基于小位移旋量公差建模和蒙特卡洛模擬的裝配體公差優(yōu)化設(shè)計方法

李曉曉，吳昊榮，孫付春，趙永鑫

(1.成都大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，四川成都 610106；2.成都大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)院，四川成都 610106)

0 前言

工程圖紙上大量的幾何信息，一直缺乏標(biāo)準(zhǔn)化和規(guī)范化的分析手段[1]，傳統(tǒng)的尺寸鏈計算方法已不能適應(yīng)現(xiàn)代產(chǎn)品設(shè)計的要求。國內(nèi)外學(xué)者對于裝配公差分析進(jìn)行了諸多研究，提出了多種分析模型。KENNETH等[2]提出了一種考慮幾何偏差和裝配偏差的非線性隱式裝配關(guān)系的直接線性方法模型，通過二/三維公差分析方法，給出了三維公差分析方法的優(yōu)勢。MUJEZINOVIC等[3]提出了T-Map模型，可將特征公差帶用多維參數(shù)空間來表示，但只能處理簡單的公差鏈。GHIE等[4]將小位移旋量(Small Displacement Torsors, SDT)模型與雅克比模型結(jié)合起來，提出了用區(qū)間算法確定誤差分析的雅克比旋量模型。ZUO等[5]提出一種多操作單步安裝和多操作多步安裝在工件固定裝配中的基于約束的公差分析方法，對不同的誤差源進(jìn)行SDT建模，然后得到誤差累計模型，進(jìn)而確定最終的誤差累計模型對加工特征在位置和方向上的影響。LI等[6]提出了基于SDT和偏差傳播理論的機(jī)械裝配公差分析方法，給出了集公差偏差建模、特征偏差建模和質(zhì)量描述分析為一體的公差分析方案。ZHOU等[7]考慮以制造、運動、力方向和振動引起的偏差來模擬產(chǎn)品的運動學(xué)性能，基于偏差傳播和小位移旋量的動態(tài)精度分析技術(shù)，同時提出兩種新算法，用于解決力的方向和振動對偏差的影響以及描述運動位移產(chǎn)生的偏差。SUN等[8]為實現(xiàn)高精度和低成本的裝配，建立基于三維統(tǒng)計公差的裝配精度成本模型。

已有的公差分析方法缺乏對裝配綜合誤差形成機(jī)制方面的研究。考慮到加工誤差和裝配誤差均會影響裝配體的裝配精度，以裝配結(jié)合面為研究對象，利用SDT理論和蒙特卡洛模擬法建立公差模型，再利用齊次變換理論建立結(jié)合面誤差模型和裝配精度模型，進(jìn)而推導(dǎo)出機(jī)床靜態(tài)幾何精度與結(jié)合面公差相關(guān)的映射模型，最后結(jié)合公差制造成本、裝配精度可靠度和公差原則，提出裝配體靜態(tài)幾何精度優(yōu)化的公差模型。具體工作流程如圖1所示。

圖1 基于SDT公差建模和蒙特卡洛模擬的裝配體公差優(yōu)化設(shè)計方法工作流程

1 裝配體幾何精度優(yōu)化設(shè)計方法

裝配體幾何精度設(shè)計過程中包含三個重要因素：裝配精度鏈、重要結(jié)合面和結(jié)合面公差[9]，可根據(jù)公差、結(jié)合面和裝配鏈之間的傳遞關(guān)系，構(gòu)建裝配體裝配精度與結(jié)合面公差相關(guān)的映射模型，以量化分析結(jié)合面公差對裝配精度的影響程度。下面對SDT公差模型、結(jié)合面誤差模型和裝配精度模型的形成機(jī)制和建模過程進(jìn)行說明。

1.1 基于SDT理論和蒙特卡洛模擬的公差建模

產(chǎn)品幾何技術(shù)規(guī)范中將物體表面抽象為點、線、面等基本要素，其相對于名義位置的變動量均可用小位移旋量表示，即使用D=(α,β,γ,u,v,w)表示幾何特征公差實際表面相對于名義位置的偏差[10]。此節(jié)以工程中常用的第I類平面定位尺寸公差為例，給出基于SDT理論和蒙特卡洛模擬的公差建模過程，主要內(nèi)容包括公差域描述、SDT參數(shù)表達(dá)、約束方程推導(dǎo)和蒙特卡洛模擬求解。

(1)SDT參數(shù)表達(dá)以及約束不等式推導(dǎo)。第I類平面定位尺寸公差帶如圖2所示，圖中局部坐標(biāo)系原點位于平面中心，其z軸平行于平面法向；D為基本尺寸；TU、TL分別表示公差帶的上、下偏差；變動平面z(x,y)對應(yīng)的SDT形式[11]為(α,β,0,0,0,w)。根據(jù)公差域邊界條件，變動平面的約束方程和位置變動方程如下：

(1)

式中：Δz(x,y)為任意兩點在變動平面z(x,y)上的z值之差。

如圖2所示，z的極值必位于矩陣平面的4個頂點上，故只需考慮變動平面的4個頂點A、B、C、D的z值是否在公差域內(nèi)即可。由式(1)可得第I類平面定位尺寸公差的SDT旋量參數(shù)的變動不等式和約束不等式：

圖2 第I類平面定位尺寸公差帶

(2)

(2)利用蒙特卡洛模擬求解尺寸公差的SDT旋量參數(shù)

根據(jù)尺寸公差的SDT旋量參數(shù)變動不等式和約束不等式，可利用蒙特卡洛模擬得到足夠數(shù)量且滿足條件的隨機(jī)樣本。求解步驟如下：(1)考慮到尺寸誤差的加工條件和產(chǎn)生機(jī)制，設(shè)定尺寸公差SDT參數(shù)符合正態(tài)分布規(guī)律，正態(tài)分布曲線的有效分布范圍為6σ，分布中心與變動區(qū)間的中心重合，那么尺寸公差SDT參數(shù)α、β、w的理想分布均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為(0，T/(6b))、(0，T/(6a))、((TU-TL)/2，T/6)；(2)對旋量參數(shù)抽樣進(jìn)行模擬試驗，抽樣過程如圖3所示(圖中K表示最大抽樣次數(shù)，k表示當(dāng)前抽樣次數(shù)，當(dāng)k達(dá)到最大抽樣次數(shù)時，程序結(jié)束)；(3)利用χ2擬合檢驗法檢驗旋量參數(shù)的實際分布類型，詳細(xì)計算過程可參考文獻(xiàn)[12]。

圖3 尺寸公差SDT參數(shù)α、β、w的抽樣試驗過程

1.2 裝配平面的結(jié)合面誤差建模

在產(chǎn)品裝配時，若能掌握每個零件在組裝過程中偏差傳遞的累積規(guī)律，就可以定量地分析零件精度對裝配精度的影響[13]，因此需建立裝配過程中偏差傳遞的數(shù)學(xué)模型。以平面結(jié)合面為例說明裝配過程中結(jié)合面誤差的形成機(jī)制，參考圖4，裝配誤差為理想裝配平面PB相對于理想基準(zhǔn)裝配平面PA之間的位姿變化，誤差傳遞關(guān)系為PA→PA′→PB′→PB。

圖4 裝配結(jié)合面的位姿變化

設(shè)MAA′為平面PA到平面PA′的位姿誤差變換矩陣，MA′B′為平面PA′到平面PB′的位姿誤差變換矩陣，MB′B為平面PB到平面PB′的位姿誤差變換矩陣。假設(shè)平面度是裝配平面的主要公差項，則MAA′、MB′B可寫作：

(3)

在理想狀態(tài)下，實際裝配基準(zhǔn)面PA′完全貼合實際裝配平面PB′，則可視為MA′B′=I。從剛體運動齊次變換原理可知，理想裝配平面PB相對于理想基準(zhǔn)裝配平面PA的位姿誤差變換矩陣，即為裝配平面的結(jié)合面誤差模型，可表示為

(4)

1.3 裝配精度模型

裝配體的誤差傳遞過程與剛體運動的齊次變換類似，因此可通過類似于運動副的齊次變換原理，計算出機(jī)床整體的總裝配誤差。首先，建立零部件各結(jié)合面的誤差模型；然后，依據(jù)裝配拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中參與裝配的順序依次編號；最后，建立從基準(zhǔn)裝配零件到最終裝配零件的幾何誤差傳遞模型，也稱為裝配精度模型。圖5所示為n個零件以平面結(jié)合面的形式裝配的裝配誤差傳遞關(guān)系。

圖5 裝配體幾何誤差傳遞示意

以零件Pn右側(cè)平面為精度輸出平面，零件P1左側(cè)為基準(zhǔn)裝配平面，精度輸出平面相對于基準(zhǔn)裝配平面的位姿誤差變換矩陣Mall為

Mall=E1·M1,12·E12·M2,12·E23·…·

Mi,12·…·Mn,12·En

(5)

式中：E1為基準(zhǔn)裝配平面與零件P1的結(jié)合面位姿變換矩陣；Eij為零件Pi與零件Pj的結(jié)合面位姿變換矩陣；En為精度輸出平面的誤差變換矩陣；M1,12、M2,12、M3,12、Mi,12、Mn,12分別為理想狀態(tài)下，在零件P1到零件Pn的裝配方向上，實際裝配平面相對于理想裝配平面的位姿變換矩陣。

理想狀態(tài)下，精度輸出平面相對于基準(zhǔn)裝配平面的位姿誤差矩陣M0可表示為

M0=M1,12·M2,12·…·Mi,12·…·Mn,12

(6)

則裝配體的幾何誤差傳遞矩陣，也稱為裝配精度模型，可表示為

Eall=Mall-M0

(7)

1.4 裝配精度公差優(yōu)化分配模型

公差優(yōu)化分配是在保證產(chǎn)品精度要求的前提下，通過選用適當(dāng)?shù)膬?yōu)化準(zhǔn)則和約束條件，實現(xiàn)公差的優(yōu)化分配[14]。在實現(xiàn)裝配體精度優(yōu)化設(shè)計時，將零部件結(jié)合面包含的公差作為優(yōu)化變量，優(yōu)化目標(biāo)為滿足精度要求下的最小加工成本，約束條件為裝配體末端輸出精度可靠度與公差選用原則。

(1)公差-成本數(shù)學(xué)模型。公差-成本模型[11]采用倒數(shù)平方模型，假設(shè)機(jī)床零部件尺寸鏈由n個待決定公差組成，則總成本C可表示為

(8)

(2)裝配體末端輸出精度可靠性約束。將裝配體末端輸出精度可靠度也看做是公差的函數(shù)，可用Ri(T)表示。假設(shè)裝配體末端輸出精度需滿足的可靠度為ri，則裝配體末端輸出精度可靠度約束不等式可表示為ri-Ri(T)≤0，i=1,2,…,m。

(3)與公差原則相關(guān)的約束。對于同一功能要素，按照公差設(shè)計的重要程度，尺寸公差TD>位置公差TP>形狀公差TS。

綜合可得裝配體裝配精度的公差優(yōu)化模型：

(9)

通過求解裝配精度的公差優(yōu)化模型，可在滿足裝配精度可靠性和公差設(shè)計原則的前提下，實現(xiàn)公差優(yōu)化設(shè)計和成本控制[15]，并采用頂尖裝配體驗證所提方法的有效性。

2 頂尖裝配體的公差建模與靜態(tài)精度設(shè)計實例

圖6 頂尖裝配體結(jié)構(gòu)及其零件圖

圖6中，a為圓柱面A的理想軸線，b為圓柱面B的理想軸線。平面C、D共同構(gòu)成平面結(jié)合面S1；圓柱面A、B共同構(gòu)成圓柱結(jié)合面S2。分別在平面C、D和軸線a、b上設(shè)置參考坐標(biāo)系O1、O2、O3、O4，軸的位姿取決于實際結(jié)合面軸線的位姿[11]。頂尖裝配體的結(jié)合面及所含公差項如表1所示。

表1 頂尖裝配體結(jié)合面公差項

2.1 建立裝配精度模型與精度可靠性狀態(tài)函數(shù)

假定平面C為基準(zhǔn)裝配平面，C′為實際裝配平面，C與C′的位姿誤差變換矩陣為ECC′；平面D為基準(zhǔn)裝配平面，D′為實際裝配平面，D與D′的位姿誤差變換矩陣為EDD′；a′為圓柱面A的實際軸線，a與a′的位姿誤差變換矩陣為Eaa′；b′為圓柱面B的實際軸線，b與b′的位姿誤差變換矩陣為Ebb′；b與C的位置變換矩陣為MCb；頂尖頂點P與理想軸線a的位置變換矩陣為MaP，可寫作：

平面C、D在裝配過程中會定位，孔和軸過盈配合，所以實際變動平面C′和D′、實際軸線a′和b′均可視為完全重合。由式(6)—(18)可知，頂尖裝配體精度模型可表示為

(10)

(11)

2.2 旋量參數(shù)與實際變動區(qū)間帶寬的響應(yīng)模型求解

利用蒙特卡洛模擬法分別建立頂尖裝配體平面的位姿誤差變換矩陣EDD′、EC′C中各SDT參數(shù)的響應(yīng)面函數(shù)，和圓柱面結(jié)合面的位姿誤差變換矩陣Ebb′、Ea′a中各SDT參數(shù)的響應(yīng)面函數(shù)，分別寫作

(12)

(13)

2.3 確定公差優(yōu)化模型

頂尖裝配體包含4個平面特征的尺寸公差和形狀公差(t1、t2、t3、t4)，2個內(nèi)孔特征的尺寸公差及位置公差(t5、t6)，1個軸特征的尺寸公差(t7)和直線度公差(t8)。由文獻(xiàn)[12]中不同加工特征的公差-成本模型和零部件公差制造總成本模型，設(shè)定成本系數(shù)λ=15，則頂尖裝配體的成本目標(biāo)函數(shù)可表示為

(14)

頂尖裝配體公差優(yōu)化模型為

(15)

2.4 結(jié)果分析

在MATLAB運行環(huán)境中使用模擬退火遺傳算法求解式(15)，得到如表2所示的公差優(yōu)化值。因孔、軸的公差均為標(biāo)準(zhǔn)值，故按《機(jī)械設(shè)計手冊》修正公差優(yōu)化值，以《機(jī)械設(shè)計手冊》中與公差優(yōu)化值最相近的公差值作為頂尖裝配體的最佳公差值。

表2 頂尖裝配體公差優(yōu)化結(jié)果

為驗證公差優(yōu)化的效果，分別給出公差初始值、公差優(yōu)化值對應(yīng)的裝配精度可靠度和加工成本。可以看出：優(yōu)化后的裝配體加工成本為414.58元，相較于優(yōu)化前裝配體加工成本下降9.02%，裝配精度可靠性提高到97.81%。由此可知：頂尖裝配體的初始公差設(shè)計不能滿足裝配精度要求，需要進(jìn)行公差優(yōu)化，采用文中提出的精度設(shè)計方法可在保證裝配精度可靠性的前提下，實現(xiàn)公差優(yōu)化和加工成本控制。

3 結(jié)論

基于SDT公差建模和蒙特卡洛模擬的裝配體公差優(yōu)化設(shè)計方法，能夠解決現(xiàn)有精度設(shè)計方法無法直接指導(dǎo)公差設(shè)計的問題。通過分析裝配體裝配誤差累計傳播路徑上的公差變動、結(jié)合面誤差和裝配誤差之間的關(guān)系，建立了SDT公差模型、結(jié)合面誤差模型和裝配精度模型，從而進(jìn)一步建立了結(jié)合面公差與裝配精度的映射模型。另外，結(jié)合公差制造成本和公差設(shè)計原則，建立了裝配精度公差優(yōu)化模型。利用所提方法對頂尖裝配重要結(jié)合面公差進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，在滿足裝配精度可靠性的前提下，可使其加工成本降低9.02%，裝配精度可靠性提高到97.81%，驗證了該方法的有效性。