生活情境中問題的討論與交流，推動學生理解加權平均數的意義和作用，初步建立理性的數據觀.

關鍵詞：概念教學;加權平均數;理性精神

一、內容和內容解析

1. 內容

“加權平均數”一課主要內容為探索數據的權對平均數的影響，以及加權平均數在實際生活中的應用價值.

本節課教學重點為：理解加權平均數的意義，并應用其解決實際問題.

2. 內容解析

“加權平均數”位于滬教版《九年義務教育課本·數學》九年級第二學期第二十八章“統計初步”的第一節，本章的知識結構如圖1所示，內容包括“數據收集”和“數據處理”兩大模塊. 數據分析是統計的數學工具，是指針對研究對象獲取數據，運用數學方法對數據進行整理、分析和推斷.

統計主要是研究現實生活中的數據，通過對數據進行收集、整理、描述和分析，幫助人們做出合理的推斷和預測，對決策的制定有重要的作用. 加權平均數是描述一組數據集中趨勢的統計量之一，建立在平均數學習的基礎之上，是對平均數算法的推廣，體現的“數據的大小”和“數據的多少”兩個方面都影響著平均數的值.

加權平均數中，一個數據的“權”是指這個數據出現的次數與所有數據出現的總次數之比，且一組數據中加權平均數的權數的和為1，是描述這個數據在一組數據中對平均數影響大小的量. 已學習的算術平均數是特殊的加權平均數.

平均數、中位數和眾數都是描述一組數據集中趨勢的統計量. 其中，平均數能較好地反映所有數據的情況，其應用最為廣泛，但當數據中出現極端值時，平均數的代表性會受到很大影響. 中位數與眾數雖不受極端值影響，但不能反映所有數據的情況. 在實際應用中，應根據調查數據的分布情況與調查目的合理選擇統計量. 因此，理解加權平均數的意義，為以后繼續學習其他描述一組數據集中趨勢的統計量，理解其異同并合理選擇統計量奠定基礎. 同時，初步建立統計觀念，為學生后續學習表示一組數據波動程度的統計量和表示一組數據分布的統計量做鋪墊.

二、教學目標設置

本章學習的重點是計算基本統計量，并利用統計圖表整理數據、顯示數據. 學習的關鍵在于讀取數據信息，選擇恰當的數據分析工具. 在統計結果的解釋、交流活動過程中，讓學生體會統計與現實生活的密切聯系，增強統計觀念.

“加權平均數”一課的教學價值體現在兩個方面. 一方面，是計算意義上，即讓學生掌握加權平均數的運算方法;另一方面，是統計意義上，即讓學生在實際生活情境中能理性思考“權”的作用，合理“賦權”并用好“權”. 因此，本節課依托學生對平均數的原有認識，通過情境與問題設計，開展賦值、估值的數學活動，引導學生從特殊到一般，經歷從孕育“權”，感知“權”，到明晰“權”的概念形成過程. 在概念形成后，教師設計不同的數學情境引導學生體會“權”，并要求學生能正確計算加權平均數，使學生在生活實際問題的情境中能理性思考“權”的作用，并根據需要合理“賦權”.

本節課的教學目標設置如下.

（1）經歷加權平均數概念的形成過程，理解“權”的意義和作用，體會從特殊到一般的研究方法.

（2）理解加權平均數的意義并掌握它的計算方法，知道平均數、加權平均數與算術平均數之間的關聯，知道加權平均數是表示一組數據集中趨勢的統計量.

（3）在不同情境中，感悟“權”與加權平均數的價值，學會理性對待數據，初步建立統計觀念.

三、學生學情分析

學習本節課之前，九年級學生已經熟練掌握了平均數的計算方法，初步會用圖表來整理數據并從中獲取信息，具備一定的探究、分析、歸納能力，為教師順利完成本節課的教學任務打下了堅實的基礎. 學生能夠初步感受“權”對平均數的影響，在教師的引導下逐步感悟“權”的意義，但學生對平均數的理解還停留在計算層面上，數據處理的經驗比較少，容易被數據表象所誤導. 此外，學生缺乏一定的統計意識和統計觀念，較難在現實世界中真正地理解“權”的意義，仍需要教師結合具體的生活情境，對學生的錯誤認知給予糾正，加深學生對“權”的理解，在矛盾沖突中體會理性精神，使學生初步建立統計觀念.

因此，確定本節課的教學難點為：理解“權”的意義和作用.

四、教學策略分析

1. 情境化

把數學內容融入真實且有興趣的情境中，讓學生經歷從生活問題的自然語言逐步抽象到生成的數學問題. 統計的意義在于服務我們的日常生活，解釋實際問題.本節課中，教師充分運用生活中的素材，如“求平均身高問題”“青少年視力保護”“計算射擊環數”“招聘網絡維護員”等激發學生的興趣，使學生感受數學與生活的聯系，增強學生的統計觀念，能嘗試解決生活中的統計問題.

2. 問題化

本節課在具體教學內容的設計中，以學生前期經驗和認知為基礎，通過問題設計推動教學，圍繞“全班學生平均身高”問題，調動學生原有的學習經驗. 采取控制變量的方法，設計問題串，例如，根據已知條件能否求得全班學生的平均身高？缺少什么條件？不計算能否估計大致的結果？平均數受到哪些量的影響？影響平均數的是人數嗎？如何從數學角度體現出影響因素？問題環環相扣、層層遞進，引導學生從感知數據出現的次數對平均數結果的影響力大小進行“權”的定性描述，走向加權平均數的數學的形式化定義進行定量計算.

3. 活動化

知識的獲得不能只是“教”而忽略“悟”. 本節課的教學中，把學習的內容轉化為學習活動，讓學生在活動中主動思考，互動交流，逐步清晰概念. 通過對平均數的估值活動，推動學生思考影響平均數的因素.通過設計“賦權”方案活動，嘗試用數據解釋問題，學生充分交流與表達，對比、分析不同方案，進行協同思考，促進理解. 通過師生、生生互動，進行反思性學習，引導學生建立理性的數據觀，彰顯學習加權平均數的價值.

4. 結構化

從單元整體的視角設計課時學習內容和環節. 基于學生已學習的平均數，創設情境引入，在解決問題的過程中，體會平均數與加權平均數的聯系與差異. 探究過程中從實際問題入手，從具象到抽象，從特殊到一般，從簡單到復雜，進行加權平均數的形式化定義. 再在“權”相等的特殊情況下，引導學生體會加權平均數與算術平均數的關聯. 課堂小結時，引導學生進行整理和反思，厘清概念之間的關系，形成概念圖.

五、教學過程設計

1. 概念形成

環節1：孕育“權”.

問題導入：近年來，青少年的身高問題備受關注. 已知某班級男生的平均身高為170 cm，女生的平均身高為160 cm. 能否計算出全班學生的平均身高？

追問：需要添加哪些條件？

【設計意圖】由學生熟悉的“全班學生平均身高”問題引入，調動學生原有的學習經驗，復習平均數的意義. 通過給出不完備的條件，引發學生的已有認知與實際情況的沖突. 學生會發現不能通過列式[170+1602=][165]求出全班學生的平均身高. 通過復習平均數的意義，引發學生思考需要用全班學生的身高總和除以班級總人數，進而思考需要添加其他條件來計算全班學生的平均身高，初步感受平均數的影響因素，為達成“理解‘權’的意義”的教學目標，以及后續探究與思考打下基礎.

環節2：感知“權”.

（1）人數從無到有，感受男生人數、女生人數的多少對全班學生平均身高的影響.

現有以下三種情況：① 若1班有男生30人、女生20人;② 若2班有男生20人、女生30人;③ 若3班有男生25人、女生25人. 在不計算的前提下，你能大致估計全班學生的平均身高嗎？說說你的理由.

追問：平均數的計算結果是否符合估計值？

基于上述三種情況，將三個班級學生的平均身高情況進行列表，如表1所示.

（2）人數從有到變，引發新的思考，從而感知“權”的存在.

在“男生的平均身高為170 cm，女生的平均身高為160 cm”這一條件下，增加以下兩種情況：① 若某年級有男生240人、女生160人;② 若某初中學校有男生900人、女生600人.

將表1中的1班記為某班級，計算某班級、某年級、某學校的所有學生平均身高，形成表2.

追問1：觀察表2中的三種情況，你有什么發現？

追問2：為什么男生人數、女生人數不同，平均身高卻相同呢？

【設計意圖】通過“估值”活動，引導學生感受對平均數產生影響的因素. 先直觀感受男生人數、女生人數的多與少對平均身高結果的影響，在控制數據不變的情況下，同比例擴大人數，發現男生人數、女生人數不同，平均身高結果卻相同. 以人數變化的形式，呈現“權”不等和“權”相等兩種不同情況. 學生觀察比較表1和表2，引發思考“到底是什么影響了平均身高的值”，將關注點從“具體人數”轉向“人數之比”.

環節3：明晰“權”.

（1）從數學角度觀察“人數之比”對平均數的影響.

將表2中所有學生的平均身高計算列式進行如下變形.

某班級所有學生的平均身高為：

某年級所有學生的平均身高為：

某學校所有學生的平均身高為：

追問1：影響因素在平均數公式中如何體現？你能說明為什么平均身高都是166 cm嗎？

追問2：數據170和160前面所乘的數，在實際背景下有什么意義？

追問3：究竟是什么對平均數的結果產生影響？

追問4：現在你能否從數學角度說明當男生30人、女生20人時，平均數為什么偏向男生的平均身高？

【設計意圖】由比例不變引發將計算列式進行變形，幫助學生更加直觀地觀察影響平均數結果的量，發現“男生人數和總人數之比”體現了數據170對平均數影響的大小，同樣“女生人數和總人數之比”體現了數據160對平均數影響的大小. 從而從數學的角度，清晰認識到除數據本身外，影響平均數的量為數據出現的次數與總次數之比. 至此，學生已感受到一個數據的“權”體現了這個數據對平均數的影響，感受了“權”的意義，為引入“權”的概念做鋪墊.

（2）從特殊到一般，從簡單到復雜，形成概念.

教師介紹《孟子·梁惠王上》中對“權”的解釋：“權，然后知輕重;度，然后知長短. 物皆然，心為甚.”大概意思是物用秤稱一稱，才知道輕重，用尺量一量，才知道長短. 什么東西都是這樣，人的心更需要這樣.

追問1：若問題導入中的男生人數、女生人數分別為a人和b人，試用含字母a，b的式子表示學生的平均身高.

追問2：從上面解決問題的過程獲得啟發，一般情況下如何定義加權平均數？

一組數據[x1，x2，…，xk]出現的次數分別為[f1，][f2，…，fk，]則[x=f1x1+f2x2+…+fkxkf1+f2+…+fk=f1f1+f2+…+fk ? x1+]

隨后，教師又逐步把概念進一步抽象概括為數據和數據的權兩部分.

設[m1=f1f1+f2+…+fk，m2=f2f1+f2+…+fk，…，mk=][fkf1+f2+…+fk.] 則[x=m1x1+][m2x2+…+mkxk，] 也叫做這[k]個數的加權平均數（weighted mean）.

其中[m，m2，…，mk]叫做權（weight），它們體現了[x1，x2，…，xk]對平均數[x]所產生的影響.

【設計意圖】通過權的古代釋義，引入“權”的概念，使學生了解其背后隱含的價值觀和數學文化，讓學生感受定義的必要性與合理性. 進一步推廣，從數學角度歸納一般情況，引導學生理解加權平均數的概念，幫助學生理解知識的來源，形成良好的認知結構.

2. 概念辨析

問題1：保護視力，愛護眼睛，使得近期“控制青少年上網時長”成為熱點話題. 已知A網站和B網站的用戶日人均上網時間分別為2小時和3小時，A網站用戶人數為7萬人，B網站用戶人數為3萬人，求這兩家網站所有用戶的日人均上網時間.

追問1：在不計算的前提下，能否大致估計這兩家網站所有用戶的日人均上網時間？

追問2：能具體說說數據“2小時”“3小時”的權分別是多少嗎？

【設計意圖】在“青少年視力保護”的情境下進行概念辨析，使學生進一步理解“權”的概念. 通過估值活動檢測學生對概念的理解，使學生明晰數據的“權”是體現這個數據對平均數產生影響的量.

問題2：對于“須控制青少年上網時長”這一熱點話題. 如圖2，通過抽樣調查，已知A網站和B網站“認為這個話題重要”的用戶所占百分比分別為74%和62%，A網站和B網站參與評價的用戶人數分別為a人和b人. 求這兩家網站所有用戶中“認為這個話題重要”的用戶所占比例.

追問：對于以下三種列式，你認為正確嗎？說說你的理由.

（1）[x=74%a+62%b;]

（2）[x=74%a+62%ba+b;]

（3）[x=aa+b?][74%+ba+b?62%.]

【設計意圖】在“青少年視力保護”情境下的問題1和問題2，數據分別以整數和百分數兩種形式呈現，引導學生對比、觀察、體會數據的不同形式. 問題2的情境轉換為“認為這個話題重要”的用戶所占比例，通過讓學生對錯誤列式進行辨析，理解錯誤緣由，加深對概念的理解.

接下來，教師引導學生回顧問題導入的“青少年平均身高”問題.

追問1：計算全班學生的平均身高一定需要添加具體的男生人數和女生人數嗎？

追問2：當男生人數、女生人數均為25人時，數據160和170的權分別是多少？你有什么發現？

【設計意圖】回到最初的導入問題，學生會發現只需要知道數據170和160的權，而非具體的人數即可計算平均身高. 在過程中體會權的不同表現形式，并自然發現一組數據中各個數據的權數之和為1. 在人數相等的情況下，會發現當各數據的權數相等時，[x=][x1+x2+…+xkk，] 加權平均數即為算術平均數，即算術平均數是加權平均數的特殊情況. 通過這一過程使學生感受知識之間的內在聯系，完善對概念的認識.

3. 概念應用

問題3 ：許海峰在1984年奧運會上為我國獲得首金. 2020年奧運會，楊倩同樣在射擊項目上獲得本屆奧運會首金，掀起射擊訓練熱潮. 教練通過某次射擊訓練（共50發）了解小明目前的射擊水平.

（1）你能根據圖3中提供的信息，估計小明本次訓練的平均成績嗎？

（2）試計算小明本次訓練的平均成績，并與你的估計值進行比較.

【設計意圖】通過“奧運會首金”這一熱點話題，增強學生的民族自豪感，培養愛國主義情懷. 由兩個數據的問題推廣為多個數據，學生會根據數據權的大小的直觀感受，估計小明本次訓練的平均成績在8環至9環之間，計算得出的平均值7.84與估計值存在差異，引發學生思考產生偏差的原因. 在多個數據的情況下，更好地體會每一個“數據”和“權”對平均數的共同作用，初步建立理性的數據觀.

問題4：某網站想招聘一名網絡維護員，人事部門分別從創新能力、計算機能力和溝通能力三方面了解候選人的綜合能力. A，B，C三名候選人的測試成績（百分制）如表3所示.

（1）如果你是人事主管，你會選擇哪位候選人？為什么？

（2） 若人事部門給出如下四個方案，怎樣計算三名候選人的綜合評分？

方案1：三項能力成績分別按照3∶4∶3計入綜合評分.

方案2：三項能力成績分別按照3∶5∶2計入綜合評分.

方案3：三項能力成績分別占綜合評分的20%，60%和20%.

方案4：三項能力成績分別占綜合評分的10%，70%和20%.

三名候選人的綜合評分如表4所示.

追問：四個方案都是計算機能力的權重最大，得到的結果一樣嗎？你有什么發現？

【設計意圖】問題4是“人才選拔”情境下的生活實際問題，激發學生思考量化數據重要程度的方法，感受實際問題中可以通過給數據“賦權”，體現每個數據對平均數影響的大小. 在實際生活中體驗加權平均數的意義和作用，初步建立統計觀念. 對四個“賦權”方案的對比分析中，感受“賦權”方案體現了設計者的個人價值觀，體會“賦權”需要多方面考量才能體現合理性和公正性，使學生進一步建立理性的數據觀. 用數據解釋問題，彰顯學習加權平均數的價值.

4. 交流小結

回顧本節課的學習過程和解決的問題，說說你的收獲和體會.

【設計意圖】什么是權？為什么要學習加權平均數？通過問題引發學生回顧、反思本節課的學習過程和問題的解決，形成如圖4所示的概念圖，發揮學生的主觀能動性，培養學生歸納和總結知識的能力.

六、教學目標檢測

逆向設計理念下的概念教學關注教、學、評的一致性. 教學目標是預期的學習結果，對教學過程具有導向作用，并為教學評價提供標準和依據. 評價先于設計，在確定了教學目標后，再進行具體教學任務的設計，所以學習過程即為評價過程.

基于上述理念，對于學生的學習評價，主要關注以下內容.

（1）理解“權”的意義，能夠把實際問題中的“人數”轉化為數學意義上數據的“權”，來衡量數據對平均數影響力的大小.

（2）會用加權平均數的方法計算一組數據的平均數.

（3）在解決實際問題的過程中，能提取數據中蘊含的信息，結合“數據本身”和“數據的權”兩個方面綜合分析，作為決策的依據.

（4）能在活動中積極表達想法，部分達成共識，并繼續思考討論存在異議的部分，進一步完善總結.

本節課的課后作業設置如下.

1. 由單價為每千克15元的甲種糖果30千克，單價為每千克12元的乙種糖果50千克，單價為每千克10元的丙種糖果20千克，混合成什錦糖果的單價應定為每千克多少元？其中甲種糖果和乙種糖果的權分別是多少？

【設計意圖】考查學生對加權平均數意義的理解，能否在實際問題中找到“數據”和數據對應的“權”，正確計算一組數據的加權平均數.

2. 從上海出發搭乘高鐵往返北京，列車駛往北京的平均速度為300 km / h，返程時該列車的平均速度為350 km / h.求該高鐵列車往返的平均速度.

【設計意圖】考查學生對算術平均數與加權平均數區別與聯系的理解，能否恰當選用加權平均數解決實際問題.

3. 某公司招聘一名英文翻譯，對甲、乙兩名應試者從聽、說、讀、寫四個方面進行測試，各項成績（百分制）如表5所示.

（1）如果公司想招聘一名綜合能力較強的人員，應該選擇哪位應試者？為什么？

（2）如果公司想招聘一名筆譯能力較強的翻譯，聽、說、讀、寫按照2∶1∶3∶4的比例確定，應該選擇哪位應試者？

（3）如果公司想招聘一名英文播音員，聽、說、讀、寫成績各占30%，40%，20%，10%，從成績看應該錄取哪位應試者？

（4）如果要招聘一名英文記者，你認為聽、說、讀、寫哪些方面更重要？請你賦予其適當的權，并比較甲、乙兩位應試者成績的加權平均數.

【設計意圖】此題中的“權”以不同的形式呈現，在解決實際問題過程中考查學生對“權”的意義的理解，是否理解一個數據的“權”是描述這個數據在一組數據中對平均數影響力大小的量，能否在實際問題中合理用“權”刻畫數據的重要程度.

七、教學反思

1. 關注概念形成的過程

本節課關注加權平均數概念形成的過程，以“平均身高問題”為情境，創設問題，引導學生經歷形象感知、建立表象、數學抽象等概念建構的過程. 通過介紹“權”的古代釋義，使學生感受概念文字背后的文化內涵. 當概念形成后，進行概念的理解和內化. 在“概念辨析”部分，通過問題1和問題2引導學生辨析、理解概念的內涵和外延，并通過問題3和問題4在數學世界和現實世界進行應用，在反思中促進學生對概念的進一步認識和應用，逐層遞進，進一步深化概念.

2. 從感性認識到理性思考

在“概念形成”部分，學生在觀察對比中發現男生人數、女生人數之比相同，猜想這是使得平均數結果一致的原因. 在感性認識的基礎上，再通過將平均數計算列式變形，解釋估值等活動，上升到理性認知“權”. 同樣地，在問題3中設計由直觀估計的平均數與真實結果的偏差，幫助學生意識到理性分析的重要性. 通過問題4中不同方案的對比分析，進一步引導學生建立理性的數據觀.

3. 重視教學任務設計

在分析學生的學習起點的基礎上，基于目標導向學習終點的要求將目標分解為學習進階，通過認知線索創設恰當的情境，如“求平均身高問題”“青少年視力保護”“計算射擊環數”“招聘網絡維護員”等來激發學生的學習興趣，感受數學與生活的聯系. 通過設計問題串引導學生開展實質性數學思考，設計系列化的活動，引導學生開展獨立思考、自主探究、合作交流，以學定教，從而課堂教學能夠切實指向學生理解，促進思維發展. 整節課的教學設計環環相扣，步步深入，培養了學生發現問題和解決問題的能力，使學生感悟了數學知識的發生、發展過程和數學的本質.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務教育數學課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]徐曉燕. 概念性理解與數學概念教學：基于數學任務設計的視角[M]. 上海：上海教育出版社，2020.