利用探究活動 發展推理能力

摘" 要：發展學生的推理能力是數學教學的基本任務，也是數學核心素養的主要內容. 代數中存在著大量的推理內容，如果教師在平時的教學中多設計一些豐富的代數推理活動，加強對學生在代數推理方面的訓練，可以很好地發展學生的推理能力，提升學生的數學核心素養. 趙冬艷老師執教的“代數推理”一課，選擇符合學生認知水平的三個例子展開代數推理活動，讓學生在探究中經歷歸納、猜想與證明，感知代數推理，培養符號意識，發展抽象思維和推理能力. 整節課中，學生在愉悅的學習氛圍下進行探究，突出了學生的主體地位，較好地落實了新課程理念.

關鍵詞：代數推理;探究活動;抽象思維

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，數學課程要培養學生的核心素養，主要包括會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界. 初中階段，核心素養主要表現為：抽象能力、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數據觀念、模型觀念、應用意識、創新意識，并明確了數學核心素養的主要表現及其內涵. 其中，推理能力主要是指從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題或結論的能力. 理解邏輯推理在形成數學概念、法則、定理和解決問題中的重要性，初步掌握推理的基本形式和規則;對于一些簡單問題，能通過特殊結果推斷一般結論;理解命題的結構與聯系，探索并表述論證過程;感悟數學的嚴謹性，初步形成邏輯表達與交流的習慣. 推理能力有助于逐步養成重論據、合乎邏輯的思維習慣，形成實事求是的科學態度與理性精神. 因此，發展學生的推理能力是數學教學的課程目標之一. 新一輪基礎教育數學課程改革，帶來了代數課程理念和內容的變革，強調了在代數中發展學生的核心思維——代數推理能力. 初中階段是學生發展思維、培養能力的重要學段，這體現出我們研究這類課的重要性和必要性.

“代數推理”是中國教育學會中學數學教學專業委員會舉辦的“第十二屆初中青年數學教師課例展示活動”中的指定課題，本節課沒有具體的教材作為上課的依據，也沒有現成的課例或教案做參考，又對學生的抽象思維能力和綜合分析能力要求較高，教師必須參照《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）的要求，在充分理解代數推理的前提下，基于學情，選擇合適的素材進行教學設計. 趙冬艷老師（以下統稱“執教教師”）正是在認真研究了這些內容后確定了本節課的教學目標，精心設計了教學內容和實施策略. 從課堂教學來看，執教教師能夠合理、有效地設計教學活動，有效地調動了學生學習的積極性. 整節課自始至終貫穿了探究問題的一般過程和方法，即“觀察特例—猜想一般結論—表達并證明結論”，使學生經歷觀察、發現、猜想、證明的過程，有效地滲透了代數推理，引導學生深度思考，主動獲取知識，發展推理能力，較好地達成了教學目標.

一、主要特點

1. 設計探究活動，發展代數思維

對于“代數推理”一課，執教教師精心設計了三個探究活動. 首先，從學生熟悉的例子入手，引導學生提出一般化的猜想，完成了一次思維層次的升級;其次，從符號意識入手，培養學生的代數思維，引導學生使用符號表示兩位數、三位數，理解符號的意義和正確表征的方法;最后，用符號進行推理運算，找出代數的結構特征從而發現數量關系，理解變化規律，得到一般性的結論. 學生經歷了從不嚴密到逐步準確的過程，逐步形成代數推理能力.

探究1是探究兩位數[a5]平方的規律，并證明當a為任意正整數時，上面的結論是否成立.

通過探究1的設計，讓學生初步感知代數推理，會用符號表達和證明問題. 在方法上，執教教師引導學生從特殊走向一般. 學生在體會研究方法的同時，初步經歷代數說理的過程，為下一學段的學習做好過渡. 在學生得出結論后，執教教師將問題做了延伸與拓展，引發學生思考，激發學生進一步探究的興趣，有利于培養學生深度學習的習慣和高階思維的訓練.

探究2是用代數推理證明“如果一個三位數的各位數字的和能被3整除，那么這個數就能被3整除”，然后將這個問題的條件和結論相互交換，得到一個新的命題，探索并證明它也是成立的.

探究2繼續采用“觀察—猜想—證明—結論—拓廣”這一探究問題的一般方法，讓學生熟練掌握用符號表達與證明問題，體會轉化、整體代入的數學思想方法，進一步感受用代數推理解決數學問題. 最后，執教教師引導學生對這個問題進行了拓廣與延伸，讓學生對代數推理有了進一步的理解.

探究3是要求學生用代數推理解決生活中的實際問題，仍然沿著“觀察—猜想—證明—結論—拓廣”這條主線，培養學生將生活中的問題抽象成數學問題，蘊含了數學建模思想，體現了代數推理應用的廣泛性.

這三個探究活動的設計，不僅讓學生掌握了探究問題的一般方法，而且構建了代數推理的路徑，培養了學生主動學習、積極思考、合作交流、分析及解決問題的能力，發展了學生的抽象思維，增強了代數推理能力.

2. 利用問題串，提升推理能力

問題串是教師為了實現教學目標，將教學目標分層化處理，有針對性地設計具有邏輯層次的問題，使教學環節之間的銜接更自然. 教師的問題設計是否合理、到位是教學成功與否的關鍵之一. 本節課中，執教教師圍繞教學目標，利用問題串引導學生積極主動地思考、探究，展示思維過程，自主建構代數推理路徑，從而達成教學目標. 教學在教師的追問，學生的積極思考、共同發現、完善解答中有序開展.

在探究活動2中，執教教師設計了如下問題串.

問題1：任意說出幾個能被3整除的整數，從三位數入手進行探究.

問題2：這個猜想是否正確？如何證明？

問題3：將這個問題的已知和求證調換位置，結論還成立嗎？如果成立，試給出證明過程;如果不成立，試舉出反例.

對于初中學生而言，代數推理比較抽象，不容易理解. 如果教師進行教學設計時，能適當地創設有效問題串幫助學生對相關知識進行領悟和思考，將有利于教學目標的達成，提高課堂教學效果. 上述問題3是將問題2的條件和結論相互交換得到的一個新問題，探索并證明它也是成立的，這也是數學中研究問題常用的方法，有助于培養學生的逆向思維能力，從而發展學生的代數推理能力.

3. 重視數學文化，落實立德樹人根本任務

數學是人類文化的重要組成部分. 樹立正確的數學觀，對于實現課程目標十分重要. 教學中，若教師適時滲透數學文化，將會激發學生學習的主動性和創造性，使我們的數學課程充滿文化氣息，富有啟迪意義，從而使課堂教學更加生動和高效. 本節課的探究活動3中，執教教師通過帶領學生解決生活中的實際問題，拉近了學生與數學家歐拉之間的距離;通過視頻介紹著名數學家歐拉，讓學生了解到歐拉在數論、幾何學、微積分等多個數學的分支領域中取得的卓越成就，同時激勵學生善于思考、勤奮好學，努力實現自己的人生夢想. 執教教師將對數學家的介紹有機地融入教學中，體現出數學文化的魅力，達到了課程目標的育人價值，也體現了課堂教學在如何落實立德樹人根本任務、發揮數學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發展中不可替代的作用.

4. 彰顯主體地位，體現“四基”要求

《標準》指出，有效的教學活動是學生學和教師教的統一. 學生是學習的主體地位的真正落實者，依賴于教師主導作用的有效發揮;而教師主導作用有效發揮的標志是學生能夠真正成為學習的主體，并得到全面的發展.

在本節課的教學中，執教教師尊重了學生的認知規律，在教學活動中注重啟發，突出了學生自主探究的過程. 對于三個探究活動，執教教師都是讓學生自己通過觀察、思考、歸納和概括后得出結論. 在整個教學活動中，學生經歷用數學方法解決問題的過程，感悟科學研究的過程與方法，自然地獲取知識，有效地訓練思維，形成自主學習的良好習慣，學生的主體地位得以充分彰顯. 本節課中，推理的形成既有學生獨立思考，生生糾錯，還有小組合作的形式，充分體現了以教師為主導、學生為主體的課堂. 執教教師將活動、思考的時間還給學生，引導學生深度學習，較好地發展了學生的抽象能力、運算能力和推理能力等核心素養.

“四基”“四能”是發展學生數學核心素養的有效載體，數學核心素養對“四基”“四能”教學目標提出了更高的要求. 數學知識在形成、發展和應用的過程中，數學思想蘊含在其中，如抽象思想、分類思想、歸納思想、演繹思想、模型思想等，這是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括. 學生通過獨立思考、合作交流，在積極參與教學活動的過程中，逐步感悟數學思想. 數學活動經驗是學生經歷、體驗各種數學活動過程的結果，需要在“做”和“思考”的過程中積淀. 幫助學生積累活動經驗是數學教學的重要目標. 本節課中，執教教師在注重學生基礎知識和基本技能獲得的同時，尤其注重數學思想方法的滲透及數學活動經驗的積累. 通過三個探究活動的設計，引導學生感悟歸納、類比、數形結合等數學思想，幫助學生積累數學活動經驗，很好地培養了學生的“四基”“四能”，達成了教學目標.

總體來說，這節課的教學理念和設計是非常成功的. 執教教師教學過程中思路清晰、思維嚴謹，課堂活動井然有序，板書提綱挈領，教態自然大方，語言準確簡潔，注重現代信息技術的應用，這都展現出了教師優良的數學素養.

二、思考與建議

推理是數學的基本思維方式，也是人們在生活和學習中經常使用的工具、手段，更是學生數學核心素養發展的目標. 代數推理是從條件出發，由代數定義、公式、運算法則和運算律等得到結論的一種轉化與變形，而“將數學和生活中的問題轉化為代數推理”這樣的說法顯然有些欠妥. 建議教師進一步深入研究代數推理，真正理解代數推理，設計更有針對性的推理任務，確保推理目標的達成. 例如，可以呈現一些推理的過程，要求學生判斷這樣的推理過程是否正確并加以完善、改進，更好地促進學生對代數推理的理解. 教師不要怕學生犯錯，大膽放手讓學生去做，把教學過程中最精彩、最有價值的部分留給學生去探索、去思考、去創造，在潛移默化中培養學生的推理能力.

基于《標準》導向，本節課例通過學生對代數知識的理解、數學方法的掌握、數學思想的感悟等方面合理滲透代數推理，并做了大膽、有效的嘗試，這將對今后教師開展代數推理這一類課型的教學帶來啟發和思考. 由于代數推理在概念形成、定理推導、解題等各個領域均有涉及，都可以培養學生的推理能力，這需要教師精心研究教材，在學生已有的認知水平和理解能力的基礎上，結合具體的課程內容，設計探究活動，讓學生進行自主觀察、猜想、歸納、類比、證明，在活動中發展推理能力. 代數推理能力是初中生數學思維進階過程中的關鍵能力，是逐漸形成的，既需要教師的重視和培養，更需要學生嘗試、感悟. 教師有必要進行深入的思考和實踐探索，增強代數推理教學的意識，充分挖掘教材資源，將代數推理教學提升到應有的高度，并在日常教學中加強對學生代數推理能力的培養，充分認識代數推理對發展學生思維能力，以及提高數學核心素養方面的價值.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務教育數學課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]中華人民共和國教育部制定. 義務教育數學課程標準（2022年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2022.