數學史融入課堂：高品質教學的實踐路徑

摘要：高品質數學教學是教師踐行學科育人、培育學生核心素養的重要實踐路徑之一。數學史作為人類歷史智慧的結晶，亦是數學文化的有機組成部分，在思考其融入數學課堂教學的價值意蘊與基本現狀基礎上，通過精準選擇、豐富形式、古今貫通等融入策略，進一步探討數學史內涵解讀及內容選擇、運用方式與融入指向，把握數學認知歷史發展走向，為促進學生數學關鍵能力、必備品格及正確價值觀念的全面發展帶來新的增長點。

關鍵詞：數學史;高品質教學;小學數學教學

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2022）07B-0065-05

高品質數學課堂意味著教學能充分、有力彰顯學科的文化與育人價值，意味著學生對數學學習的積極態度、靈性思維、個性情感的和諧共生與自然張揚，意味著學生的數學核心素養與關鍵能力能夠于最近發展區內得以顯著提升與有效拓展。由此可見，高品質數學課堂教學具有“課程內容充滿文化意蘊，教師教學充滿文化意趣，學生學習充滿文化意境”等基本特征[1]。數學史不僅呈現出知識發生、發展的歷程卷軸，還有蘊含其中的思想、方法、影響等文化層面的不斷演進。正是由于數學史的數學特質、文化內涵與高品質數學課堂基本特征的高度吻合，越來越多的小學數學教師嘗試將數學史運用于課堂教學中。

一、數學史融入課堂教學的價值

數學史是數學學科在特定文化背景與生活環境下伴隨著人類進步而產生的歷史結晶，是前人在不同歷史階段對數學持續探索與研究的過程性累積。作為數學知識、思想與方法的重要載體與實現學科育人的基本抓手，需要以全新視角對數學史融入課堂教學的價值予以審視。

（一）彰顯人類文明，培植文化情懷

數學史是人類文明史、文化史、發展史的重要組成篇章，它給予人類的不僅僅是認知滿足與社會需求（不通），更多的還是其所蘊含的人類精神、文化特質及數學應用于生產實踐的產物等，彰顯著人類文明發展歷程中的眾多璀璨瑰寶。在小學數學課堂教學中融入數學史，利于學生深度感受數學在人類文明發展歷程中的角色地位，亦可借助人類數學歷史與顯著成果折射出的巨大魅力，逐步培植學生的文化自信力與民族認同感。

（二）厘清發展脈絡，培育數學素養

將數學史融入課堂教學，能夠還原復現數學知識、思想與方法的發生、發展全程，利于學生了解數學知識的源頭、緣起，有助于學生將新知置于更宏大的文化背景中予以考量，有助于學生提升數學認知眼界，擴大思維邊界，從而對相關知識、數學思想形成更加厚重、深刻的認識體驗，為后續學習埋下種子，為培育與提升學生的數學素養提供史學資源及路徑支撐。

（三）拓寬成長路徑，構筑研究基點

數學史融入教學將會產生強勁的倒推力，對于提升教師的學科素養、完善教學觀念及學科育人行為具有明顯的促進作用，促使教師不斷提升個人數學史素養，“是什么、為什么、從哪里來、怎樣運用”正逐步成為數學史領域中的研究基點。數學史與數學教育研究者通過教師培訓、現場教學、創辦專題期刊、課題研究、團隊輻射等常規途徑傳播研究成果，發布最新動態，提升數學史素養已顯然成為教師專業成長與發展的又一路徑。

（四）觸及數學本質，活化教師教學

教師對數學史料的選擇、解讀與關聯性構建是數學史融入課堂教學的基本前提，否則將難以解決在哪里融入以及如何融入的問題。在與數學史對話過程中，教師能夠更好地從中了解知識點的起源及發展脈絡，在明了知識本質、歷史邏輯的同時，還能聚焦至數學知識在特定發展節點中的困難或阻礙，這往往也是學生學習數學的難點所在。從這一維度上看，數學史除給予教學知識原型外，還可為教學難點突破、尋跡理解證據提供近距離參照。

二、數學史融入課堂教學的現狀

現行數學課程標準對數學史的要求與教材中的數學史內容存有脫節現象，使得數學史料在當下教材中處于可有可無的狀態。目前，小學生數學史的應用意識及工具意識培養還沒有真正起步，學生的數學史素養更是極度匱乏。除此之外，當前數學史融入小學課堂的教學實踐還存有諸多問題有待分析、值得思考。

（一）史料的選擇與解讀浮于表面

學習就是對已有知識和經驗的重組與改造，學習前學生的認知存有一段潛在距離，數學史的融入與價值發揮往往也浮于表面。事實上，很多教師僅僅局限于教材中的“你知道嗎”“數學閱讀”等顯性史料的只言片語，且多以讀一讀、說一說的方式予以淺層處理，教材中一些隱性滲透的數學史料根本沒有引起教師的廣泛關注與足夠重視。即便是少數教師能夠針對教學主題選擇相應的數學史料，可因選擇缺少針對性、切合性，解讀與構建缺乏關聯和邏輯，勢必會造成史料的堆砌、無序、晦澀，數學史的運用反而會增加學生的認知與理解難度。

（二）史料與目標達成難以相互融通

在小學數學課堂教學中融入數學史料并非易事，不是讓學生接觸更多的數學史料而增加學業負擔，而是將其與課堂教學活動有機融為一體，引導學生理解抽象的數學概念、攻克學習難點，深度體會數學思想與基本方法，在更大空間范圍內對數學知識予以認知與構建，在達成目標的同時引發學生對知識淵源的探尋及對民族文化的敬畏。數學史融入課堂教學的實踐活動中，由于很多教師沒有真正找到教學主題與數學史料的融合點，導致教學活動與數學史料不能融會貫通、相得益彰。如“圓的認識”的教學，教師一般都會引入“圓，一中同長也”（《墨子·經上》）這一名言，卻不能組織、利用概念同化等教學活動引導學生深度理解圓的基本特征，使得數學史料服務于教學的功能與教學目標達成處于各自獨立與割裂的狀態。

（三）史料融入教學活動的形式單一

從一般意義上思考，將數學史料融入小學課堂教學應該基于兩者間的銜接點及史料本身的價值，對教學組織與邏輯結構予以重新審視和建構。事實上，由于囿于傳統教學的邏輯，不少教師依然沿用傳統教學模式，將數學史料簡單地附加在教學內容之后。這種簡單的附加式融入沒有從根本上改變教學活動邏輯結構，自然就難以激活數學史融入課堂教學的教育價值，難免會產生“加與不加史料都無妨”的尷尬局面。除了數學史料的附加式融入，還有內容重構、教學順應、復制運用等多種融入形式。這些方法無一例外地都在提醒我們，必須遵循數學史融入課堂教學的核心要義，必須擺脫傳統教學設計邏輯的窠臼，以史料與教學活動互融互通的視角建構教學序列與認知邏輯。

三、數學史融入課堂教學的策略

在當下小學數學課堂教學融入數學史的實踐中分析現狀、聚焦問題，實際是在探尋數學史融入課堂的用力靶向，以期融入策略、基本路徑更具適切性。數學史融入課程是有規律的，可以在主題模塊中融入，也可針對某一節課融入與運用，本文談及的數學史融入實踐策略是針對后者而言的。

（一）精準選擇，深入解讀內涵

基于數學課程標準的基本要求與學生當下的認知水平及現狀，綜合分析數學史與數學教育最新動態及相關研究成果，可以從中發現、篩選、梳理數學史料的一般思路：“基于教學改進需要并針對核心知識點檢索數學史研究資料，從歷史中挖掘教育價值，尋求結合點，進而形成教學設計，付諸課堂實踐。”[2]以此為路徑去挖掘、尋取數學史料，可以有效增強數學史料與主題內容的關聯度，真正讓史料成為課堂教學內容的有機組成，而不是可有可無的認知雞肋。

教師對數學史的解讀實質上是在解決“數學史是什么”的問題。一般既要立足于數學史料的演進過程，縱向思考人類數學知識原型經由怎樣的樣態、人物、事件、障礙或創新變成現在這樣，又要從橫向對比切入，思考數學在不同歷史階段的本質與基本演進規律，更要關注知識間的重要差異及造成差異的歷史背景、文化背景，因為此為數學發展之“源”。

（二）豐富形式，明確融入指向

華東師范大學汪曉勤教授基于實踐層面提出“附加式、復制式、順應式、重構式”四種將數學史融入課堂教學的基本方式[3]，為一線小學數學教師相對科學合理地將數學史料運用至課堂教學指明了實踐方向。

1.附加式融入：超越史實與故事，指向意義與興趣

史料的附加式融入是當下小學數學教學中極為常見的運用方式，多為介紹數學史實、展示相關人物圖片、講述數學故事等。運用附加式融入并不是對數學史料的搬運，而是立足于教學需要予以適度加工，引導學生將思考聚焦至核心數學問題上。同時，還要透過數學史料探尋、挖掘其中的數學意義，用來還原數學知識成為現在樣態的發展歷程。如學生第一次認識乘法時，教師可以依據教材中的“你知道嗎”介紹乘號的歷史：“300多年前，英國數學家首先提出用‘×’表示相乘。后來，又有數學家提出用‘·’表示相乘。”也可以這樣介紹：“300多年前，英國數學家首先提出用‘×’表示相乘，由于乘法是用來表示求幾個相同加數和的簡便形式，把表示相加的‘+’進行適當傾斜后變成‘×’來表示相乘。后來，又有數學家提出用‘·’表示相乘。”兩種介紹方法看似沒有差異，實則體現了兩種不同的教學理念，后者更能凸顯乘法的來源與實質，更利于學生對數學知識的認知和理解。

裹挾著情感投入產生內驅力的學習才是可持續發展的學習，數學史在這方面有著諸多優勢，教師可以結合教學內容特點與學生需求，擇機講述與數學家相關的故事或數學知識發展過程中的逸聞趣事[4]，以此為學生的數學探索增添色彩、動力與興趣。

2.復制式融入：復制經典與方法，指向勾連與本質

復制式融入就是把數學史上的典型問題或思想方法，作為教學內容的有機組成部分直接予以運用。如教學“兩位數乘兩位數的筆算乘法”一課，引導學生利用“格子乘法”計算兩位數乘兩位數就是典型的復制式運用，但個中要義與操作也絕非如此簡單。教師首先按照豎式模式組織教學，然后經由學習“格子乘法”閱讀材料、集體討論“格子乘法”的基本算法與算理、舉例模仿驗證等認知過程組織學生全方位認識“格子乘法”。隨后將探究重點聚焦至“豎式乘法”與“格子乘法”兩者在算理與算法上的異同比較，讓學生真正明白“格子算法”實際上就是豎式算法的另一種表征形式（如圖1）。

例如計算：46×39=1794

上述數學史復制運用過程是在更為寬泛的層面上進行知識間的勾連，經歷算法模型建構的基本過程，從而全面理解和把握筆算乘法算理的本質屬性。這樣的課堂教學無疑是高品質的，自然距離數學本源和數學學科核心素養也會更近一些。

3.順應式融入：基于編制與改造，指向認知與思考

以數學史料為知識原型編制數學問題，或對數學在發展歷程中呈現出來的思想方法予以改編是數學史順應式運用的基本手段，主要用來順應當前教學的需要。如“公倍數與最小公倍數”的教學，在認知公倍數概念后，教師出示《孫子算經》中的“物不知數”問題：“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？”教師先是幫助學生理解題意，然后引領學生交流個人想法，最終發現此題跟公倍數密切相關。在接下來的教學中，教師放手學生解決將“物不知數”史料予以改編后的問題：“棋罐中有若干枚圍棋子，三個三個地數剩2個，四個四個地數差2個，六個六個地數也剩2個，請問：共有多少枚棋子？”學生利用列舉這一“笨”方法展開探究思考，發現答案不唯一而產生了困惑，教師順勢引出最小公倍數的概念。在上述教學過程中，教師復制式運用“物不知數”問題，關聯“公倍數”概念認知后將之予以改編，在學習過程思考與認知頓悟基礎上提出另一概念，順應了課堂教學的基本需要。

順應式運用還需要教師對眾多數學史料的合理化改造，特別考驗教師的甄別水平、創造能力與教學智慧。在年、月、日教學中，可以運用的數學史料特別多，如羅馬時代的朱理亞歷及奧古斯都歷，農歷閏月的由來，公歷、農歷、陽歷、陰歷等歷法概念等，雖然這些內容能夠促進學生對年、月、日的學習認知，但基本沒有觸及知識的認知本源與內在規律，難以揭示人類對年、月、日認識的周期性刻畫，往往會使得學生陷入只知其然卻不明其理的僵局，這需要對相關數學史料予以邏輯改造或結構重組，以滿足、順應當前教學需要。教學時，可以借助太陽的東升西落感受白天、黑夜往復交替，由此形成對“日”這一時間概念的認識，同時根據四季變換輪回周期性規律揭示對“年”的認識，讓學生從中體會、感悟到年與日的自然性形成過程、規律及蘊含其中的思想方法。另外，依據月亮圓缺更替的周期性規律揭示陰歷“月”這一概念，同時借助朱理亞歷及奧古斯都歷的史料微課，向學生揭示公歷“月”的時間乃人為規定，正是由于規定每月天數的不同，才有了大月、小月與平月、閏月之說。從概念構建與數學文化滲透的維度看，上述基于數學史料改造與重組的順應式運用教學，轉變了學生對“年、月、日”知識的認知方式，變陳述性、事實性知識為數學化、建構性理解，在比較、推理等數學思維活動中厘清了其數學本源，數學思考與學生認知由此自然、真實發生，此為數學史的能力之助。

4.重構式融入：重構發生與發展，指向過程與創造

重構式運用重在結合教學主題基本特征與學生的認知發展規律，將數學史料的運用有機嵌入探究學習中，重構知識的發生、發展過程，引導學生經歷“再創造”的數學化，體悟古代數學家分析與解決問題的心路歷程。如“三角形的面積”的教學，教師以數學史料的梳理與內涵挖掘為基礎，重構了相關知識的發生、發展歷程，設計思路完全指向了教學目標特別是學生創造能力的達成。教學以古埃及尼羅河水泛濫后需重新丈量與分配土地的幾何學起源引入，以古希臘“等底等高的平行四邊形與三角形面積間的關系”為原型編制數學問題：要想知道這樣兩塊土地（如圖2）的面積，需要測量什么？然后，引導學生借助 “由特殊到一般”基本策略，利用割補法、倍拼法探究直角三角形面積，由此及彼，用同樣方法探究出銳角、鈍角三角形面積計算公式。

在隨后的教學中，教師先是勾連引入環節中古埃及土地面積的測量問題，引發學生對兩者面積關系的思考，進而融入古希臘數學家歐幾里得相似研究成果與我國偉大數學家劉徽在《九章算術注》中記載的三角形面積計算方法-“以盈補虛法”（也稱“出入相補法”）。在厘清此法原理的基礎上，教師引導學生回頭再度探索三角形面積割補法的其他情形。教學到此，學生已經通過創造、再創造的方式推動了三角形面積計算方法的發生與發展過程，學生從中真正感悟到了思想方法的數學價值。

可教學沒有結束，教師另以附加式融入的方式介紹了“海倫-秦九韶公式”，引領學生在原有認知的基礎上，明確由三條邊長度計算三角形面積的方法，三角形面積計算方法在此進一步得到擴充與發展，讓學生感受到了知識之諧、探究之樂與方法之美。

（三）古今貫通，朝向求真至簡

教師引領學生歷經數學歷史的探究之旅，帶給學生的不僅是清晰有序的認知脈絡與數學知識結構，還有學生數學核心素養的提升及課堂寬度的延展。素養導向的課程目標與結構化的課程內容更需要教師在教學實踐過程中，帶領他們從中體會和思考知識發展與演變的歷史走向，即數學表達一直所追求的簡潔美與必然性。

如“豎式乘法”的教學，就可以“豎式乘法”的發展脈絡為主線組織教學，結合學生的認知序列與數學史料的邏輯序列，探究古埃及倍乘法、中國算籌計算、印度的格柵算法（傳至中國后被稱為“鋪地錦”）、12世紀意大利斐波那契的對角線法及帕喬利著作《算術、幾何、比及比例概要》提出的具有豎式形式的“分解乘數法”，通過乘法理解與算理縱橫向比較，引導學生“創造”更為通用、更為簡潔的豎式形式，同時引發學生思考現在的豎式乘法步驟可否進一步壓縮、簡化，以及如何壓縮與簡化，讓學生感悟到數學探究始終在探尋對問題解決一般化、最優化策略，這就是數學向前發展的動力之流。

基于數學史融入的高品質課堂教學實踐，關鍵是結合學生的認知發展規律及教學目標達成需要，在系統梳理的基礎上深度挖掘數學史文化內涵及教學應用價值，采取數學史的“四種”基本運用方式將其背后的數學思想、數學方法、數學精神等文化意蘊融入課堂實踐，引領學生從中體會歷史與現實的碰撞、數學與人文的互融，從而引發數學的深度學習，促進學生個人的整體發展。

參考文獻：

[1]李鐵安.文化何以育人——高品質數學文化課的塑造[J].教學月刊·小學版（數學），2021（3）：4.

[2]曹培英.民族文化促進數學理解例談——兼議HPM的實踐探索[J].小學數學教師，2021（2）：11.

[3]汪曉勤.HPM視角下的小學數學教學[J].小學數學教師，2017（7/8）：80-81.

[4]顧宇恒，蔡宏圣.基于數學史實施深度學習[J].教學月刊·小學版（數學），2021（6）：19.

責任編輯：賈凌燕