“代數推理”教學設計

摘" 要：對于“代數推理”一課，以課程標準為依據，將教材內容進行整合，以代數推理為主線，采用全新的素材與上課形式，給學生搭建高階思維的臺階，讓學生感受代數推理，理解代數推理，應用代數推理.

關鍵詞：代數推理;自主探究;基本思想

一、教學內容

本節課沒有具體的教材作為上課的依據. 筆者認真研讀《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》），在充分理解什么是代數推理的前提下，結合八年級學生的認知水平，設計了三個有層次的探究活動，讓學生感受代數推理，理解代數推理，應用代數推理.

二、教學內容解析

《標準》明確指出，推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式，推理能力的發展應貫穿于整個數學學習過程中. 因此，發展學生的推理能力是數學教學的基本任務之一. 代數推理側重數與式或關系（方程、不等式、函數等）的運算、變形，盡管其抽象性、綜合性處于初中數學思維的制高點，但其核心還是對初中數學的代數式、方程、不等式和函數等基礎知識的運用與深化，是對數形結合、分類、轉化、方程、模型、特殊到一般、反證法、作差法等基本思想方法的鞏固與強化. 代數推理是一種思維方式，也是解決問題的一種策略，這種代數的視角、代數的方法、代數的說理，本質上就是數學素養. 用發展的眼光來看，在初中階段有意識地滲透代數推理，有助于逐步培養學生的抽象思維能力，為學生的數學思維向更高層次發展奠定基礎.

本節課選擇了符合學生認知水平的三個層層遞進的例子來開展代數推理活動. 探究1：用代數推理研究兩位數[a5]平方的規律，讓學生初步感受什么是代數推理，從而引出課題. 探究2：用代數推理證明“如果任意一個三位數的各位數字的和能被3整除，那么這個數就能被3整除”，然后將這個問題的條件和結論相互交換得到一個新的問題，探索并證明它也是成立的，這也是數學中研究問題的常用視角，最后進行拓廣和延伸，讓學生對代數推理有進一步理解. 探究3：應用代數推理解決生活中的問題，讓學生進一步鞏固代數推理，提升符號意識，培養抽象思維能力，體會推理和模型思想. 三個探究活動始終沿著“猜想—證明—拓廣”這條主線展開.

因此，確定本節課的教學重點是：會用代數推理解決數學和生活中的問題.

三、教學目標設置

依據《標準》的要求和教學內容解析，確定本節課的教學目標如下.

（1）通過探究活動，理解并掌握代數推理，會用代數推理解決數學和生活中的問題.

（2）掌握探究問題的一般方法，即“猜想—證明—拓廣”.

（3）體會模型思想，發展推理能力和抽象思維能力.

（4）感受數學來源于生活又應用于生活，激發學生學數學和用數學的興趣;在探究過程中體驗成功的喜悅，在合作交流的過程中提高團隊合作意識;在解決問題的過程中形成嚴謹求實的科學態度.

四、學生學情分析

本節課所執教的學生剛剛升入八年級. 從知識層面上看，學生已經學習了整式的加減、乘除及其相關知識，會用字母表示數、數量關系和變化規律，會用符號進行簡單的運算和推理，從而得到一般性的結論.

八年級學生的認知能力正處于感性認識向理性認識、形象思維向抽象思維過渡的階段，并且已經具備了一定的抽象思維能力和數學建模思想. 同時，本節課所選取的素材都是學生非常熟悉的知識和背景，從而拉近了新、舊知識之間的聯系. 本節課也是對轉化、模型、從特殊到一般、整體、作差法、反證法等基本思想方法的鞏固與強化. 但代數推理的抽象性、綜合性仍處于初中數學思維的制高點，將具體問題抽象成數學模型，并用符號表達與證明問題，對現階段的學生而言可能還具有一定的困難，需要教師給予適時的引導.

因此，確定本節課的教學難點為：會將具體問題抽象成數學模型，能分清問題中的條件和結論，并會用符號語言進行表達和證明.

五、教學策略分析

代數推理側重數與式或關系的運算、變形，對學生的抽象思維能力、推理能力要求較高.

本節課從創設問題情境入手，通過學生熟悉的具體例子得到一個猜想，然后用符號表達與證明猜想得到一個結論，再對結論進行拓廣. 教師為學生一步步鋪設臺階，讓學生拾級而上，理解并掌握代數推理，培養抽象思維能力，滲透探究問題的一般方法，即“猜想—證明—拓廣”.

本節課通過問題串啟發、引導學生從所給條件出發，以代數定義、代數公式、運算法則和運算律為依據進行不斷地轉化和變形，最終得出結論. 教師通過“弱”和“強”的提示語試圖調動不同層次學生深入思考，將學生分組，遵循“組間無差距，組內有梯度”的原則，為學生營造“可探索”的環境，使學生積極參與，相互討論，再通過學生之間的展示、自評、互評，以及教師的總結提煉逐步突破難點，滲透抽象、推理、模型等數學思想方法.

六、教學過程設計

環節1：創設情境，引入新課.

熱身小游戲：比一比，看誰算得快.

[152]=" " " ，[252]=" " " ，[352]=" " " ，…，[852]=" " " .

師生活動：學生在思考和計算時，教師在課件中逐漸呈現出相應的算式和結果，引導學生通過觀察具體的例子發現規律.

【設計意圖】通過設計一個熱身小游戲，調動學生學習的積極性，吸引學生的注意力，引導學生通過觀察具體的例子發現規律，讓學生體會歸納的數學思想.

探究1：探究兩位數[a5]平方的規律.

問題1：你能快速算出85的平方等于7 225嗎？

問題2：你得到了一個什么猜想？

問題3：怎樣表達既準確又簡單？

問題4：你的猜想是否成立？怎樣證明？

師生活動：學生思考后回答問題，教師板演解答過程.

猜想： [a52]=[100aa+1+25].

證明：因為[a52]=[10a+52]

=[100a2+100a+25]

=[100aa+1+25，]

所以[a52]=[100aa+1+25].

結論1： [ a52]=[100aa+1+25].

在證明的過程中，從條件出發，以代數定義、代數公式、運算法則和運算律為依據得到結論的這種變形與轉化就是本節課要研究的課題——代數推理.

教師板書課題.

追問：當a為兩位數時，上述結論仍成立嗎？三位數呢？這個結論還能推廣嗎？

拓廣：當a為任意正整數時，上面的結論都成立.

這是本節課解決的第一個問題——探究兩位數[a5]平方的規律. 在探究規律的過程中，學生通過具體的例子得到一個猜想，然后用符號語言（字母）表達并證明猜想，從而得到一個一般結論，再對一般結論進行拓廣，這就是探究問題的一般方法，即“猜想—證明—拓廣”.

【設計意圖】通過探究1讓學生用符號表達和證明代數問題，體會從特殊到一般和歸納的數學思想，使學生初步感受什么是代數推理，從而引出課題，過程中滲透了探究問題的一般方法，即“猜想—證明—拓廣”.

環節2：思考交流，探究問題.

探究2：探究任意一個三位數能被3整除的規律.

問題1：任意說出幾個能被3整除的整數，從三位數入手進行探究.

猜想：如果一個三位數的各位數字的和能被3整除，那么這個數就能被3整除.

問題2：這個猜想是否正確？如何證明？

師生活動：學生先獨立思考，教師適時進行引導.

追問：這個問題已知了什么？要求的是什么？你想怎么證明？

師生活動：學生思考并嘗試推理，教師巡視，讓一名學生板演證明過程. 學生互評后，教師進行引導、總結、提煉.

已知：[abc]是一個三位數，且[a+b+c=3k]，k為正整數. 求證：[abc]能被3整除.

證明：因為[a+b+c=3k]，k為正整數，

所以[c=3k-a-b].

又因為[abc=100a+10b+c]

[=100a+10b+3k-a-b]

[=99a+9b+3k]

[=333a+3b+k]，

且[33a+3b+k]為正整數，

所以[abc]能被3整除.

問題3：將這個問題的已知和求證調換位置，結論還成立嗎？如果成立，試給出證明過程;如果不成立，試舉出反例.

師生活動：有了前面的鋪墊，學生很快能夠解決問題3. 教師投影展示學生的推理過程，并由學生互評，教師總結.

結論2：如果任意一個三位數的各位數字的和能被3整除，那么這個數就能被3整除，反之也成立.

問題4：下面你還想探究什么？

追問：四位數能否被3整除是否也有這樣的規律？五位數呢？

拓廣：如果任意一個整數的各位數字的和能被3整除，那么這個數就能被3整除，反之也成立;如果任意一個整數的各位數字的和能被9整除，那么這個數就能被9整除，反之也成立.

【設計意圖】探究2仍采用“猜想—證明—拓廣”的方法探究問題，讓學生熟練掌握用符號表達與證明問題，體會轉化、整體代入等數學思想方法，進一步感受用代數推理解決數學問題. 問題2對學生的抽象思維和推理能力要求較高，是本節課的一個難點. 為了突破難點，教師應先幫助學生明確在這個問題中哪些是已經知道的，哪些是需要求證的. 在證明推理過程中，教師一定要給學生充足的時間思考、交流，讓學生暴露問題，形成思維碰撞. 在這個環節要注重學生思考的條理性，不要過分強調推理的形式. 如果學生不能用符號語言把題目的條件和結論表達成已知和求證的形式，教師可以在最后進行引導、總結和提煉. 問題3是將問題2的條件和結論相互交換得到的一個新問題，探索并證明它也是成立的，這也是數學中研究問題的常用視角，培養了學生的逆向思維能力，鞏固了學生的代數推理能力. 問題4是對上面結論的延伸與拓展，注重引導學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題，同時體現了類比的數學思想方法.

環節3：靈活運用，鞏固拓展.

探究3：用代數推理解決生活中的問題.

一個男孩家有一個長為40 m、寬為10 m的矩形羊圈. 慢慢地羊多了，原來的羊圈就有點小了，可是又沒有多余的圍欄. 受地形的限制，改造后的羊圈形狀依然是一個矩形. 要如何使羊圈的面積最大化呢？這個聰明的小男孩很快想出了解決問題的辦法，你知道他是怎么做的嗎？

師生活動：學生獨立思考后展示自己的想法.

【設計意圖】探究3是對本節課代數推理內容的鞏固和提升，仍然按照“猜想—證明—拓廣”這條主線探究問題，使學生用代數推理解決了生活中的實際問題，體會了代數推理應用的廣泛性.

猜想：邊長為25 m的正方形羊圈面積最大.

追問：這個猜想是否正確？如何證明？

師生活動：教師留給學生充足的時間思考、交流、展示，最后總結提煉.

證法1：設矩形的長為[25+x]m，則它的寬為[25-x]m.

則[" "S矩形=25+x25-x=625-x2].

所以當x = 0時，矩形的最大面積為625 m2，此時的矩形是邊長為25 m的正方形.

證法2：設矩形的長為x m，則寬為[50-x]m.

所以[" "S矩形=x50-x=-x2+50x][=625-x-252].

因為[25-x2≥0.]

所以當x = 25時，矩形的最大面積為625 m2. 此時的矩形是邊長為25 m的正方形.

證法3：設矩形的長為x m，則寬為[50-x]m.

因為[S正方形=252]，[" "S矩形=x50-x，]

所以[S正方形]-[S矩形]=[252]-[x50-x]

=[252-50x+x2]

=[25-x2≥0.]

所以[S正方形≥S矩形.]

所以當x = 25時，矩形的最大面積為625 m2，此時的矩形是邊長為25 m的正方形.

結論3：周長為100" m的所有矩形中，正方形的面積最大.

【設計意圖】此題的推理過程綜合性較強，要留給學生充足的時間思考、交流、展示，鼓勵學生采用多種方法解題，培養學生的代數推理能力，并拓寬思維的深度和廣度，體會代數推理的重要作用，以及用作差法比較大小的數學思想方法.

最后，教師告訴學生這個小男孩就是著名數學家歐拉，并介紹他在數論、幾何學、微積分等多個數學的分支領域中都取得了出色的成就，激勵學生向數學家學習.

【設計意圖】通過解決這個問題，拉近了學生與數學家歐拉之間的距離，使學生對數學家歐拉有了更深的了解. 同時，激勵了學生善于思考、勤奮好學，努力實現自己的人生夢想.

追問：結論3還能拓廣嗎？

猜想：周長一定的所有矩形中，正方形的面積最大.

由于課堂時間有限，這個猜想的證明留作課后思考. 這里給出以下三種證明方法.

方法1：已知矩形的長為a、寬為b，正方形的邊長為m，且它們的周長相等. 求證：[S正方形≥S矩形 .]

證明：因為4m = 2[a+b]，

所以m =[12a+b.]

又因為[S正方形=m2=14a+b2]，[ S矩形=ab，]

所以[S正方形]-[S矩形]=[14a+b2]-[ab]

=[14a2-12ab+14b2]

=[14a2-2ab+b2]

=[14a-b2≥0.]

所以[S正方形≥S矩形.]

當a = b時，矩形的面積最大.

方法2：已知一個矩形和一個正方形的周長相等，都為C，且這個矩形的長為a. 求證：[S正方形≥S矩形 .]

證明：因為矩形的長為a，且周長為C，

所以矩形的寬為[C2-a]，正方形的邊長為[C4].

又因為[S正方形=C42=C216]，[ S矩形=aC2-a，]

所以[S正方形]-[S矩形]=[C216-aC2-a]

=[C216-aC2+a2]

=[116C2-8aC+16a2]

=[116C-4a2≥0.]

所以[S正方形≥S矩形.]

當C = 4a時，矩形的面積最大.

方法3：已知[x+y=l]（l為定值）. 求證：[xy]有最大值.

證明：因為[x+y=l]，

所以[y=l-x].

所以[xy]=[xl-x]=[xl-x2]=[-x-l22+l24].

因為[-x-l22≤0]，

所以[xy≤l24].

當[x=l2]時，[xy]有最大值.

拓廣：周長一定的所有矩形中，正方形的面積最大.

【設計意圖】教師鼓勵學生對前面的問題進行拓廣，在課后繼續證明“周長一定的所有矩形中，正方形的面積最大”，并嘗試采用多種方法解決問題.

環節4：總結反思，共同成長.

問題：本節課你都有哪些收獲？

師生相互交流總結出如下內容.

（1）理解并掌握了代數推理，會用代數推理解決問題;

（2）感受數學結論的發現總是要經歷“猜想—證明—拓廣”的過程;

（3）體會推理、抽象和模型等基本數學思想方法;

（4）形成步步有據、嚴謹求實的科學態度.

【設計意圖】在課堂小結環節，通過問題讓學生回憶本節課學習的主要內容，從知識性、方法性和情感態度價值觀等方面入手，由學生自述，教師補充.

課后思考題：（1）證明：周長一定的所有矩形中，正方形的面積最大.

（2）證明： [2]是無理數.

【設計意圖】兩道課后思考題使學習從課內延伸到課外，再次激發了學生的探究熱情. 第（2）題是對無理數相關基礎知識的運用與深化.

環節5：課后作業，分層提升.

基本技能：證明平方差公式和完全平方公式.

能力提升：證明四個連續自然數的積與1的和是一個奇數的平方.

綜合創新：如圖1，正方形ABCD被兩條與邊平行的線段EF，GH分割成四個小矩形，EF與GH交于點P，連接GF. 若正方形ABCD的邊長與Rt△GBF的周長均為a，試說明矩形EPHD的面積是一個定值.

【設計意圖】將課后作業分為三個層次，由淺入深，層層遞進，滿足不同學生的學習需求.

七、教學反思

本節課是一節探究活動課，筆者在教學活動中以探究問題的一般過程和方法“猜想—證明—拓廣”為主線，讓學生經歷了“用代數推理探究規律，用代數推理探究數學問題，用代數推理解決生活中的問題”的過程，使學生理解并熟練運用符號表示數、數量關系和變化規律，并會用符號進行運算和推理，得到一般性的結論，從而提升了學生的符號意識，發展了推理能力和抽象思維能力，形成了步步有據、嚴謹求實的科學態度.

1. 激趣引入——感受代數推理

本節課中，通過設計一個有趣的速算小游戲引入課題，在游戲中引導學生經歷“猜想—證明—拓廣”的探究過程，讓學生感受到“什么是代數推理”. 在這個環節，學生主動思考、踴躍發言，初步感受了代數推理.

2. 探索交流——理解代數推理

《標準》指出，自主探索、合作交流等是學習數學的重要方式. 筆者將北師大版《義務教育教科書·數學》七年級上冊“3.5 探索與表達規律”的習題進行了改編，引導學生在獨立思考、小組合作、展示互評和教師的總結提煉中初步理解代數推理. 學生在生生與師生活躍的互動中提升了符號意識. 接下來，筆者引導學生用符號語言表達題目的條件和結論，然后交換條件和結論的位置并進行證明. 再通過學生的展示互評和教師的引導，進一步提升了學生的推理能力. 在本環節，學生認真推理，敢于對他人不嚴謹的地方提出疑問，還主動對結論進行了拓廣，很好地達成了教學目標.

3. 鞏固提升——應用代數推理

《標準》指出，積累數學活動經驗、培養學生的應用意識和創新意識是數學課程的重要目標，應貫穿整個數學課程之中. 為此，筆者選擇了數學家歐拉小時候幫爸爸改羊圈的探究活動，引導學生對代數推理進行綜合應用. 待學生思考交流后，請三名學生代表從“數”和“形”兩種不同的角度闡述了三種證法，最后教師補充了作差法. 在這個環節中，學生討論熱烈，迸發出了思維的火花，使整堂課達到了高潮. 由此可見，數學家歐拉故事的引入起到了很好的育人效果.

4. 總結反思——師生共同發展

在小結環節，筆者讓學生暢談自己的收獲，這樣既有對知識的總結，也有對方法的歸納，還有對數學思想的體會，體現了本節課的教學效果. 通過兩道課后思考題，使學習從課內延伸到課外，再次激發了學生的探究熱情.

本節課有兩個合作交流環節，大部分學生能夠較好地分析問題、解決問題. 更難能可貴的是，有些學生能主動地提出問題并加以解決，但部分學生在解決問題的過程中進行有條理的思考和表達能力較為薄弱. 教師在如何有效地組織學生思考和討論方面，還需進一步優化.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務教育數學課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]錢德春. 關于初中代數推理的理解與教學思考[J]. 中學數學教學參考（中旬），2020（4）：2-4.