數學建模思想融入數值分析課程教學探析*

劉美春 王芬

（廣東金融學院 金融數學與統計學院）

一、引言

數學建模是基于實際問題，抽象簡化構建數學模型，求解數學模型得到數學結果，基于結果，解釋實際問題，并分析其合理性。數學建模解決實際問題的過程實際就是運用相關理論進行實踐的過程[1]。

隨著全國數學建模競賽的發展壯大，數學建模的影響力進一步提升。在2020年，數學建模的實踐和活動被列入全國高級中學的教學計劃[2]。數學建模思想的重要性進一步為廣大教育者認可。李大潛建議“將數學建模的精神融入數學類主干課程”[3]。近年來，相關研究也很多[4-6]。

數值分析是數學專業的專業必修課程，以及部分理工科類專業本科或者研究生的數學基礎課程。它研究如何利用計算機求解各類數學問題的近似值問題，教學內容包括插值法、曲線擬合、數值積分、線性方程組求解等，既有數值計算方法的理論學習，如算法穩定性、收斂性、誤差分析等等，也研究數值計算方法的計算機實踐[7]。因此，數值分析課程既包含數學理論，具有純數學的抽象性與科學性，而其課程背景和性質，又使得具有強應用性和實踐性[8]。

將數學建模思想融入數值分析課程是可行而且有利的。本文將討論將數學建模思想融入數值分析課堂的相關問題。

二、數學建模思想與數值分析學科的融合點

數值分析學科兼具純數學理論抽象性和應用的實踐性。把數學建模思想應用于數值分析課堂，為數值分析課程理論性和實踐性搭建溝通橋梁，是可行的。

首先，數值分析研究是數學建模過程的重要環節。數學建模解決實際的生活、生產過程問題，其過程包括了從實際問題中進行抽象簡化以構建數學模型、基于模型尋找或者設計合理的數值計算方法/方案以求解數學建模、基于數值方法上機計算以求出結果、基于結果解釋實際問題以得到實際問題的解決方案等多個環節，如圖1所示。其中，利用數值計算方法進行模型求解是數值分析課程研究的內容。

圖1 用數學和計算機解決實際問題的過程

其次，“近似”思想是數學建模和數值分析學科共有的思想方法。數學建模在利用數學及相關理論解決實際問題的過程處處有誤差。構建模型是基于對實際問題的抽象簡化，會產生模型誤差；測量或者觀測確定數學模型的參數時，會產生觀測誤差；利用數值算法求解模型會由于方法本身產生截斷誤差，上機計算會由于計算機字長限制等產生舍入誤差。所以，“近似”是貫穿數學建模整個過程的思想方法。而數值分析討論的是各式數學問題的近似值，“近似”是數值分析學科核心的思想和方法，誤差分析是數值分析的各種算法的理論分析中不可或缺的環節。數學建模思想的融入將加深學生對數值算法“近似思想”的理解和體驗。

最后，部分數值分析的理論是基于數學建模解決實際問題的需求而產生。

恩格斯說：“數學是從人們的實際需要中產生的。”荷蘭數學教育家弗賴登塔爾說：“數學來源于現實，扎根于現實”。同其他數學課程一樣，數值分析的大多算法來源于實際問題的需要，基本都被應用于解決實際的問題，其各種算法的形成、算法應用過程便是完整的數學建模的過程。例如，在實際應用中需要利用解析函數進行數據描繪的需求。而已知條件是函數表格，各種情況（自變量）下，監控目標出現的相應特征（因變量）已知，但自變量與因變量之間的關系未知；又或者自變量與因變量的映射關系已知，但不便于計算，需要找潛在函數的近似函數。于是，便出現了插值法和曲線擬合法，二者基于不同的近似假設構建近似函數，滿足不同的實際需求。再比如，許多實際問題可以歸結為定積分的求解。按牛頓-萊布尼茲公式，定積分的值等于被積函數的原函數在積分上下限的函數值的差。而在實際問題中，有時會遇上困難。比如有些被積函數原函數雖然存在卻無法用初等函數表示，或者原函數表達式非常復雜，或者被積函數是用圖表表示，就無法使用牛頓-萊布尼茲公式直接求解，需要求定積分的近似值。因此產生了數值積分。這些數值理論的產生背景為構建實際問題案例提供了參考。

因此，把數學建模思想融入數值分析課堂教學是可行的。

三、數學建模思想融入數值分析課程教學的意義和方法

數值分析研究各種不同的數學問題近似解求解問題，這些數學問題大多來源于先修的課程，如高等數學、線性代數、常微分方程、數學建模、計算機編程等，因此，數值分析教學內容涉及面廣；數值分析每一章針對不同的數學問題，各章節內容之間相對獨立，章節連貫性較差；數值分析既有繁瑣的公式，有復雜的理論分析，如收斂性、穩定性分析、誤差分析等等，也要求算法實踐。數值分析問題來源于各類生活生產、工程、經濟中的實際問題，要授予學生各類算法的數學知識、原理，鍛煉學生邏輯思維能力，更要培養學生學以致用，學會分析問題、解決實際問題的能力。教學實踐證明，數值分析的教與學都極具難度[8]。

與多數課程一樣，數值分析傳統課堂的教學方式為“老師在講臺上講授，學生在下面座位上聽講”的“灌輸式”。課堂上更偏重理論知識的講授，注重算法的思想、定理的推理證明、公式的推導等，并通過例題、練習來鞏固相關理論，課程實驗的上機實踐主要是算法的實現。傳統教學模式強調理論知識結構的完整、邏輯思維的嚴密性，能幫助學生有效完成知識積累。然而，傳統教學模式內容比較枯燥，特別是數學理論比較抽象、晦澀難懂，教授方式也比較單一，都會影響學生學習的積極性；另一方面，傳統教學方式對知識的應用性重視不夠，對學生學以致用、分析問題、基于理論解決實際問題能力的培養和訓練不夠。事實上，這些能力是學生在當今這個信息爆炸時代生存和發展的重要保證，具備這些能力，他們才能更好地利用海量的碎片化的信息。而這也正是高等教育目標。

將數學建模思想融入數值分析課程的教學，利用數學建模“溝通數學與應用的橋梁”的功能，有利于改善傳統教學的“重知識輕實踐”的不足。

（一）重視教學案例的應用，在教學中融入數學建模思想

理論與實踐并重是數值分析課程的特點，“用數學”也是數學教學的主要目的之一。數學建模是應用數學及相關理論解決實際問題的過程。因此，案例教學是數學建模思想融入數值分析課堂教學的重要手段。

比如，利用案例進行概念教學，可以使抽象的概念形象化。第一章中的概念 “舍入誤差”是浮點數在計算機上表示或者計算時，由于字長的限制進行舍入引起的誤差。可使用“因特爾奔騰處理器缺陷”案例加深學生對舍入誤差的認識。數學家托馬斯?萊斯利教授擬計算素數的倒數之和，其使用的模型合理（舊計算機計算結果正確），但在裝有新奔騰芯片的計算機上運算結果卻跟理論計算結果不符。這件事發酵到最后，結果是確認因特爾公司新芯片有缺陷，導致“舍入誤差”設計方面不合理，公司不得不預留出4.2億美元的補償金。該案例不僅讓學生對舍入誤差有深刻認識，一個小誤差最終導致天價的賠償，也讓學生對誤差分析的重要性有了更深的體會。

再如，案例教學還可以把數值分析課程不同章節的內容連接起來，甚至把數值分析與其他先修課程的內容聯系起來，達到了融會貫通、學以致用、“用數學”的目的。函數逼近（插值法/曲線擬合）和數值積分分屬不同的獨立章節。用 案例“某地居民用水量”把課程“插值法”“曲線擬合”的內容與“數值積分”內容連接起來。如表1所示。

表1 某地居民用水量案例[9]

案例教學中，通過有實際生產或生活背景的應用示例，有利于激發學生們學習興趣和熱情，更好地掌握相關算法思想、算法應用等，也進一步提高其應用數學的能力。

按照數值分析學科特點，可以多渠道挖掘、選擇合理的案例。

（1）依照概念、定理、算法的數學背景，或者應用場景選擇案例。例如前面提到的“舍入誤差”，源于計算機對數據字長的限制，因此可以從相關領域選擇案例。另外，數值分析的許多算法源于各類生活生產、工程、經濟中的實際問題。比如，樣條插值的產生是由于某些實際生產問題要求插值函數不僅連續，而且要有較好的光滑性，比如飛機的機翼外形、內燃機的進、排氣門的凸輪曲線等，不僅要求近似曲線是連續的，對曲線的光滑度也有要求，曲率要連續（一階、二階導連續），后者普通的插值算法無法保證，因此出現三次樣條插值技術。因此，可以在“三次樣條插值”的教學中選擇“繪制直升飛機旋轉機翼外形輪廓線”的案例。再比如前面提到的“居民用水”案例則源于算法應用。

（2）利用數值分析與先修課程的關系，拓展案例來源。數值分析研究的是各類數學問題的近似解求解方法，而其中一些問題來源于其他先修課程。比如數值積分、線性方程組求解，分別來源于高等數學/數學分析、高等代數/線性代數等課程。可以尋根溯源，根據數學問題的來源來選擇合適的示例。例如前面所提到的“居民用水量”案例，追溯其根源，歸屬為定積分的應用問題（數學分析課程）。另外，線性方程組問題歸屬于高等代數，微分方程問題歸屬于常微分方程等等。

（3）從數學建模競賽題目中選擇合適的題目作為案例。模型求解是數學建模的重要環節，在模型求解中往往需要用到數值分析方法。在數學建模題目中，常有涉及數據處理與統計分析方面的題目，可以選擇作為案例。

（二）利用線上平臺輔助教學，線上線下融合，多渠道融入數學建模思想

各類數學問題的數值方法及其上機實現，算法思想、算法分析及算法實現是數值分析課程的主要研究對象，課程教學的重點。“基于教學案例融入數學建模思想”是輔助的教學手段，使學生了解算法的來龍去脈，了解算法的應用，鞏固對算法的理解。課堂教學應該主次分明，不可喧賓奪主。

而事實上，從案例的引入到數值算法的使用到實際的應用，中間涉及復雜的計算分析。比如案例為實際生產問題的建模求解時，其完整過程包括抽象簡化、建模、求解、分析檢驗等，數值分析方法的選擇與使用只是模型求解中的一個環節。課堂上，為了更有效利用時間，主次分明，除了數值計算的使用，其他相關步驟都被不同程度地簡化。學生的基礎不同，接受程度也不同，為了給學生呈現完整建模求解過程，可以采用線下為主，線上為輔的線上線下融合的教學方式。借助線上教學平臺，以教學輔助資料、教學小視頻等方式完善實際問題的數學建模，或者提供建模思路，供學生學習參考，這也是數學建模思想的融入方式。

除了課堂，線上輔助教學平臺，還可以利用課后作業、課程實驗等渠道融入數學建模思想。例如，課后作業除了傳統的計算題，可以增加具有實用背景的應用性題目；課程實驗，除了算法的實現內容，還可以增加類似于數學建模內容的實際生產生活問題，允許雙人合作或者多人的團隊合作，并以課程論文替代常規的實驗報告等等。

四、結語

數值分析是大學數學類專業的專業必修課程，有純數學課程的嚴謹抽象，也具有很高的實踐性要求。數學建模具有“溝通數學與應用的橋梁的功能”，把數學建模思想融入數值分析課程的教學，符合數值分析課程的特點。數學建模思想的融入，有利于抽象理論與其實踐應用的有機融合，激發學生對算法應用、算法實現的興趣，鞏固學生對算法的理解與掌握，同時培養學生理論運用于實踐的能力，值得繼續探索。