“勾股定理”教學設計

摘" 要：勾股定理是初中數學學習內容中的重要定理之一. 本節課基于理解數學的理念，將教材中關于趙爽拼接、構造弦圖的文字證明問題化、數學化，通過層層遞進的課堂活動、環環相扣的問題串引領學生深層次探究和證明勾股定理.

關鍵詞：勾股定理;問題串;深度探究;理解數學

一、內容和內容解析

1. 內容

本節課選自人教版《義務教育教科書·數學》八年級下冊（以下統稱“教材”）“17.1 勾股定理”.

2. 內容解析

勾股定理是初等幾何中最重要的定理之一. 從知識的上下位關系來看，本節課的內容是在前面已經研究了三角形的邊、角性質的基礎上，再研究三角形中的另一個特例——直角三角形，更精確地說是研究直角三角形三邊之間的等量關系，對后續研究直角三角形的邊角關系，即銳角三角函數，以及四邊形、圓等其他幾何內容具有重要的奠基作用.

從教材的編寫來看，對勾股定理的研究是從特殊的等腰直角三角形出發，到網格中的直角三角形，再到一般的直角三角形. 證明勾股定理的思路是運用“出入相補法”進行圖形轉化，最后應用定理解決實際問題，體現從特殊到一般、數形結合、轉化等數學思想方法.

我國古代對勾股定理的研究成就為世界所矚目. 本節課中，通過對“趙爽弦圖”的證法介紹，培養學生的民族自豪感.

基于以上分析，可以確定本節課的教學重點是：探索并證明勾股定理.

二、目標和目標解析

1. 目標

（1）經歷從網格中的直角三角形三邊衍生正方形面積之間的等量關系，并表示直角三角形三邊之間等量關系的過程，體會轉化思想;歸納并合理地運用數學語言提出猜想，發展學生的數學抽象素養.

（2）經歷“并線擺放—定點分割—拼接重組—對比圖形”的勾股定理證明過程，理解趙爽運用“出入相補法”證明勾股定理的思路，體會數形結合思想，發展學生的邏輯推理能力，培養學生的民族自豪感.

（3）通過例題的學習，掌握勾股定理，會運用勾股定理進行簡單計算，提高運算能力.

2. 目標解析

達成目標（1）的標志是：能夠在網格中用割補法計算以直角三角形斜邊為邊長的正方形面積，觀察以直角三角形三邊為邊長的三個正方形面積之間的等量關系，即可轉化為直角三角形的三邊之間的等量關系，并提出猜想.

達成目標（2）的標志是：能在探究活動中合作交流，從而理解“趙爽弦圖”的意義，以及證明勾股定理的思路;能通過面積不變的關系證明勾股定理，了解勾股定理相關史料，知道我國古代在研究勾股定理上的杰出成就.

達成目標（3）的標志是：能夠知道勾股定理表達式的三種變形形式;能運用勾股定理進行簡單計算，已知直角三角形的兩邊長求出第三邊長.

三、學生學情分析

通過前面的學習，學生已經掌握了全等三角形、直角三角形兩銳角互余、完全平方公式等基礎知識，積累了通過測量、拼圖、折紙來研究幾何命題的基本活動經驗，這些都為本節課探究和證明勾股定理奠定了基礎.

學生面對復雜圖形的變換，對教材中給出的文字證明還存在一定的理解困難，提出問題的能力、邏輯推理能力還有待提高.

因此，確定本節課的教學難點是：理解“趙爽弦圖”的證明思路.

四、教學策略分析

勾股定理是關于直角三角形三邊之間等量關系的一個特殊結論. 在正方形網格中，學生比較容易發現以等腰直角三角形三邊為邊長的正方形面積之間的等量關系，進而猜想出等腰直角三角形的三邊之間的等量關系. 但要過渡到網格中的一般直角三角形，求以直角三角形斜邊為邊長的正方形面積比較困難，學生較難提出合理的猜想. 因此，在教學中，教師先引導學生用合理的割補法求以直角三角形斜邊為邊長的正方形面積，發現以直角三角形三邊為邊長的三個正方形面積之間的等量關系，與直角三角形三邊之間的等量關系的聯系，進而將這種關聯應用到網格中的一般直角三角形的探究中，并能提出合理的猜想.

學生第一次嘗試分割、拼接圖形，利用面積不變的原理證明命題，在理解和認知上存在較大困難. 因此，教師搭建“腳手架”，將步驟細化為“并線擺放—劃線分割—拼接重組—對比圖形”，在關鍵處設疑，以疑導思，引導學生了解分割、拼接的目的和原理，力求讓學生進行自然合理的再發現活動. 學生通過小組合作、動手操作、剪圖拼圖，能較好地突破學習難點.

五、教學流程

本節課的教學流程如圖1所示.

六、教學過程設計

1. 溫故知新，情境創設

引導語：前面我們已經研究了一般的三角形的邊、角性質，本節課我們將研究特殊的三角形——直角三角形. 我們研究過直角三角形角的性質，那么直角三角形的三邊之間具有怎樣的等量關系呢？我們從特殊的直角三角形——等腰直角三角形開始研究.（教師課件展示如圖2所示的結構圖.）

【設計意圖】從三角形的知識體系入手構建研究路徑，體現知識之間的上下位關系，喚醒學生頭腦中已有的相關知識，直接引入課題，使學生明確學習目標.

問題1：相傳在2 500年前，畢達哥拉斯在朋友家做客時，發現朋友家用磚鋪成的地面圖案中等腰直角三角形的三邊有著特殊的等量關系，地面圖案如圖3所示. 那么等腰直角三角形三邊之間有怎樣的等量關系？

師生活動：學生畫圖探究，上臺展示發現的結論. 教師進行點評.

如果學生能答出正確答案，教師再追問：你是如何想到的？

如果學生不能答出正確答案，教師再追問：這三個正方形的面積有怎樣的等量關系？

【設計意圖】問題1運用數學故事引入，激發學生的學習興趣. 研究問題的思路是從特殊到一般. 教師引導學生從等腰直角三角形中發現三個正方形面積之間的等量關系，由面積之間的等量關系轉化為三邊的等量關系. 地磚圖案中的面積等量關系可以通過幾何直觀得到，提高學生發現問題、提出問題的能力，學會用數學的眼光觀察現實世界.

2. 類比探究，提出猜想

問題2：等腰直角三角形的三邊之間有上述性質，一般的直角三角形也有這個性質嗎？

師生活動：學生獨立思考、作答，再全班交流. 教師引導學生類比上面等腰直角三角形的研究方法，表示出如圖4所示的網格中直角三角形三邊衍生的正方形的面積之間的關系.

追問1：如何計算以直角三角形斜邊為邊長的正方形C的面積？

師生活動：學生觀察圖形，思考并計算正方形C的面積. 學生可能會用“割”和“補”兩種方法求正方形C的面積.

追問2：這三個正方形的面積是否具有與等腰直角三角形三邊為邊長的正方形面積同樣的等量關系？

師生活動：學生在網格紙上畫出一般的直角三角形，計算以直角三角形三邊為邊長的三個正方形的面積. 學生提出總有SA + SB = SC.

追問3：由上面的例子，你有什么猜想？

師生活動：學生提出猜想，教師引導學生完善幾何語言.

命題1：如圖5，如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2 + b2 = c2.

【設計意圖】類比等腰直角三角形的研究方法，從特殊到一般，借助網格，由直角三角形三邊衍生的正方形面積關系表示三邊之間的等量關系，體會研究問題的思路和方法. 運用割補法求以直角三角形斜邊為邊長的正方形面積是本環節的難點. 教師引導學生通過“割”形或者“補”形求正方形面積，培養學生的幾何直觀和運算能力;引導學生歸納并合理地用數學語言提出猜想，滲透轉化思想，使學生學會用數學的語言表達現實世界.

3. 邏輯推理，證明命題

問題3：如何證明以上的猜想？

追問1：命題1的已知是什么？求證是什么？

師生活動：教師分析命題1的已知是圖形具有的條件，要求證的是數式結論. 現要證明a2 + b2 = c2，根據直角三角形邊長的平方即為正方形的面積，引導學生聯想到證明以a，b為邊長的兩個正方形的面積之和等于以c為邊長的正方形的面積. 教師搭建“腳手架”，將步驟細化為“并線擺放—劃線分割—拼接重組—對比圖形”，學生通過教師提出的問題串的引領，自主拼接、構造弦圖，證明勾股定理，并且明晰每一個步驟的原理. 具體步驟如下.

步驟1：并線擺放圖形.

已知邊長為b的正方形ACDE和邊長為a的正方形DGB′C′（b gt; a），將它們按如圖6所示進行擺放，使CD和C′D共線，則CC′ =" " " "，該圖形的面積是" " " .

追問2：如何利用圖6構造出大正方形的邊長c？

【設計意圖】教師幫助學生在已知與求證之間搭建橋梁——由直角三角形三邊衍生的正方形，以它們面積之間的等量關系證明三邊的等量關系，用幾何圖形來證明數式結論，深化數形結合思想.

步驟2：劃線分割圖形.

如圖7，在線段C′C上取一點B，使CB = a，連接AB，BB′，則AB = BB′ = c. 求證：（1）△ABC ≌ △BB′C′;（2）∠ABB′ = 90°.

【設計意圖】通過問題引領學生找到分割點B，得到大正方形的一條邊長c. 通過證明兩個三角形全等，證明∠ABB′是直角，從而得到正方形的一組鄰邊，培養學生的推理能力.

如圖8，過點B作BF⊥AE，延長B′G交BF于點H. 與Rt△ABC全等的三角形有" " " " ，正方形EFHG的邊長為" " " " （用含a，b的式子表示）.

師生活動：學生觀察圖形并思考. 學生回答：圖8中，與Rt△ABC全等的三角形有Rt△BB′C′，Rt△BAF，Rt△B′BH. 教師提問學生簡述三角形全等的理由. 學生回答正方形EFHG的邊長為b - a.

【設計意圖】通過分割圖形，得到弦圖的四個全等的直角三角形和一個小正方形，用代數式表示小正方形的邊長，為后面要說明圖形變換前后面積保持不變做鋪墊.

步驟3：拼接重組圖形.

追問3：如何找到大正方形的另一組鄰邊，即找到以直角三角形斜邊為邊長的正方形？

師生活動：學生先畫草圖，再小組合作拼圖驗證. 教師讓學生上臺展示拼圖結果，如圖9所示.

追問4：為什么按這種方式拼出的四邊形ABB′I是正方形？說說你的理由.

師生活動：學生說明四邊形ABB′I的四條邊都相等，通過直角三角形兩個銳角互余，得到四個角都是直角，則四邊形ABB′I是正方形.

【設計意圖】教師引導學生發現正方形第四個頂點的大概位置，為拼出圖形設置了“腳手架”. 通過小組合作拼圖，使學生感悟圖形變換的過程，培養學生的小組合作精神. 學生在自主動手操作、剪圖拼圖的過程中，實現了將a2 + b2拼出c2，體會到了解決問題的喜悅，發展了推理能力和幾何直觀等素養.

步驟4：對比拼接前后的圖形.

追問5：對比拼接前后，圖形的面積有發生改變嗎？

師生活動：教師引導學生分析問題. 學生思考、回答問題如下.

如圖10（a），拼接前圖形的面積為a2 + b2 =[4×12ab+] [b-a2];如圖10（b），拼接后圖形的面積為[c2=4×12ab+][b-a2]，因此a2 + b2 = c2.

方法小結：由如圖6所示的幾何圖形（面積為a2 + b2）通過分割、拼接后，可以得到如圖10（b）所示的正方形（面積為c2），面積的總和保持不變，即a2 + b2 = c2. 趙爽所用的這種證明方法可稱為“出入相補法”，是我國古代數學家常用的方法. 圖10（b）是我國漢代的趙爽在注釋《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”.

【設計意圖】學生通過以上步驟了解分割、拼接圖形的目的和原理，從而進行自然、合理的再發現活動. 通過對比拼接前后的圖形，使學生能夠從中理解變換前后圖形的面積總和保持不變，體會“出入相補法”的原理. 通過對“趙爽弦圖”巧妙的證法介紹，弘揚我國古代的數學成就，培養學生的民族自豪感.

4. 定理應用，練習鞏固

教師板書定理，書寫幾何語言. 學生回答公式的變形形式.

例1 （教材第24頁練習1）設直角三角形的兩條直角邊長分別為a和b，斜邊長為c.

（1）已知a = 6，c = 10，求b;

（2）已知a = 5，b = 12，求c;

（3）已知c = 25，b = 15，求a.

師生活動：教師板演第（1）小題的推理過程，學生獨立完成第（2）（3）小題. 教師完善學生的推理步驟，規范書寫格式.

【設計意圖】通過例1，使學生明晰勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的等量關系，即“知二求一”，體會勾股定理的應用價值.

例2" 圖11中所有的三角形都是直角三角形，四邊形都是正方形. 已知正方形A，B，C，D的邊長分別是12，16，9，12，則最大正方形E的面積為" " " .

追問：這是“勾股樹”的基本圖形，每一層正方形的面

積之和有什么關系？依此類推，你有什么發現？

師生活動：教師板書例2的求解過程，并延伸出如圖12所示的“勾股樹”. 學生獨立思考，回答問題.

【設計意圖】例2中再次出現“勾股樹”的基本圖形，應用到了勾股定理，深化了轉化思想. 學生通過歸納每一層正方形的面積之間的關系，發展了幾何直觀. 教師利用信息技術的迭代功能制作出漂亮的“勾股樹”，帶領學生品味數學之美，體會勾股定理的美學價值.

5. 課堂小結，知識提升

問題4：帶著下面的問題對本節課的學習進行總結.

（1）勾股定理揭示了直角三角形三邊之間怎樣的等量關系？

（2）本節課研究勾股定理的思路是什么？

（3）本節課的學習體現了什么思想方法？在哪個環節應用到了這些思想方法？

（4）本節課的探究過程對你以后探究類似問題有何啟發？

師生活動：先由學生回顧學習過程，給出自己的回答，再由教師進行提煉概括，梳理本節課的內容、研究路徑和數學思想方法.

【設計意圖】從知識內容、研究思路和數學思想方法等方面對本節課進行小結，培養學生的歸納總結能力，鞏固探究發現的基本思路，深化數學思維和研究方法，落實數學的基礎知識、基本技能、基本思想、和基本活動經驗.

拓展延伸：如圖13，把邊長為a，b的兩個正方形并線擺放，則它們的面積之和為a2 + b2. 還可以怎樣剪拼得到邊長為c的正方形？

方法1：如圖14，在CD邊上截取BC = a，得Rt△ABC，可得“趙爽弦圖”，如圖15所示.

方法2：如圖16，在AC邊上截取AF = a，得Rt△AEF，可得“青朱出入圖”，如圖17所示. 其原理也是“出入相補法”.

師生活動：學生觀察圖形，思考拼接方式，課后完成剪拼環節.

【設計意圖】學生在“趙爽弦圖”的證明過程中，積累了相關的數學基本活動經驗之后，教師再給出另一種截取方式，使學生在教師的引導下再次聯想構造以c為邊長的大正方形，深刻體會“出入相補法”，領悟圖形之間的聯系，體驗“再發現”的過程.

結束語：至此，我們學習完直角三角形角的等量關系、邊的等量關系，后續我們將研究直角三角形的邊角關系，即后面所要學習的銳角三角函數.

6. 作業反饋，能力提升

基礎練習：

（1）設直角三角形的兩條直角邊長分別為a和b，斜邊長為c.

① 已知a = 12，b = 5，求c;

② 已知a = 3，c = 4，求b;

③ 已知c = 10，b = 9，求a.

（2）利用如圖18 ～ 20所示的幾何圖形證明勾股定理.

拓展提升：探究“青朱出入圖”的證法.

【設計意圖】基礎練習第（1）題落實勾股定理的應用，強化基礎知識和基本技能. 基礎練習第（2）題讓學生再一次體會運用等面積法證明勾股定理，培養學生的邏輯推理能力和探究精神. 拓展提升部分為探究“青朱出入圖”的證法，與“趙爽弦圖”的證明方法有異曲同工之妙. 教師引導學生自主拼圖，再次應用“出入相補法”完成證明.

七、課堂教學目標檢測

1. 在△ABC中，[∠C=90°]，若[BC=5]，[AC=12]，則[AB]的長為" " " .

2. 如圖21，數字代表所在正方形的面積，則A所代表的正方形的面積為" " " .

3. 如圖22，每個小正方形的邊長為1個單位長度，陰影部分是正方形，則此正方形的邊長為（" " ）.

（A）[5] （B）[10]

（C）[13] （D）[17]

4. 如圖23，在△ABC中，AB = 17，AC = 10，BC邊上的高AD = 8，則邊BC的長為" " " .

5. 用直角邊是a，b，斜邊是c的四個全等直角三角形拼成如圖24所示的圖形. 大正方形的面積可表示為[a+b2]. 觀察圖形并思考如下問題.

（1）這個大正方形的面積還可以怎樣表示？

（2）于是可列等式為" " " " " ，將等式化簡、整理得" " " " " .

八、教學特色說明

1. 創設情境，引領學生理解數學

本節課中，教師通過創設情境，引導學生用數學的眼光觀察地磚圖案，抽象出數學模型;把教材文字證明問題化，引導學生用數學語言表達證明;變換圖形拓展“青朱出入圖”，引導學生用數學的思維分析原理.

2. 以疑導思，啟發學生深度探究

在勾股定理探究證明過程中，教師精心設計問題串，搭建“腳手架”，引領學生進行深層次自主探究.

3. 活動育人，發展學生核心素養

整節課中，學生以探索者姿態出現. 教師通過設計豐富的課堂活動，發展學生的幾何直觀、推理能力等核心素養，體現數學學科的育人價值.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務教育數學課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]章建躍. 核心素養立意的高中數學課程教材教法研究[M]. 上海：華東師范大學出版社，2021.