“認(rèn)識(shí)二元一次方程組”教學(xué)設(shè)計(jì)

摘" 要：二元一次方程組是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的一個(gè)有效數(shù)學(xué)模型. 本節(jié)課通過(guò)對(duì)“雞兔同籠”問(wèn)題和“雀燕”問(wèn)題的對(duì)比分析，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)二元一次方程的必要性，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中抽象并概括出二元一次方程、二元一次方程組及其解的概念.

關(guān)鍵詞：模型思想;情境教學(xué);概念生成

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1. 內(nèi)容

本節(jié)課選自北師大版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)第五章第一節(jié)，主要內(nèi)容為二元一次方程、二元一次方程組及其解的概念.

2. 內(nèi)容解析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對(duì)“方程與方程組”的具體要求是能根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會(huì)方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型. 通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，使學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問(wèn)題中抽象出二元一次方程（組）的過(guò)程，并會(huì)解簡(jiǎn)單的二元一次方程組，從而初步理解化未知為已知和化復(fù)雜問(wèn)題為簡(jiǎn)單問(wèn)題的化歸思想;發(fā)展靈活運(yùn)用方程（組）解決實(shí)際問(wèn)題的能力，切實(shí)提高學(xué)生的應(yīng)用意識(shí);通過(guò)對(duì)二元一次方程、二元一次方程組與一次函數(shù)關(guān)系的討論，建立方程和函數(shù)的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生從形的角度看待二元一次方程和二元一次方程組，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想.

二元一次方程組是一類(lèi)最簡(jiǎn)單的線性方程組，它是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的一個(gè)有效數(shù)學(xué)模型，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，乃至物理、化學(xué)等其他學(xué)科知識(shí)的重要基礎(chǔ).“認(rèn)識(shí)二元一次方程組”一課既是一元一次方程的延續(xù)，又是進(jìn)一步學(xué)習(xí)二元一次方程組的前提，與研究一元一次方程的路徑相同. 本節(jié)課的教學(xué)從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)豐富的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生列出二元一次方程和二元一次方程組，觀察、歸納出二元一次方程和二元一次方程組的有關(guān)概念，并從中體會(huì)方程的模型思想.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：二元一次方程、二元一次方程組及其解的概念.

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1. 目標(biāo)

（1）經(jīng)歷對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型;

（2）通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的探究，說(shuō)出二元一次方程和二元一次方程組的概念;

（3）通過(guò)自主探究和小組合作，初步了解二元一次方程和二元一次方程組的解的概念，并會(huì)判斷一組數(shù)是不是某個(gè)二元一次方程組的解.

2. 目標(biāo)解析

達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志是：學(xué)生能夠根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的等量關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，列出二元一次方程;

達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志是：學(xué)生能通過(guò)相應(yīng)的探究活動(dòng)說(shuō)出二元一次方程和二元一次方程組的概念;

達(dá)成目標(biāo)（3）的標(biāo)志是：學(xué)生能說(shuō)出二元一次方程的解和二元一次方程組的解的概念，并能判斷出一組數(shù)是不是某個(gè)二元一次方程組的解.

三、學(xué)生學(xué)情分析

1. 學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)

學(xué)生在七年級(jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)一元一次方程，能理解“元”和“次”的含義，經(jīng)歷過(guò)由具體問(wèn)題抽象出一元一次方程的過(guò)程，初步感受了方程的模型作用，并積累了利用方程解決實(shí)際問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn).

2. 學(xué)生面臨的問(wèn)題

學(xué)生對(duì)用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題已經(jīng)比較熟悉，能夠設(shè)一個(gè)未知數(shù)，并根據(jù)等量關(guān)系列出一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題. 但學(xué)生只是初步感受了方程思想，還處在算術(shù)法的逆向思維和方程思想的正向思維的過(guò)渡階段. 當(dāng)實(shí)際問(wèn)題中出現(xiàn)兩個(gè)未知量時(shí)，沒(méi)有設(shè)兩個(gè)未知數(shù)的意識(shí). 另外，二元一次方程組從結(jié)構(gòu)上來(lái)說(shuō)比一元一次方程相對(duì)復(fù)雜，學(xué)生會(huì)對(duì)設(shè)兩個(gè)未知數(shù)建立的兩個(gè)方程和設(shè)一個(gè)未知數(shù)列出的一元一次方程做對(duì)比，認(rèn)為在解決部分實(shí)際問(wèn)題時(shí)并不能體現(xiàn)二元一次方程的優(yōu)越性. 因此，學(xué)生會(huì)有疑惑，為什么要學(xué)習(xí)二元一次方程和二元一次方程組.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：從實(shí)際問(wèn)題中抽象出二元一次方程.

四、教學(xué)策略分析

關(guān)于方程的學(xué)習(xí)，從“一元”過(guò)渡到“二元”對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)會(huì)是個(gè)難點(diǎn)，教師需要關(guān)注學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)的思路和想法. 根據(jù)學(xué)情診斷分析，為了更好地達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，在教學(xué)內(nèi)容上，以中國(guó)古代數(shù)學(xué)的杰出成就為主線，借助古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有趣的“雞兔同籠”問(wèn)題和《九章算術(shù)》中的“雀燕”問(wèn)題展開(kāi)探究.“雞兔同籠”問(wèn)題是貫穿小學(xué)、初中的一道經(jīng)典問(wèn)題，學(xué)生可以用枚舉法、巧妙的算術(shù)法、一元一次方程等方法加以解決. 然后，教師引導(dǎo)學(xué)生探索其他的方法，即設(shè)兩個(gè)未知數(shù)列二元一次方程;在解決“雀燕”問(wèn)題時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)枚舉法、算術(shù)法都行不通，而且列一元一次方程也比較復(fù)雜，列二元一次方程卻比較簡(jiǎn)潔，此時(shí)就凸顯出了學(xué)習(xí)二元一次方程的必要性和優(yōu)越性.

二元一次方程的概念中同樣有“元”和“次”，但“次”的含義和學(xué)過(guò)的一元一次方程中“次”的含義略有不同. 因此，先讓學(xué)生自主觀察根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列出的方程，并總結(jié)出這些方程的共同特征，再通過(guò)對(duì)多個(gè)不同類(lèi)方程的對(duì)比分析，得出二元一次方程的概念.

基于學(xué)生已經(jīng)了解方程的解的概念，在探究二元一次方程和二元一次方程組的解的概念時(shí)，通過(guò)設(shè)置問(wèn)題串激發(fā)學(xué)生對(duì)概念的本質(zhì)進(jìn)行深度探索，并把二元一次方程組解的個(gè)數(shù)問(wèn)題留作本節(jié)課的一個(gè)疑問(wèn).

本節(jié)課屬于概念課，是本章的起始課. 在概括和總結(jié)二元一次方程和二元一次方程組及其解的概念的過(guò)程中，多給學(xué)困生和中等生一些表達(dá)自己想法的機(jī)會(huì)，并給予鼓勵(lì)，讓這些學(xué)生也體驗(yàn)獲得成功的喜悅，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣;在小組討論和問(wèn)題講解時(shí)，涉及問(wèn)題本質(zhì)和較高思維的問(wèn)題解答時(shí)，培養(yǎng)優(yōu)等生從多個(gè)角度分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)讓不同層次的學(xué)生得到不同程度的發(fā)展.

本節(jié)課借助信息技術(shù)手段輔助教學(xué)，及時(shí)、精準(zhǔn)地收集學(xué)生的學(xué)習(xí)反饋，對(duì)學(xué)生的問(wèn)題及時(shí)評(píng)價(jià)，提高教學(xué)效率.

五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

情境導(dǎo)學(xué)：中國(guó)是世界四大文明古國(guó)之一，數(shù)學(xué)文化更是燦爛無(wú)比. 我們剛剛學(xué)過(guò)的勾股定理就來(lái)源于一本古老的數(shù)學(xué)著作——《周髀算經(jīng)》. 這節(jié)課給大家介紹一本在世界數(shù)學(xué)史上最先提出用方程解決實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)書(shū)——《九章算術(shù)》，它是當(dāng)時(shí)世界上最簡(jiǎn)練、有效的數(shù)學(xué)書(shū). 中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作數(shù)不勝數(shù)，還有《張丘建算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》等，今天我們就從《孫子算經(jīng)》中大家熟悉的“雞兔同籠”問(wèn)題開(kāi)始研究.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)介紹古代數(shù)學(xué)的杰出成就，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，增強(qiáng)民族自豪感.

1. 創(chuàng)設(shè)情境，探究新知

活動(dòng)1：?jiǎn)栴}引入.

問(wèn)題1：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雞兔各幾何？

師生活動(dòng)：教師呈現(xiàn)《孫子算經(jīng)》中的“雞兔同籠”問(wèn)題，學(xué)生回憶以前學(xué)過(guò)的解決方法，舉手作答，師生共同點(diǎn)評(píng).

學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)：關(guān)注學(xué)生能否列出二元一次方程.

【設(shè)計(jì)意圖】以學(xué)生熟悉的“雞兔同籠”問(wèn)題引入，讓學(xué)生很有親切感. 在學(xué)生答出枚舉法、算術(shù)法和一元一次方程的求法之后，繼續(xù)鼓勵(lì)學(xué)生思考其他方法，引導(dǎo)學(xué)生不斷優(yōu)化解決問(wèn)題的方法，激起學(xué)生探究問(wèn)題的興趣.

問(wèn)題2：五只雀，六只燕，共重十六兩，雀重燕輕，互換其中一只，恰好一樣重，問(wèn)雀燕各幾兩？

師生活動(dòng)：教師呈現(xiàn)《九章算術(shù)》中的“雀燕”問(wèn)題. 學(xué)生先獨(dú)立思考，找到題目中的等量關(guān)系. 學(xué)生思考后作答，對(duì)比列一元一次方程和設(shè)兩個(gè)未知數(shù)列出的方程，會(huì)得出列一元一次方程的方法比較復(fù)雜，設(shè)兩個(gè)未知數(shù)列出的方程比較簡(jiǎn)單.

學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)：通過(guò)巡視，觀察學(xué)生能否準(zhǔn)確找到題目中的等量關(guān)系，然后直接設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，根據(jù)等量關(guān)系列出兩個(gè)正確的二元一次方程.

【設(shè)計(jì)意圖】在“雀燕”問(wèn)題中，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)設(shè)兩個(gè)未知數(shù)、列出二元一次方程要比列出一元一次方程簡(jiǎn)單，意在引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)二元一次方程的必要性. 如果有學(xué)生認(rèn)為用一元一次方程也可以解答，教師應(yīng)肯定其做法，并將答案保留下來(lái)，在學(xué)習(xí)下一節(jié)二元一次方程組解法時(shí)，讓學(xué)生比較列出的一元一次方程和列出的二元一次方程組有什么關(guān)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)二元一次方程組的好奇心與積極性.

活動(dòng)2：探究二元一次方程的概念.

問(wèn)題3：觀察前面列出的以下四個(gè)方程，共有什么共同特征？

（1） [x+y=35;] （2） [2x+4y=94;]

（3） [5x+6y=16;] （4） [4x+y=5y+x.]

【設(shè)計(jì)意圖】由問(wèn)題情境挖掘數(shù)學(xué)的本質(zhì)屬性，發(fā)現(xiàn)所列方程的共性. 讓學(xué)生直接通過(guò)這四個(gè)方程歸納出二元一次方程的概念會(huì)有點(diǎn)困難，因此設(shè)計(jì)了以下問(wèn)題.

問(wèn)題4：將下列方程分類(lèi)，并說(shuō)出分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn).

（1） [x+y=35;] （2） [2x+4y=94;]

（3） [5x+6y=16;] （4） [4x+y=5y+x;]

（5） [x+1=5;] （6） [5x+6y=z;]

（7） [2x2+3=11;] （8） [xy+1=x;]

（9） [x2+y=7;] （10） [3x+5y-2=0.]

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)對(duì)比、分析由“雞兔同籠”問(wèn)題和“雀燕”問(wèn)題列出的四個(gè)方程的共同特征，能得出以上方程“含有兩個(gè)未知數(shù)”的特征，但總結(jié)出“所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1”會(huì)存在困難. 通過(guò)設(shè)計(jì)第（8）小題，加深學(xué)生對(duì)“元”和“次”的理解，并引導(dǎo)學(xué)生按所含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次和按元分類(lèi)，最后自然得出二元一次方程的概念.

問(wèn)題5：下列方程是二元一次方程嗎？為什么？

（1） [2x-z=10-y;] （2） [y2-3x=1;]

（3） [x-1y=7;] （4） [y=-x+35;]

（5） [x-xy=6 ;] （6） [x-22+y=0 .]

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，回歸概念本質(zhì)，做出判斷，師生一起點(diǎn)評(píng).

學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)：通過(guò)學(xué)生反饋，看一看學(xué)生能否快速判斷出哪些是二元一次方程，是否能準(zhǔn)確說(shuō)出判斷理由.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)解決問(wèn)題5，進(jìn)一步鞏固學(xué)生對(duì)二元一次方程概念的理解，提高對(duì)“元”和“次”的認(rèn)識(shí). 同時(shí)通過(guò)第（4）小題，為學(xué)生之后理解“一次函數(shù)表達(dá)式本身就是一個(gè)二元一次方程”做鋪墊.

活動(dòng)3：探究二元一次方程組的概念.

問(wèn)題6：方程[x+y=35，2x+4y=94，][ 5x+6y=16，][4x+y=5y+x]中，[x]的含義都相同嗎？[y]呢？

師生活動(dòng)：學(xué)生思考后回答問(wèn)題. 教師指出前兩個(gè)方程中[x，y]的含義分別相同，因而[x，y]必須同時(shí)滿(mǎn)足這兩個(gè)方程. 把它們聯(lián)立起來(lái)，得[x+y=35，2x+4y=94.] 這樣就組成了一個(gè)二元一次方程組.

學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)：聽(tīng)一聽(tīng)學(xué)生能否準(zhǔn)確說(shuō)出同一個(gè)未知數(shù)在不同實(shí)際問(wèn)題中所代表的對(duì)象不同，能否說(shuō)出兩個(gè)不同的方程中的未知數(shù)所代表的對(duì)象可以相同.

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)兩個(gè)方程中x，y所代表的含義分別相同，且同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)方程，聯(lián)立得出二元一次方程組，進(jìn)而得出二元一次方程組的概念.

練習(xí)：判斷下列方程組是否為二元一次方程組，并說(shuō)出判斷的依據(jù).

（1） [y+z=7，2x-3y=6;] （2） [y2-x=11，x-y=6;]

（3） [y=x+1，x-y=5;] （4） [x+1=7，x-y=3. ]

【設(shè)計(jì)意圖】本節(jié)課由兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題引出的二元一次方程組都是由兩個(gè)二元一次方程聯(lián)立得到的，但在第（4）小題中，有一個(gè)方程是一元一次方程，學(xué)生會(huì)認(rèn)為這不是一個(gè)二元一次方程組. 通過(guò)分析，發(fā)現(xiàn) [x+1=7，x-y=3]中確實(shí)含有兩個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)所在項(xiàng)的次數(shù)也為1，所以它是二元一次方程組. 通過(guò)這組練習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生得出二元一次方程組的概念. 通過(guò)對(duì)概念中關(guān)鍵詞的分析，進(jìn)一步鞏固學(xué)生對(duì)二元一次方程組概念的理解.

活動(dòng)4：探究二元一次方程的解的概念.

問(wèn)題7：我們?cè)趯W(xué)習(xí)一元一次方程時(shí)，是按照什么順序?qū)W習(xí)的呢？

追問(wèn)1：什么是方程的解？

追問(wèn)2：二元一次方程中含有幾個(gè)未知數(shù)呢？我們需要求出幾個(gè)未知數(shù)的值呢？

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)以上問(wèn)題及追問(wèn)，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)研究二元一次方程依然是按照研究方程的一般思路（認(rèn)識(shí)—解方程—應(yīng)用），引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)類(lèi)比思想.

問(wèn)題8：求出滿(mǎn)足方程[x+y=35，] 且符合實(shí)際問(wèn)題的[x，y]的值有哪些？

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考并列舉出滿(mǎn)足條件的[x，][y]的值. 確定一個(gè)[x]的值，就能求出一個(gè)[y]的值;確定一個(gè)[y]的值，就能求出一個(gè)[x]的值，體會(huì)這樣的[x，y]的值是成對(duì)出現(xiàn)的，感受二元一次方程的解中[x，y]的值具有相關(guān)性.

學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)：觀察學(xué)生是否只求一個(gè)未知數(shù)的值;關(guān)注學(xué)生是如何根據(jù)其中一個(gè)未知數(shù)的值去求解另外一個(gè)未知數(shù)的值的.

追問(wèn)1：你求出的[x+y=35]的解是什么？

追問(wèn)2：如果拋開(kāi)實(shí)際問(wèn)題背景，方程[x+y=35]有多少個(gè)解呢？

追問(wèn)3：什么是二元一次方程的解？

學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)：關(guān)注學(xué)生是否注意到二元一次方程有兩個(gè)未知數(shù);關(guān)注學(xué)生是否注意到二元一次方程有無(wú)數(shù)組解的問(wèn)題.

【設(shè)計(jì)意圖】由學(xué)生歸納、概括二元一次方程的解的概念，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力，讓學(xué)生體會(huì)二元一次方程的解不唯一. 同時(shí)，學(xué)生能從這個(gè)過(guò)程中體會(huì)二元一次方程[x+y=35]的解中[x，y]的值具有相關(guān)性，并不是任意一組[x，y]的值都是該方程的解.

活動(dòng)5：探究二元一次方程組的解的概念.

問(wèn)題9：用同樣的方法找到適合方程[2x+4y=94]，且滿(mǎn)足實(shí)際問(wèn)題的[x，y]的值.

師生活動(dòng)：學(xué)生小組合作，分享并討論出快速求解的方法.

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生在探究后才會(huì)深刻體會(huì)到用一個(gè)未知量來(lái)表示另一個(gè)未知量時(shí)能快速計(jì)算出另一個(gè)未知數(shù)的值，為下節(jié)課學(xué)習(xí)用代入消元法解二元一次方程組做準(zhǔn)備，同時(shí)體現(xiàn)了“主元”思想.

問(wèn)題10：根據(jù)二元一次方程組的定義，說(shuō)一說(shuō)什么是二元一次方程組的解.

師生活動(dòng)：教師提醒學(xué)生二元一次方程組的定義中兩個(gè)方程中的未知數(shù)所代表的對(duì)象相同;小組討論，總結(jié)出二元一次方程組的解的概念.

學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)：聽(tīng)一聽(tīng)學(xué)生是如何理解二元一次方程組的解的;關(guān)注學(xué)生是如何總結(jié)二元一次方程組的解的.

問(wèn)題11：在實(shí)際問(wèn)題背景下，二元一次方程組有一個(gè)解. 如果拋開(kāi)實(shí)際問(wèn)題的背景，在兩個(gè)二元一次方程都有無(wú)數(shù)組解的情況下，還會(huì)有其他的公共解嗎？

師生活動(dòng)：由學(xué)生歸納、概括二元一次方程組的解的概念.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)問(wèn)題11，很自然地引入二元一次方程組的解的概念. 二元一次方程組的解也是基于同一字母代表同一個(gè)含義，對(duì)于每個(gè)方程來(lái)講，相同字母的值是一樣的;拋開(kāi)實(shí)際問(wèn)題，兩個(gè)二元一次方程會(huì)不會(huì)有公共解，學(xué)生直觀想象不到，這也留作今天課堂的一個(gè)疑問(wèn).

2. 針對(duì)訓(xùn)練，目標(biāo)檢測(cè)

（1）若方程x2m - 5 + y = 5是關(guān)于x，y的二元一次方程，則m的值為（" " ）.

（A）1" " " （B）2

（C）3" " " （D）4

（2）已知[x=2，y=1] 是方程[2x-ay=5]的一個(gè)解，則a2的值為（" " ）.

（A）-1" " （B）1

（C）-3" " （D）9

（3）下列方程組中，是二元一次方程組的有（" " ）.

[① 3x-y=0，y2=x+5;] [② 4x+y=19，y=x2+y;]

[③ 3x+4y=10，z=y+5;] [④ x=1，y+5=0.]

（A）1個(gè)" " （B）2個(gè)

（C）3個(gè) （D）4個(gè)

（4）二元一次方程組[x+2y=10，y=2x] 的解是（" " ）.

（A）[x=4，y=3]" " （B）[x=3，y=6]

（C）[x=2，y=4] （D）[x=4，y=2]

（5）若方程[a+2xa-1+3y=1]是關(guān)于x，y的二元一次方程，則a的值為（" " ）.

（A）±2" " " （B）-2

（C）2" " " （D）0

（6）列方程組，解估算題.

我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載如下問(wèn)題：今有甲、乙二人持錢(qián)不知其數(shù)，甲得乙半而錢(qián)五十，乙得甲太半而錢(qián)亦五十. 甲、乙持錢(qián)各幾何？題目大意是：甲、乙兩人各帶了若干錢(qián)，如果甲得到乙所有錢(qián)的一半，那么甲共有錢(qián)50;如果乙得到甲所有錢(qián)的[23]，那么乙也共有錢(qián)50. 甲、乙兩人各帶了多少錢(qián)？設(shè)甲持錢(qián)數(shù)為x，乙持錢(qián)數(shù)為y，則根據(jù)題意可列方程組為（" " ）.

（A） [12x+y=50，y+23x=50] （B） [x=12y，y=23x]

（C） [x+12y=50，23y+x=50] （D） [x+12y=50，y+23x=50]

師生活動(dòng)：教師將這些題目發(fā)到學(xué)生的平板上，學(xué)生通過(guò)平板獨(dú)立完成，并提交. 教師收集反饋數(shù)據(jù)，根據(jù)反饋情況，師生一起處理學(xué)生出現(xiàn)的問(wèn)題.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)針對(duì)性訓(xùn)練，檢測(cè)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是否達(dá)成，加深學(xué)生對(duì)概念的理解. 同時(shí)，借助平板，能及時(shí)準(zhǔn)確地得到學(xué)生反饋，提高課堂效率.

第（1）（3）（5）題，針對(duì)教學(xué)目標(biāo)2設(shè)計(jì)，考查學(xué)生是否掌握二元一次方程和二元一次方程組的概念;

第（2）（4）題，針對(duì)教學(xué)目標(biāo)3設(shè)計(jì)，考查學(xué)生是否理解二元一次方程和二元一次方程組的解的概念;

第（6）題，針對(duì)教學(xué)目標(biāo)1設(shè)計(jì)，考查學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中抽象出二元一次方程組的能力，并讓學(xué)生體會(huì)方程的模型思想.

3. 交流總結(jié)，歸納提升

（1）本節(jié)課你學(xué)到了哪些知識(shí)？

（2）本節(jié)課用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

（3）你還想學(xué)習(xí)有關(guān)二元一次方程或者二元一次方程組的哪些知識(shí)？

學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)：觀察學(xué)生是否與同伴交流，是否能在知識(shí)回顧中提煉出數(shù)學(xué)思想方法，是否能把自己的收獲具體到某個(gè)問(wèn)題上.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)回顧本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)和運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展學(xué)生的歸納總結(jié)能力，發(fā)揮學(xué)生的主體作用.

通過(guò)第（3）題，讓學(xué)生談一談還想學(xué)習(xí)的內(nèi)容，形成知識(shí)體系，為本章后續(xù)的學(xué)習(xí)埋下伏筆，也為今后研究分式方程、一元二次方程提供基本思路.

4. 課后鞏固，反思升華

回到本節(jié)課的情境導(dǎo)入，即中國(guó)古代燦爛的數(shù)學(xué)文化，給學(xué)生觀看簡(jiǎn)短的小視頻，講解中國(guó)古代數(shù)學(xué)的偉大成就，提升學(xué)生的民族自豪感和認(rèn)同感，同時(shí)激勵(lì)學(xué)生向我國(guó)古代的數(shù)學(xué)家學(xué)習(xí).

必做題：教材第106頁(yè)第1，3，4題.

選做題：在中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的“方程”一章找出一個(gè)可以用二元一次方程組來(lái)解決的實(shí)際問(wèn)題.

【設(shè)計(jì)意圖】必做題旨在鞏固學(xué)生對(duì)基本概念的理解，選做題是為了讓學(xué)生了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)的杰出成就，通過(guò)對(duì)具體問(wèn)題的探究，體會(huì)方程的模型思想.

六、教學(xué)目標(biāo)檢測(cè)

1. 若[x2m-1+2y3n+1=1]是關(guān)于[x，y]的二元一次方程，則[mn]的值為_(kāi)________.

【設(shè)計(jì)意圖】考查二元一次方程的概念.

2. 下面4組數(shù)值中，哪些是二元一次方程[2x+][y=10]的解？試填序號(hào)" " " ".

（1）[x=-2，y=6; ] （2）[x=3 ，y=4; ]

（3）[x=12 ，y=9; ] （4）[x=6 ，y=-2. ]

【設(shè)計(jì)意圖】考查二元一次方程的解的概念，并讓學(xué)生再次感受二元一次方程的解不是唯一的.

3. 下列方程組中，解為[x=1 ，y=-1 ] 的是（" " ）.

（A） [2x+y=-1 ，x-2y=3 ] （B） [2x+y=1 ，x-2y=3 ]

（C） [2x+y=-1 ，x-2y=-3 ] （D） [2x+y=1 ，x-2y=-3 ]

【設(shè)計(jì)意圖】考查二元一次方程組的解的概念.

4. 根據(jù)題意列方程組.

我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中記載了一道題，大意是：100匹馬恰好拉了100片瓦，已知1匹大馬能拉3片瓦，3匹小馬能拉1片瓦，問(wèn)有多少匹大馬、多少匹小馬？

【設(shè)計(jì)意圖】考查學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中抽象出二元一次方程組的能力，并讓學(xué)生體會(huì)方程的模型思想.

七、教學(xué)反思

1. 關(guān)注學(xué)科經(jīng)典，滲透數(shù)學(xué)文化精髓

本節(jié)課是“二元一次方程組”的章起始課，需要關(guān)注學(xué)生獲得新知識(shí)的情感體驗(yàn). 筆者主要采用情境教學(xué)法和啟發(fā)式教學(xué)法教學(xué)，情境貫穿始終，數(shù)學(xué)文化自然滲透，讓學(xué)生在感受古代數(shù)學(xué)杰出成就的同時(shí)，自然得出二元一次方程、二元一次方程組及其解的概念，最后以古代數(shù)學(xué)的輝煌成就結(jié)束，使學(xué)生的民族自豪感油然而生.

2. 關(guān)注知識(shí)發(fā)展，順應(yīng)學(xué)生學(xué)情基礎(chǔ)

在探究新知時(shí)，以學(xué)生熟知的一道經(jīng)典的古算題——“雞兔同籠”問(wèn)題引入，學(xué)生應(yīng)用枚舉法、巧妙的算術(shù)法、一元一次方程的方法，還有二元一次方程的方法解題，以此引出設(shè)兩個(gè)未知數(shù)列二元一次方程的方法. 然后，借助《九章算術(shù)》中的“雀燕”問(wèn)題引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決“雞兔同籠”問(wèn)題時(shí)的枚舉法和算術(shù)法對(duì)此題都行不通，而且設(shè)一個(gè)未知數(shù)列一元一次方程也比較復(fù)雜，這時(shí)設(shè)兩個(gè)未知數(shù)列二元一次方程顯得尤為簡(jiǎn)單，進(jìn)而讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)二元一次方程的必要性和優(yōu)越性.

3. 關(guān)注概念本質(zhì)，精心設(shè)計(jì)探究活動(dòng)

（1）二元一次方程的概念.

二元一次方程的概念中“所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)為1”這一特征學(xué)生很難總結(jié)出來(lái)，因此，在探究實(shí)際問(wèn)題得出的四個(gè)方程的基礎(chǔ)上，筆者又加了六個(gè)方程，讓學(xué)生對(duì)這十個(gè)方程進(jìn)行分類(lèi)，可以按“元”進(jìn)行分類(lèi)，也可以按“次”進(jìn)行分類(lèi)，然后綜合“元”和“次”這兩個(gè)方面自然得出二元一次方程的概念. 接下來(lái)，及時(shí)安排練習(xí)題，讓學(xué)生通過(guò)練習(xí)鞏固對(duì)二元一次方程的概念的理解，同時(shí)在練習(xí)題里設(shè)置了一個(gè)二元一次方程y = -x + 35，意在提醒學(xué)生，剛剛學(xué)過(guò)的一次函數(shù)的表達(dá)式本身就是一個(gè)二元一次方程.

（2）二元一次方程組的概念.

對(duì)于二元一次方程組的概念中“共含有”和“兩個(gè)一次方程”這兩點(diǎn)，學(xué)生不容易總結(jié)出來(lái). 筆者先引導(dǎo)學(xué)生從字面意思理解二元一次方程組的概念，然后判斷給出的方程組是否為二元一次方程組. 學(xué)生發(fā)現(xiàn)，只要方程組中的兩個(gè)方程共含有兩個(gè)未知數(shù)，且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)為1，即為二元一次方程組，即二元一次方程組中的方程可以是一元一次方程. 又因?yàn)樗粗獢?shù)的項(xiàng)的次數(shù)為1的方程稱(chēng)為一次方程，這時(shí)二元一次方程組的概念自然就清晰了.

（3）二元一次方程的解的概念.

學(xué)生不清楚二元一次方程的解由兩個(gè)未知數(shù)的值組成，且在沒(méi)有實(shí)際背景的情況下有無(wú)數(shù)組. 因此，筆者從方程解的定義說(shuō)起，即能使方程成立的未知數(shù)的值是方程的解，而二元一次方程中含有兩個(gè)未知數(shù)，那么，我們必須求出兩個(gè)未知數(shù)的值才能求出二元一次方程的解. 接下來(lái)，讓學(xué)生先在實(shí)際問(wèn)題背景下求出簡(jiǎn)單的二元一次方程的解，在未知數(shù)都只能取正整數(shù)的情況下，學(xué)生發(fā)現(xiàn)二元一次方程的解不是唯一的，而且是由一組未知數(shù)的值組成的，且兩個(gè)未知數(shù)的值具有相關(guān)性. 接下來(lái)再追問(wèn)：如果拋開(kāi)實(shí)際背景，二元一次方程會(huì)有多少組解呢？學(xué)生可以感受到有無(wú)數(shù)組，這時(shí)學(xué)生自然可以得出：適合一個(gè)二元一次方程的一組未知數(shù)的值叫做二元一次方程的一個(gè)解.

（4）二元一次方程組的解的概念.

學(xué)生根據(jù)二元一次方程組的定義，能說(shuō)出二元一次方程組的解即為兩個(gè)方程的公共解，且在“雞兔同籠”這個(gè)實(shí)際問(wèn)題的背景下，方程組一定會(huì)有一組解，但如果沒(méi)有實(shí)際背景，方程組中的兩個(gè)二元一次方程都有無(wú)數(shù)組解的情況下，兩個(gè)方程會(huì)有多少個(gè)公共解，學(xué)生無(wú)法感知. 本想把這個(gè)問(wèn)題留作課堂疑問(wèn)，課下讓學(xué)生通過(guò)預(yù)習(xí)或者查閱資料來(lái)解決，但課堂上有學(xué)生提出可以把兩個(gè)二元一次方程都變形，變?yōu)橐淮魏瘮?shù)的表達(dá)式y(tǒng) = kx + b（k ≠ 0）的形式，然后借助一次函數(shù)的圖象來(lái)解決二元一次方程組的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題. 從而將這節(jié)課的知識(shí)高度提升了，拓寬了學(xué)生的思路. 借助直觀的函數(shù)圖象來(lái)解決方程組解的問(wèn)題，讓學(xué)生經(jīng)歷用“形”來(lái)解決“數(shù)”的問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，也為后續(xù)研究二元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系做鋪墊.

4. 關(guān)注學(xué)科思想，注重學(xué)生思維成長(zhǎng)

本節(jié)課中，不僅讓學(xué)生體會(huì)用二元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的必要性，也為學(xué)生打開(kāi)了用多元方程解決問(wèn)題的思路. 下課后，有名學(xué)生激動(dòng)地跑到筆者跟前說(shuō)：“老師，我發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中有兩個(gè)未知量時(shí)設(shè)兩個(gè)未知數(shù)根據(jù)等量關(guān)系建立方程組很直觀，那有多個(gè)未知量時(shí)就可以設(shè)多個(gè)未知數(shù)，建立多元方程組來(lái)解決問(wèn)題.”筆者向他豎起了大拇指. 雖然學(xué)生的描述不是很全面，但從另一個(gè)角度可以肯定這節(jié)課為學(xué)生從“一元”到“二元”再到多元的過(guò)渡奠定了基礎(chǔ)，幫助學(xué)生更好地體會(huì)方程的模型思想.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]教育部基礎(chǔ)教育課程教材專(zhuān)家工作委員會(huì).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》解讀[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.