基于新型趨近律的永磁同步電機非奇異終端滑模控制

朱其新，黃旭，朱永紅

(1.蘇州科技大學機械工程學院，江蘇蘇州 215009；2.蘇州科技大學建筑智慧節能江蘇省重點實驗室,江蘇蘇州 215009；3.景德鎮陶瓷大學機電工程學院，江西景德鎮 333001)

0 前言

永磁同步電機(Permanent Magnet Synchronous Motor，PMSM) 因具有高精度、高速度、推力大、散熱性能好等優點，廣泛應用于動態性能和運動精度要求較高的進給伺服系統中。高精度機床對于電機的性能要求很高，但是永磁同步電機由于缺少中間的傳動環節，使非線性摩擦力、端部效應、外部擾動、齒槽效應等不確定性因素作用到 PMSM 的動子上，增加了抖振，降低了系統的響應速度。永磁同步電機因非線性、強耦合、多變量的特點，普通的線性控制方法已經不能滿足其在實際生產中的需要。

滑模控制(Sliding Mode Control，SMC)因不需要知道系統精確的模型，并且抗擾動性強，一直是研究的熱點。它響應速度快，可以使系統處于一種滑動模態中，這種滑動模態可以在不受系統參數和外部擾動影響下進行設計，所以魯棒性強，對系統內部參數變化和外部負載擾動不敏感，而且對未建模動態具有不變性，是當前比較被認可的一種非線性控制方法。由于滑模控制滑動模態的特性，不可避免存在抖振，常見的抑制抖振的方法有邊界層法[1]、趨近律法以及和其他智能控制相結合的方法。高為炳[2]最先提出趨近律的概念，他提出的等速趨近律、冪次趨近律和指數趨近律對系統抖振的減小和趨近速度的提高有非常重要的意義。但是等速趨近律無法消除誤差，指數趨近律在接近滑模面的時候抖振很大。冪次趨近律因為不存在符號項，抖振減少，而且在接近滑模面的時候速度不會過快，也減少了抖振的產生，獲得了人們的關注。ROHITH[3]提出了分數冪次趨近律，解決了抖振問題,保持了很好的魯棒性，系統響應速度快，他從指數項入手，利用數學關系提高了滑模性能。YANG和CHEN[4]結合了快速趨近律以及雙冪次趨近律的優點，提出了分段快速冪次趨近律的設計方案，分段對指數進行討論，提高了整體的趨近速度。KANG等[5]抓住了雙冪次趨近律的特點，在靠近滑模面和遠離滑模面的階段進行分別討論，將反正切函數加入冪函數的指數，分段函數簡單、連續并且光滑，從而減小了抖振，提高了速度。張瑤等人[6]證實了多冪次趨近律存在的合理性，并且多增加了一個指數項，進一步提高了趨近速度。田野和蔡遠利[7]設計了變指數趨近律，與雙冪次趨近律和多冪次趨近律進行了對比，達到了自適應的效果，但是實際應用時，初始狀態容易產生奇異點。

除趨近律的設計，滑模面的選取也是消除抖振的有效方法。滑模控制的魯棒性主要體現在趨近階段，而達到階段既存在抖動又有不確定的外在因素，導致系統的魯棒性下降，所以滑模面的設計非常重要。常見的滑模面有線性滑模面、終端滑模面[8-9]、高階滑模面[10-13]和積分滑模面[14]等。線性滑模面和積分滑模面只能實現指數收斂，不能保證在有限時間內收斂到原點。DEEPIKA等[15]利用線性面和終端滑模面組合的方式，設計出非線性超曲面終端滑模面，但是沒有考慮到奇異點的問題。梅紅和王勇[16]提出了新型終端滑模面，在滑模面引入符號函數，重疊了趨近和到達階段，但是收斂時間有待提高。YU等[17]設計了一種終端滑模面，通過切換函數，在快要接近零點的時候避免奇異點，然而影響了收斂性。

基于如上討論，本文作者針對永磁同步電機控制系統，選取非奇異終端滑模面，設計新型冪次趨近律。該趨近律根據滑模兩個不同的收斂階段，運用切換函數改變趨近律的冪次值，使得該滑模變量在兩個階段都有較快的收斂速度。同時，增加一項指數項，進一步保證趨近律在遠離滑模面階段的快速性。

1 三相永磁同步電機數學模型

假定永磁同步電機是理想狀態，并作以下假設[18-19]：

(1)永磁體的磁動勢固定不變；

(2)電機反電勢是正弦形式的；

(3)電機轉子上不存在阻尼繞組；

(4)電機感應電動勢和氣隙磁場都是按正弦分布，且不考慮磁場的所有諧波；

(5)三相定子繞組在定子空間中呈對稱分布，三相繞組中的各個電樞電阻均相等，三相繞組中的各個電感也均相等；

(6)不考慮電機鐵芯的永磁飽和因素，同時不考慮電機中的渦流損耗；

(7)不考慮電機周圍環境溫度對電機的影響。

文中選擇id=0的控制方式，所以選取d-q坐標系下進行研究。在d-q坐標系下永磁同步電機的模型[19]為

Uq=Rsiq+λq+ωeλd

(1)

Ud=Rsid+λd+ωeλd

(2)

λq=Lqiq

(3)

λd=Ldid+Lmdidf

(4)

ωe=npωr

(5)

式中：id、iq分別為定子電流 d、q軸分量；Ud、Uq分別為定子電壓 d、q軸分量；Rs為定子電阻；Ld、Lq分別為定子d、q軸電感；ωe為轉子電角速度；ωr為轉子機械角速度；λd、λq為d、q軸定子磁鏈；Lmd為d 軸的互感；idf為d軸等效磁化電流；np為極對數。

永磁同步電機電磁轉矩和機械轉矩方程分別為

Te=3np[Lmdidfiq+(Ld-Lq)idiq]/2

(6)

Te=Jωr+Tl

(7)

式中：Te為電磁轉矩;Tl為負載轉矩;J為轉動慣量。

當采用id=0的矢量控制策略時，該電機的電磁轉矩方程可化簡為

λd=λq

(8)

λq=Lqiq

(9)

(10)

至此就完成了永磁同步電機的解耦,本文作者通過設計永磁同步電機的速度環滑模控制器，以轉速誤差為輸入、電流為輸出，實現對永磁同步電機的控制。

2 滑模控制器設計

滑模控制器設計主要分為兩個階段：切換函數(滑模面)的設計；趨近律設計。趨近律設計主要針對的是系統從無窮遠處趨近于滑模面的過程，而滑模面的設計是針對從滑模面趨向于零點的過程。為減小抖振和增加趨近速度，可以從趨近律設計和滑模面設計兩個方面同時進行優化。

2.1 滑模面設計

滑模面也叫切換函數，它決定了滑動模態的穩定性和動態性能。

線性滑模面具有如下形式:

s=λ1x1+λ2x2+…+λnxn

(11)

其中：{λ1，…，λn}滿足赫爾維茨條件。

線性滑模面的優點是設計簡單，并且能夠通過調節滑模面系數達到漸近穩定，缺點是不能完全保證在有限時間達到原點，不太適用于復雜的非線性系統。

終端滑模面引入了終端吸引子[20]的概念，可以使系統沿著滑模面在有限的時間達到原點。它克服了線性滑模面的缺點，并進一步提高了趨近速度。其基本形式為

(12)

(13)

其中：p>q>0；β>0。

在實際工程問題中，在計算的時候會面臨奇異點的問題，例如電機瞬間啟動的加速度或者是輸入電流會很大，由此促使了非奇異終端滑模面[23]的產生：

(14)

其中：h>g>0；α>0。

文中選取式(13)所示的非奇異終端滑模面，將它與普通線性滑模面做對比，結果如圖1所示。

圖1 線性滑模面和非奇異終端滑模面的對比

由圖1可以看出：非奇異終端滑模以非常快的速度到達了s=0的滑模面上，它對于提高系統性能具有積極的作用。

2.2 改進的新型趨近律

趨近律的概念由高為炳教授最先提出，它起初在數學中指的是一種到達條件，后面因為良好的抗擾動，并且不依賴模型的特性，被運用到控制之中。恰當地選取趨近律能夠保證運動的品質以及減小抖振。

常見的趨近律有以下4種：

(1)等速趨近律：

(2)指數趨近律：

(3)冪次趨近律：

(4)一般趨近律：

很多文獻中所采用的趨近律都是以上4種趨近律的組合，從而能達到一加一大于二的效果。趨近速度和抖振是兩個相互影響的考量因素。本文作者在雙冪次趨近律的基礎上，引入了切換函數，分情況改善趨近效果。在|s|<1的情況下，通過引入終端因子項，減小抖振。在|s|>1的情況下，通過增加一個指數項，提高趨近速度。又因為非奇異終端滑模面的要求，其最后形式為

(15)

其中：

式中：k1>0；k2>0；a>1；0g；p>q,且p和q為正奇數。

根據滑模的存在條件[22]，構建李雅普諾夫不等式：

(16)

雙冪次和新型趨近律在線性滑模面的條件下對比如圖2和圖3所示。雙冪次趨近律設計的控制器輸出為u1,其輸出轉速響應為n1,文中設計的控制器輸出為u2,其輸出轉速響應為n2。對比圖2和圖3可以發現：文中提出的新型趨近律有更快的響應速度，振動也得到了有效的抑制。

圖2 控制器輸出u的對比 圖3 轉速響應n的對比

2.3 滑模控制器設計

設計狀態方程為

(17)

其中：ω*為給定轉速；ω為實際轉速。

聯立式(7)和式(10)，再代入式(17)，注意到φf=Lmdidf，可得：

(18)

對滑模面求導得：

(19)

式(15)(18)(19)聯立得到控制器的函數：

k2|s|bsgn(s)+k3s]

(20)

3 仿真與結果分析

3.1 仿真模型的搭建

為驗證文中滑模控制算法的正確性，搭建如圖4所示的永磁同步電機Simulink仿真結構。速度控制器分別用雙冪次趨近律和文中提出的新型趨近律進行控制，最后進行仿真結果的對比。

圖4 永磁同步電機仿真結構

電機具體參數:定子電阻R=2.46 Ω;d、q軸電感Ld=Lq= 6.35 mH;永磁磁鏈φa= 0.175 Wb;轉動慣量J= 1.02 g·m2;黏滯摩擦因數B=0.000 1;極對數P=4;額定轉速3 000 r/min，逆變器開關頻率為15 kHz。

3.2 仿真結果的分析

圖5 永磁同步電機啟動響應比較 圖6 系統跟蹤動態響應

為對比調速系統的跟蹤效果，文中給出了正弦輸入信號，其幅值為100，頻率為1 Hz,其余參數仍然不變，其仿真波形如圖6所示。

由圖6可以看出：采用文中提出的趨近律的電機系統的轉速跟蹤響應曲線更加光滑，抖振更少。

綜上可知，新型趨近律的終端滑模控制器比雙冪次趨近律的終端滑模控制器在整體性能上更優。

4 結論

本文作者以永磁同步電機為對象，設計了新型的速度控制器。通過對比幾種滑模面，根據控制對象非線性的特性，選擇非奇異終端滑模面，提高了趨近速度。在趨近律的選取方面，綜合比較了幾種常見趨近律的優缺點，選擇了雙冪次趨近律進行改進。根據趨近階段遠離滑模面和接近滑模面的兩個階段，使用切換函數，引入終端因子，在增加速度的同時減小了抖振。同時增加了指數項，在遠離滑模面的階段大大提高了趨近速度。仿真結果表明：該新型滑模控制方法的綜合性能更好。本文作者在設計中沒有考慮擾動的影響，如何估計和補償擾動的影響則有待于進一步研究。