基于撓度分析變截面箱型梁的剪力滯效應(yīng)

韓 嬌 尹錫錫 王 展 韋春宜 周月娥

（廣西民族大學(xué)建筑工程學(xué)院，廣西 南寧 530006）

0 引言

箱型梁因其良好的力學(xué)性能而被運(yùn)用于各類工程中，箱型梁由頂板、底板、腹板和翼緣板組成。等截面箱梁得到了比較多的研究和應(yīng)用，變截面箱梁因具有較好的靈活性，即在彎矩不同處可選擇不同截面大小，也得到了廣泛運(yùn)用。文獻(xiàn)[1]針對(duì)等截面連續(xù)箱梁，提出了一種當(dāng)量截面法，將理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了分析比較。文獻(xiàn)[2]針對(duì)大撓度問(wèn)題，建立勢(shì)能泛函，用有限元的方法求解變截面箱梁的剪力滯效應(yīng)。文獻(xiàn)[3]在考慮剪力滯的同時(shí)考慮剪切變形效應(yīng)，采用兩種不同的方法建立了變截面箱梁的撓度和剪力滯系數(shù)的求解公式。文獻(xiàn)[4]針對(duì)連續(xù)箱梁，利用有限梁段法建立了剪力滯系數(shù)求解公式。文獻(xiàn)[5]利用正弦函數(shù)建立箱梁的縱向位移函數(shù)，用有限差分法建立了求解剪力滯系數(shù)和應(yīng)力的公式。文獻(xiàn)[6]利用變分法和有限梁段法分析了變截面箱梁的剪力滯效應(yīng)。

本文基于箱型梁剪力滯效應(yīng)分析的能量變分法[7]，結(jié)合變截面箱型梁剪力滯效應(yīng)分析的當(dāng)量截面法建立了基于附加撓度的變截面箱梁解析分析方法。并在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了懸臂和簡(jiǎn)支箱型梁受均布荷載作用下?lián)隙取⒓袅禂?shù)和應(yīng)力的計(jì)算公式。

1 等截面箱型梁的控制微分方程

基于附加撓度的箱型梁控制微分方程[7]：

式中：參數(shù)I、n 和k 的定義及取值表達(dá)式可參閱文獻(xiàn)[7]。

2 剪力滯效應(yīng)的影響因素及當(dāng)量值

由式（2）可知，在q 一定的情況下，附加撓度wa（x）隨參數(shù)I、n 和k 變化。參數(shù)n 值是Is/I 的函數(shù)，參數(shù)k 值是Is/I 和Is/I 的函數(shù)，有關(guān)Is和Is的定義及取值表達(dá)式可參閱文獻(xiàn)[7]。

當(dāng)箱型梁截面是變化的，其翼板的剛度和箱梁的總剛度也是變化的，即Is和Is是x 的函數(shù)：

根據(jù)上面I、Is/I 和Is/與x 的關(guān)系，參照等截面箱型梁的方法推導(dǎo)附加撓度的控制微分方程是很困難的。為了能利用分析等截面箱梁的方法，從近似計(jì)算角度出發(fā)，將箱梁沿跨長(zhǎng)分段，在各個(gè)分段上計(jì)算I、Is和Is/。按式（6）求出三個(gè)當(dāng)量值m1、m2和m3作為當(dāng)量等截面梁的I、Is/I、和Is/代替原來(lái)的變截面梁，達(dá)到簡(jiǎn)化求解變截面梁的目的。當(dāng)量值m1、m2和m3用下式計(jì)算：

3 變截面箱型梁的控制微分方程

針對(duì)均布荷載作用下的箱型梁，將當(dāng)量值m1、m2和m3代入式（1）和（2）得變截面箱型梁的控制微分方程為：

式中，

邊界條件與文獻(xiàn)[7]講到的邊界條件是一樣的，只是涉及參數(shù)k 和n 時(shí)，取式（9）的表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算。

4 變截面箱型梁附加撓度解析解

式（7）定義的四階常微分方程是w″a的二階常微分方程，其通解為：

對(duì)上式求一次、二次積分和一階導(dǎo)數(shù)，可得：

上式中的待定系數(shù)可利用邊界條件求出。

5 懸臂箱型梁的剪力滯系數(shù)

5.1 懸臂箱型梁受均布荷載作用下的撓度

當(dāng)箱型梁為左端固定右端自由時(shí)，其邊界條件是：

結(jié)合式（10）～（13），聯(lián)立求解方程組可得式（12）中的待定系數(shù)：

繼而可得懸臂箱型梁的附加撓度：

求出箱梁截面的彎矩M（x）=-q（l-x）2/2，再根據(jù)關(guān)系式EIw?c=-M（x）通過(guò)積分可得：

箱型梁wc（x）的邊界條件滿足：

結(jié)合式（18）進(jìn)行兩次積分確定：B1=B2=0，得wc（x）的表達(dá)式：

5.2 懸臂箱型梁的剪力滯系數(shù)

懸臂箱型梁的剪力滯系數(shù)表達(dá)式：

左端點(diǎn)處的剪力滯系數(shù)：

6 簡(jiǎn)支箱型梁的剪力滯系數(shù)

6.1 簡(jiǎn)支箱型梁受均布荷載作用下的撓度

當(dāng)箱型梁左右端均為簡(jiǎn)支時(shí)，其邊界條件是：

結(jié)合式（10）～（12），聯(lián)立求解方程組可得式（12）中的待定系數(shù)：

繼而可得簡(jiǎn)支箱型梁的附加撓度：

根據(jù)初等梁理論可求得箱梁截面的彎矩M（x）=qx（l-x）/2，進(jìn)而根據(jù)撓度wc（x）與截面彎矩M（x）的關(guān)系式通過(guò)積分可得：

箱型梁wc（x）的邊界條件滿足：

結(jié)合式（26）進(jìn)行兩次積分確定：B2=0，B1=ql3/24，得wc（x）的表達(dá)式：

6.2 簡(jiǎn)支箱型梁的剪力滯系數(shù)

簡(jiǎn)支箱型梁的剪力滯系數(shù)表達(dá)式：

左右端點(diǎn)處的剪力滯系數(shù)：

7 箱型梁受均布荷載作用下應(yīng)力

當(dāng)箱型梁的邊界條件為左端固定、兩端簡(jiǎn)支或是兩端固定，將前面得到的不同邊界條件下的w″a和w″c代入下式，就可以計(jì)算翼緣橫截面上的正應(yīng)力：

8 結(jié)語(yǔ)

本文結(jié)合基于附加撓度的能量變分法和變截面箱型梁分析的當(dāng)量截面法建立了適合變截面箱型梁剪力滯效應(yīng)分析的解析方法。結(jié)合懸臂和簡(jiǎn)支箱型梁在均布荷載作用下的邊界條件推導(dǎo)了箱型梁撓度、剪力滯系數(shù)和應(yīng)力的解析計(jì)算公式，為變截面箱型梁剪力滯效應(yīng)分析提供了一種新的解題思路。