建立整體聯系 探究一氣呵成

摘" 要：踐行單元理念，整體建構內容，促進新知生成;基于原有認知，善用歸納遷移，促進學力提升;強化鞏固應用，注重本質理解，提升思維能力.

關鍵詞：整體建構;歸納遷移;本質理解

楊夢嬌老師（以下統稱“執教教師”）執教的“同底數冪的乘法”這節課，重視冪的乘法運算的學習意義的建構，用單元教學的理念整體設計了教學過程，設計有創新.

一、踐行單元理念，整體建構內容，促進新知生成

學習“數”時，我們主要學習了數的概念和運算，根據數式通性，“式”的學習自然也是概念和運算. 學習了整式的相關概念及加減運算后，順其自然，應該學習什么呢？

執教教師在課堂一開始就提出問題：有理數有哪些基本運算？我們已經學習了整式的哪些運算？類比學習數的運算的過程，接下來我們要學習整式的什么運算？

通過類比有理數運算，自然會想到整式運算的幾種情形，而我們已研究了整式的加減運算，所以接下來應該研究整式的乘法了. 執教教師給出四個整式，要求學生從中任意選兩個構成乘法運算，這樣寫出了六個算式，可將這六個算式分成三種類型：單項式乘單項式、單項式乘多項式和多項式乘多項式，而多項式乘多項式、單項式乘多項式都可以轉化為單項式乘單項式，所以單項式乘單項式是整式乘法運算的基礎. 而在單項式乘單項式中，最常見的是冪的運算，所以引出本節課要研究的內容——同底數冪的乘法. 在學生學習之初弄清楚這些，很快讓學生找到了研究問題的方向，使他們對整式乘法的學習脈絡清晰、順理成章.

執教教師重視整式的加減乘除四種運算的內在結構的整體把握，突出“為什么學習冪的三個基本乘法運算”“在冪的三個基本乘法運算中，為什么首先學習同底數冪的乘法”的意義建構. 這種從系統的角度引入新課，是章起始課教學的主要方式，這樣的設計具有整體性、一致性、連貫性. 學生能夠整體認識知識之間的聯系，知道新知從何處來，到何處去，享受了完整的學習過程. 同時體會了分類的數學思想，在學習知識的同時思維能力得到了發展.

二、基于原有認知，善用歸納遷移，促進學力提升

探究“同底數冪的乘法法則”是本節課教學的重點，執教教師的設計分為兩步.

第一步，根據乘方的意義計算下列各式，結果用冪的形式表示. ①[103×104];②[10m ? 10n]（m，n是正整數）;③[a3 ? a4]. 利用乘方的意義和有理數的運算律，將冪的形式的乘法轉化為積的形式，最終又寫成冪的形式，變化的是底數和指數，不變的是算法及算理，為下一步抽象概括出法則搭建了橋梁.

第二步，執教教師提出了四個討論的問題：① 參考以上三道小題的解題過程，嘗試計算[am ? an]（m，n是正整數）. ② 比較計算結果與原式，底數和指數分別有什么規律？③ 如何用數學符號語言表達其中的規律？④ 在探究過程中，體會到了什么數學思想方法？借助具體的例子，通過觀察、發現，歸納出一般規律，再證明結論的正確性，學生經歷了法則形成的全過程，感受了從特殊到一般研究問題的方法.

這種重視公式形成過程的教學，使學生感受了同底數冪的乘法法則的形成過程，掌握了從特殊情形入手研究問題的方法，對歸納得出的結論進行嚴密的推理論證，這是數學學科獨特的要求. 雖然是代數公式的推導，但其中也蘊含著推理的成分，追問學生每一步的推理依據就是明確算理，發展學生的邏輯推理能力.

從整式乘法運算的知識結構來看，多項式乘多項式、單項式乘多項式都是轉化為單項式乘單項式，而同底數冪的乘法是單項式乘單項式的基礎，凸顯了章起始課的重要性，運用乘方的意義，推導公式的過程統領了冪的乘方、積的乘方公式的研究方法，在發現結論和推理方法上具有一致性. 所以說，知識學習和探究方法的統領是章起始課重要的教學策略，可以促進學生學習力的提升.

三、強化鞏固應用，注重本質理解，提升思維能力

在得出同底數冪的運算法則后，對公式進行應用可以增強學生對法則的理解.

在應用同底數冪的法則時，本節課的處理方式是：先對公式進行辨析，進一步熟悉法則的條件與結論;接著應用公式進行計算，強化了學生對所學知識的理解，有針對性地加強了訓練，突出了公式應用時學生可能出現的問題，特別注重教會學生思考，包括嚴密性、創新能力的培養等，對所選題目的目標關注，體現了教、學、評的一致性. 非同底數冪的運算轉化為同底數冪進行運算是本節課的思維轉化難點，運算結果的化簡是培養學生嚴密思考的具體表現，公式的逆用是逆向思考能力的培養，也是創新能力的培養，對后續內容的學習也提供了方法和策略，具有統攝全章學習策略的作用. 所以說，章起始課教學是很重要的教學策略，能夠挖掘內容的思維培養點和數學思想方法.

本節課的內容不算復雜. 從掌握知識的角度看，學生不會存在多大的困難. 但如果從彰顯章起始課的教學意義和發展學生的數學素養角度看，我們的教學可否再關注一下：數學的整體性、新課的引入、代數研究的思想方法、代數的運算技能，以及發展學生發現問題和提出問題的能力等.

冪的運算內容屬于整式運算的內容，我們先來分析一下整式運算. 實際上，單項式和多項式統稱為整式，單項式是數與字母相乘所得的積，多項式是幾個單項式的和. 整式的運算就是對數、字母、符號運用運算律所進行的形式運算. 整式的加減就是利用分配律去括號后再合并同類項;整式的乘法中，兩個多項式相乘以及單項式與多項式相乘可轉化為單項式相乘，而單項式相乘則是用乘法的運算律和冪的運算性質來運算. 也就是說，單項式乘法是以冪的運算為基礎的. 冪的運算有哪些呢？歸納起來有：同底數冪的乘法、冪的乘方、積的乘方，有了這三類形式的運算法則，任何多項式的運算都可以進行了. 這樣，整式乘法的內容和邏輯線索就十分清晰了：同底數冪的乘法—冪的乘方—積的乘方—單項式乘單項式—單項式乘多項式—多項式乘多項式（乘法公式是多項式乘多項式的特殊情況）.

因此，這節課是基礎課，是整式乘法的起點課. 這節課既要完成同底數冪乘法相關知識的學習，還要讓學生通過本節課的學習，形成代數法則學習的“一般觀念”，以便學生后續學習時能充分利用“一般觀念”進行新知學習，形成經驗. 這就是說，章起始課教學要重點關注兩個問題：一是如何讓學生掌握所學的知識;二是如何讓學生明確本章的學習主線. 因此，教學時要構建好“先行組織者”，落實好知識發生、發展過程的教學，加強代數研究方法的指導，潛移默化地進行“數學地認識問題和解決問題的方法”的教學.

基于課堂觀察，對于本節課，有以下兩點建議.

一是作為章起始課，而且本節課的內容不算復雜，教師課堂的問題、學生學習的方式能否再放開一點？例如，課堂一開始，是否可以讓學生自己寫出關于字母a，b的兩個單項式、兩個多項式呢？這樣，整式乘法的基本類型是學生自己歸納出來的. 同樣，單項式乘法運算的基本類型也可以讓學生自己或以小組合作的方式構造出來，列出類型后，學生自然會想到：只要知道它們的運算法則，就可以用乘法的交換律、結合律及這些法則進行單項式的乘法運算了，所以我們有必要先研究同底數冪的乘法運算. 這樣的課堂引入立意更高，思想性也更強，數學的趣味性也更濃，使學生能切實感受到學習同底數冪的乘法的必要性，同時落實了“四能”的要求.

二是加強代數運算技能的訓練問題. 運算技能的訓練是代數教學的基本任務. 其實本節課中的計算主要包括以下幾種形態：底數從整十、非整十、分數、負數、字母到單項式、多項式的變化，也就是從同到不同（互為相反數、存在關系）的變化;指數從數字到字母的變化;式子個數從兩個式子到三個式子，甚至多個式子的變化;逆向運用等. 如果能讓學生自然看到這條脈絡，這對提高運算能力應該會有好處的.

本節課的運算技能培養主要涉及四個層面：一是公式的推導，最好由學生自己從底數的變化、指數的變化中自覺發現需要用一般的字母來表示，自覺地接受從特殊到一般的研究方式;二是從知識與方法層面來說，利用同底數冪的乘法法則進行運算和把不同底數的冪化成同底數的冪，這主要是運算得準確、合理、簡潔等;三是運算習慣的培養，如先看后算、先確定符號后算絕對值、運用運算律等，這與數感、符號意識、推理能力等相關;四是在解決實際問題中訓練運算技能，如本節課從實際問題開始，最好再回到解決實際問題中.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務教育數學課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]章建躍. 章建躍數學教育隨想錄[M]. 杭州：浙江教育出版社，2017.

[3]伍春蘭. 中學數學新授課系統設計的實踐與解析：以初中“冪的乘法運算”第一課時為例[J]. 數學通報，2019，58（2）：34-38，42.