一種基于Logistic電平脈沖的多渦卷系統(tǒng)及其圖像加密應(yīng)用

徐昌彪 黎金龍 許浩南

(重慶郵電大學(xué)光電工程學(xué)院 重慶 400065)

1 引言

混沌系統(tǒng)的偽隨機(jī)性和對(duì)初始值的敏感性使其在多媒體信息安全領(lǐng)域受到廣泛關(guān)注。例如，在信道開(kāi)放的通信系統(tǒng)中，利用混沌同步技術(shù)處理傳輸數(shù)據(jù)，可防止非法竊聽(tīng)引起的信息泄露；在圖像或視頻加密中，使用基于混沌系統(tǒng)構(gòu)建的加密算法加密圖像或視頻，具有比傳統(tǒng)的DES和AES加密算法更快的加密速度和更高的安全性[1]。具有復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為且電路實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度低的混沌系統(tǒng)是混沌加密應(yīng)用的關(guān)鍵。

在Chua系統(tǒng)[2]、Jerk系統(tǒng)[3]、廣義Lorenz系統(tǒng)[4]中引入非線性函數(shù)使系統(tǒng)的平衡點(diǎn)發(fā)生擴(kuò)展，可形成多渦卷吸引子，從而得到多渦卷吸引子混沌系統(tǒng)。相較于原混沌系統(tǒng)，多渦卷吸引子混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為和結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜，在安全加密領(lǐng)域中更有優(yōu)勢(shì)[5]。多渦卷系統(tǒng)具有自治和非自治兩種類(lèi)型，其中自治多渦卷系統(tǒng)的控制函數(shù)主要為階梯函數(shù)[6]、飽和函數(shù)[7]、多級(jí)雙曲正切函數(shù)[8]等不含時(shí)間的非線性函數(shù)，而自治多渦卷系統(tǒng)主要有3個(gè)問(wèn)題：(1)非線性函數(shù)缺乏一般性，即產(chǎn)生不同的多渦卷系統(tǒng)需要不同類(lèi)型的非線性函數(shù)；(2)非線性函數(shù)有多個(gè)參數(shù)需要確定，且各參數(shù)相互作用，致使控制較為復(fù)雜；(3)系統(tǒng)電路實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度隨渦卷數(shù)量增加而增大。利用非自治的脈沖控制方法可有效解決問(wèn)題(1)和問(wèn)題(2)。例如，文獻(xiàn)[9]提出了一種基于脈沖控制設(shè)計(jì)多方向多渦卷吸引子的方法，該方法具有通用性，可應(yīng)用于任意混沌系統(tǒng)而無(wú)需重構(gòu)非線性函數(shù)。文獻(xiàn)[10]在Sprott C系統(tǒng)的基礎(chǔ)上提出了一種基于多邏輯電平脈沖生成平移多渦卷吸引子的方法，分析表明基于脈沖控制的多渦卷系統(tǒng)具有恒定Lyapunov指數(shù)。文獻(xiàn)[11]基于sigmoid函數(shù)設(shè)計(jì)了一種多邏輯電平脈沖函數(shù)，sigmoid函數(shù)使系統(tǒng)平衡點(diǎn)變化變得連續(xù)。文獻(xiàn)[12]提出了一種基于分段函數(shù)的多層嵌套混沌吸引子設(shè)計(jì)方法，將分段函數(shù)引入到Chua系統(tǒng)，產(chǎn)生多層嵌套的多渦卷吸引子。這些方法的優(yōu)勢(shì)是無(wú)需重構(gòu)非線性函數(shù)，但缺點(diǎn)是渦卷數(shù)量越多，需要疊加的脈沖數(shù)量越多，這增大了系統(tǒng)電路實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜度，給系統(tǒng)的硬件實(shí)現(xiàn)帶來(lái)了較大的困難。

針對(duì)此問(wèn)題，本文設(shè)計(jì)了一個(gè)Logistic電平脈沖函數(shù)，利用Logistic映射的周期分岔和混沌產(chǎn)生多邏輯電平脈沖和隨機(jī)電平脈沖。然后，采用非自治的脈沖控制方法將Logistic電平脈沖函數(shù)作為控制函數(shù)引入到Lorenz系統(tǒng)，得到一個(gè)具有復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為的新的多渦卷吸引子混沌系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)分析表明Logistic電平脈沖函數(shù)有效地提高了混沌序列的復(fù)雜度。FPGA實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明系統(tǒng)電路可在不改變RTL代碼的情況下僅通過(guò)修改控制參數(shù)即可產(chǎn)生不同的多渦卷吸引子，并且不改變系統(tǒng)電路實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜度，而已有的多渦卷系統(tǒng)難以做到這一點(diǎn)。最后，設(shè)計(jì)了一種將此多渦卷系統(tǒng)應(yīng)用于圖像加密的方案，對(duì)其進(jìn)行了NIST隨機(jī)特性測(cè)試、密鑰敏感性分析和結(jié)構(gòu)相似度分析。結(jié)果表明，與Lorenz系統(tǒng)相比，此多渦卷系統(tǒng)具有更多的敏感性參數(shù)，應(yīng)用于圖像加密時(shí)密鑰空間更大，更能有效抵抗窮舉攻擊。

2 Logistic電平脈沖函數(shù)

一般使用階梯函數(shù)、飽和函數(shù)、多邏輯電平脈沖函數(shù)等非線性函數(shù)作為多渦卷混沌系統(tǒng)的控制函數(shù)，這些復(fù)雜的非線性函數(shù)增加了多渦卷系統(tǒng)電路實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜度。針對(duì)該問(wèn)題，本文設(shè)計(jì)了一種Logistic電平脈沖函數(shù)，該函數(shù)利用Logistic映射[13]的周期分岔和混沌產(chǎn)生多邏輯脈沖和隨機(jī)電平脈沖，該函數(shù)形式為

3 多渦卷吸引子混沌系統(tǒng)模型及系統(tǒng)分析

3.1 系統(tǒng)模型

采用非自治脈沖控制方法將Logistic電平脈沖函數(shù)S(t)作為控制函數(shù)引入到Lorenz系統(tǒng)，得到一個(gè)新的多渦卷吸引子混沌系統(tǒng)，系統(tǒng)模型為

其中，Sx(t),Sy(t),Sz(t)均為L(zhǎng)ogistic電平脈沖函數(shù)，對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為(g0x,μx,kx,Tx), (g0y,μy,ky,Ty),(g0z,μz,kz,Tz)。多渦卷吸引子混沌系統(tǒng)的設(shè)計(jì)原理為當(dāng)狀態(tài)變量受到Logistic電平脈沖函數(shù)的控制時(shí)，系統(tǒng)平衡點(diǎn)隨Sx(t),Sy(t),Sz(t) 的 變化在x,y。z坐標(biāo)方向上發(fā)生擴(kuò)展，形成結(jié)構(gòu)豐富的多渦卷吸引子。通過(guò)調(diào)節(jié)參數(shù)μx,μy,μz，可使系統(tǒng)產(chǎn)生1維4渦卷吸引子、2維8渦卷吸引子、3維16渦卷吸引子、時(shí)變多渦卷吸引子等。已有文獻(xiàn)一般通過(guò)疊加多個(gè)子脈沖的方式得到多邏輯電平脈沖，其缺點(diǎn)是多渦卷系統(tǒng)電路實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜度隨渦卷數(shù)量增加而增大。周期分岔與混沌屬于Logistic映射的自發(fā)行為，改變其參數(shù)μ可使S(t)產(chǎn)生周期或隨機(jī)間斷點(diǎn)，使系統(tǒng)式(3)形成各種多渦卷吸引子而不增加系統(tǒng)電路實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜度。因此，基于Logistic電平脈沖的多渦卷系統(tǒng)在實(shí)際應(yīng)用中更有優(yōu)勢(shì)。

3.2 平衡點(diǎn)分析

由式(6)可知，Jacobi矩陣與控制函數(shù)無(wú)關(guān)，所以控制函數(shù)不改變系統(tǒng)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性，且每個(gè)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性相同。令d et(λE ?J)=0 ，其中a=10,b=28,c=8/3 ，求 得3個(gè) 特 征 值 為λ1=?13.85,λ2=0.094+j10.194 ,λ3=0.094?j10.194。由勞斯穩(wěn)定判據(jù)可知，平衡點(diǎn)e1為穩(wěn)定的指標(biāo)2的鞍焦平衡點(diǎn)。同理，平衡點(diǎn)e2也為穩(wěn)定的指標(biāo)2的鞍焦平衡點(diǎn)。當(dāng)3 <μx<3.57 時(shí)，Sx(t)是 2n邏輯電平脈沖，平衡點(diǎn)在x方向上的分布具有2n種可能。參數(shù)μy和μz對(duì)平衡點(diǎn)的影響與此類(lèi)似。取μx=μy=μz=3.3 ， 平衡點(diǎn)在xy平面上存在22=4種分布可能，如圖2(a)所示。此時(shí)，系統(tǒng)在x=?2 處的P oincare截面如圖2(b)所示。Poincare截面中4條連續(xù)曲線對(duì)應(yīng)系 統(tǒng) 的4 個(gè) 吸 引 子。當(dāng) 3.57<μx,μy,μz ≤4時(shí)，Sx(t),Sy(t)和Sz(t)均為隨機(jī)電平脈沖，平衡點(diǎn)同時(shí)在x,y,z方向上隨機(jī)遍歷，其位置在空間上是時(shí)變的，呈不規(guī)律分布，難以被預(yù)測(cè)，如圖2(c)所示。因此，可通過(guò)改變Sx(t),Sy(t) ,Sz(t) 中的參數(shù)μx,μy,μz來(lái)調(diào)整系統(tǒng)平衡點(diǎn)位置，而不影響平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。

圖2 平衡點(diǎn)分布和Poincare截面

3.3 多渦卷吸引子

取μx=μy=μz=2.8 ，Sx(t),Sy(t),Sz(t)可近似為常數(shù)，系統(tǒng)退化為L(zhǎng)orenz系統(tǒng)，如圖3(a)所示。取μx=3.3 ,μy=μz=2.8 ，平衡點(diǎn)在x方向上周期性擴(kuò)展，形成x方向的1維4渦卷吸引子，如圖3(b)所示。取μx=μy=3.3,μz=2.8，平衡點(diǎn)同時(shí)在x和y方向上周期性擴(kuò)展，形成2維4渦卷吸引子，如圖3(c)所示。參數(shù)T也會(huì)影響多渦卷吸引子的數(shù)量，例如，在圖3(c)的基礎(chǔ)上，令Ty=2Tx，可得到2維8渦卷吸引子，如圖3(d)所示，以及圖3(e)所示的3維16渦卷吸引子。當(dāng)μx,μy,μz中的任一參數(shù)處于(3.57,4]時(shí)，系統(tǒng)可產(chǎn)生時(shí)變多渦卷吸引子，例如，取μx=μy=3.9,μz=2.8 ，平衡點(diǎn)在x和y方向上隨機(jī)遍歷，形成時(shí)變多渦卷吸引子，如圖3(f)所示。時(shí)變多渦卷吸引子在空間中隨機(jī)擴(kuò)展，使吸引子的分布變得不可預(yù)測(cè)。

圖3 多渦卷吸引子混沌系統(tǒng)相圖

3.4 Lyapunov指數(shù)和混沌序列復(fù)雜度

最大Lyapunov指數(shù)(Largest Lyapunov Exponents, LLE)描述了系統(tǒng)兩個(gè)相鄰軌道的平均指數(shù)分離速率，其值越大，系統(tǒng)對(duì)初始值越敏感。設(shè)系統(tǒng)參數(shù)b=28,c=8/3 ，控制參數(shù)μx=2.8,μy=2.8,μz=2.8 ，初始狀態(tài)基準(zhǔn)點(diǎn)(x0,y0,z0)= ( 0.1,0.1,0.1)，初始狀態(tài)偏離點(diǎn)(x′0,y0′,z0′)= ( 0.1+d,0.1,0.1)，偏離距離d=10?7，當(dāng)參數(shù)a變化時(shí)，系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)如圖4(a)所示。系統(tǒng)在A點(diǎn)處的 LLE=0.91，表現(xiàn)為混沌態(tài)。將仿真參數(shù)設(shè)置為A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)參數(shù)，且Logistic映射初始值基準(zhǔn)點(diǎn)g0x=0.6，偏離點(diǎn)g0′x=0.6+d，繪制系統(tǒng)隨μx變化的最大Lyapunov指數(shù)曲線，如圖4(b)所示。在μx變化的過(guò)程中，LLE始終大于A點(diǎn)。當(dāng)μx<3.57，LLE保持在0.91附近，表明系統(tǒng)軌道分離程度基本不變；隨著μx的繼續(xù)增大，LLE在總體上顯著提高，并在μx=4處 取得最大值13.1，這表明系統(tǒng)對(duì)初值g0極度敏感。

圖4 最大Lyapunov指數(shù)和混沌序列復(fù)雜度

采用C0算法分析本文系統(tǒng)混沌序列的復(fù)雜度[14]，C0值越大，序列越接近隨機(jī)序列，系統(tǒng)安全性能就越高。設(shè)控制參數(shù)μy=2.8 ,μz=2.8，繪制C0隨μx變 化的曲線，如圖4(c)所示。在控制參數(shù)μx小于3時(shí)，多渦卷系統(tǒng)退化為L(zhǎng)orenz系統(tǒng)，C0值小于0.15，表明其混沌序列的復(fù)雜度較低；在μx從3變化到4的過(guò)程中，Logistic映射的局部分岔導(dǎo)致C0曲線出現(xiàn)了局部上升或回落，但從整體上看，在μx>3.57 后，參數(shù)μx越大，C0值越大，且可達(dá)到0.5，表明本文系統(tǒng)的混沌序列的復(fù)雜度遠(yuǎn)高于Lorenz系統(tǒng)。

3.5 初始條件敏感性

通過(guò)混沌序列進(jìn)一步分析多渦卷系統(tǒng)對(duì)函數(shù)S(t)的 初始條件的敏感性。以參數(shù)μx和 初始值g0x為例，設(shè)控制參數(shù)μx=3.9 ，初值g0x=0.6，迭代系統(tǒng)5000次，得圖5中紅色曲線所示的混沌序列；保持g0x不變，將μx修改為3.9+10?5, 3.9+10?10和3.9+10?15，得到相應(yīng)的混序列分別如圖5(a)、圖5(b)和圖5(c)所示；保持μx不變，將g0x修改為0.6+10?5, 0.6+10?10和0.6+10?15，得到相應(yīng)的序列分別如圖5(d)、圖5(e)和圖5(f)所示。顯然，控制函數(shù)的參數(shù)和初值的微小改變可使系統(tǒng)的混沌序列發(fā)生顯著變化。

圖5 混沌序列

4 多渦卷混沌系統(tǒng)的FPGA實(shí)現(xiàn)

4.1 FPGA設(shè)計(jì)

混沌系統(tǒng)在系統(tǒng)控制、保密通信和圖像加密等領(lǐng)域有重要應(yīng)用，而多渦卷混沌系統(tǒng)具有比一般混沌系統(tǒng)更復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為和吸引子結(jié)構(gòu)，在實(shí)際應(yīng)用中更有優(yōu)勢(shì)。利用FPGA設(shè)計(jì)了本文多渦卷系統(tǒng)的硬件電路，其中FPGA芯片型號(hào)為Cyclone IV EP4CE30F23。使用4階龍格庫(kù)塔算法對(duì)系統(tǒng)式(3)進(jìn)行離散化

其中，取樣時(shí)間h=2?10。對(duì)于式(8)，當(dāng)j=1時(shí)，xt=0 ,yt=0 ,zt=0 ；當(dāng)j=2,3 時(shí)，xt=0.5K1(j?1),yt=0.5K2(j?1),zt=0.5K3(j?1)；當(dāng)j=4時(shí)，xt=K1(j?1),yt=K2(j?1),zt=K3(j?1)。

基于Quartus Prime16.1開(kāi)發(fā)平臺(tái)實(shí)現(xiàn)多渦卷系統(tǒng)的FPGA設(shè)計(jì)，圖6為FPGA設(shè)計(jì)的頂層RTL視圖。FPGA設(shè)計(jì)主要包括3個(gè)模塊：Lglp_ParamCtrl, Lglp_top和MSACS模塊，分別用于Logistic電平脈沖函數(shù)的參數(shù)控制、Logistic電平脈沖函數(shù)的產(chǎn)生以及多渦卷吸引子混沌系統(tǒng)的迭代。Lglp_top中的3個(gè)子模塊u1_Lglp, u2_Lglp和u3_Lglp分別產(chǎn)生Logistic電平脈沖Sx(t),Sy(t)和Sz(t) ，并輸出到MSACS模塊。xn,yn,zn和Kij均采用32 bit的定點(diǎn)數(shù)表示，該定點(diǎn)數(shù)由1 bit符號(hào)位、7 bit整數(shù)位以及24 bit小數(shù)位組成。為了減少硬件資源消耗，在Lglp模塊和MSACS模塊中通過(guò)乒乓操作和狀態(tài)合并減少了乘法器與寄存器的消耗數(shù)量，最終共使用48個(gè)9 bit乘法器和2559個(gè)邏輯單元。

圖6 FPGA設(shè)計(jì)頂層RTL視圖

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

由FPGA輸出的數(shù)字信號(hào)通過(guò)14位的雙通道DAC芯片ACM9676傳輸給示波器，結(jié)果如圖7所示。圖7表明FPGA實(shí)驗(yàn)結(jié)果與MATLAB仿真結(jié)果一致，驗(yàn)證了本文多渦卷系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性。對(duì)于文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[10]中的系統(tǒng)，其渦卷數(shù)量與多邏輯電平脈沖函數(shù)的子脈沖數(shù)呈正線性關(guān)系，這不利于系統(tǒng)在硬件實(shí)現(xiàn)后多渦卷吸引子的調(diào)節(jié)。由于Logistic電平脈沖函數(shù)是通過(guò)周期分岔而非脈沖疊加產(chǎn)生多邏輯電平脈沖，所以本文所設(shè)計(jì)的多渦卷系統(tǒng)的優(yōu)勢(shì)是可直接通過(guò)修改輸入?yún)?shù)而無(wú)需更新RTL代碼產(chǎn)生如圖7所示的多種類(lèi)型的多渦卷吸引子。

圖7 FPGA實(shí)現(xiàn)效果

5 多渦卷混沌系統(tǒng)在圖像加密中的應(yīng)用

5.1 圖像加密流程

混沌系統(tǒng)的對(duì)初始值敏感和偽隨機(jī)性使混沌加密已成為密碼學(xué)領(lǐng)域中一個(gè)新的研究熱點(diǎn)。圖8為基于本文所設(shè)計(jì)的多渦卷混沌系統(tǒng)的塊圖像加密方案，此方案采用塊加擾操作[15]，保持了密文與明文在圖像格式上的一致性。

圖8 圖像加密流程

圖像加密流程為：(1)明文Ip經(jīng)過(guò)顏色空間轉(zhuǎn)換變?yōu)榛叶葓D像Ig，將Ig分成大小為8 ×8大小的塊矩陣，得到圖像Ib；(2)根據(jù)密鑰確定多渦卷吸引子混沌系統(tǒng)的初值和控制參數(shù)，密鑰參數(shù)設(shè)置為 k ey ={x0,y0,z0,a,b,c,g0x,g0y,g0z,μx,μy,μz}， 其 中3.57<μx,μy,μz ≤4，迭代多渦卷吸引子混沌系統(tǒng)產(chǎn)生混沌序列{xn}、{yn}和{zn}，根據(jù)式(9)將其轉(zhuǎn)換為偽隨機(jī)整數(shù)序列k1,k2,k3。

其中，m od(·)表 示求余函數(shù)；(3)采用k1,k2,k3對(duì)圖像Ib依次執(zhí)行塊置亂、塊旋轉(zhuǎn)與塊翻轉(zhuǎn)、顏色負(fù)正變換操作，整合加密后的塊圖像得到最終密文Ie。設(shè)密鑰 key={1, 1, 1, 10, 28, 8/3, 0.6, 0.61, 0.62,3.95, 3.96, 3.97}，采用此圖像加密流程對(duì)Baboon圖像進(jìn)行加密，加密效果如圖9所示。

圖9 圖像加密效果

5.2 安全性分析

將多渦卷混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌序列{xn},{yn}和{zn}轉(zhuǎn)化為0-1序列，使用NIST SP800-22測(cè)試其隨機(jī)特性，分別有15個(gè)測(cè)試編號(hào)，結(jié)果如表1所示，可看出所有測(cè)試P - value值均大于0.01，表明混沌序列具有良好的隨機(jī)性。因此，偽隨機(jī)整數(shù)k1,k2,k3可有效地破壞明文圖像的視覺(jué)信息，使密文圖像具有良好的視覺(jué)安全性。

表1 NIST SP800-22隨機(jī)特性測(cè)試結(jié)果

微小改變上述密鑰key中的g0x為 0.6+2?32或控制參數(shù)μx為 3.95+2?32，分別對(duì)Baboon密文進(jìn)行解密，解密圖像如圖10所示。從圖10可看出，密鑰的微小變化均會(huì)導(dǎo)致解密失敗。結(jié)構(gòu)相似度(Structural SIMilarity, SSIM)可用于衡量?jī)煞鶊D像的相似程度，若 SSIM < 0.1表明兩幅圖像差異較大。圖像X與圖像Y的SSIM計(jì)算方法為

圖1 Logistic電平脈沖的波形變化曲線

圖10 密文解密效果

以USC-SIPI圖像數(shù)據(jù)庫(kù)中的39組圖像為明文樣本，計(jì)算明文與對(duì)應(yīng)密文的SSIM，得到所有39組樣本的平均SSIM為2.43×10?4，其中3組測(cè)試結(jié)果如表2的后3組數(shù)據(jù)所示。表中所有SSIM均小于0.1，表明由本文圖像加密方案得到的密文具有較好的視覺(jué)安全性。

表2 參數(shù)敏感性和密文視覺(jué)安全性分析

6 結(jié)束語(yǔ)

本文設(shè)計(jì)了控制簡(jiǎn)單且復(fù)雜度不隨參數(shù)改變的Logistic電平脈沖函數(shù)，利用Logistic映射的周期分岔和混沌產(chǎn)生多邏輯電平脈沖和隨機(jī)電平脈沖，采用非自治的脈沖控制方法將Logistic電平脈沖函數(shù)作為控制函數(shù)引入到Lorenz系統(tǒng)，得到一個(gè)新的多渦卷吸引子混沌系統(tǒng)，有如下結(jié)論：(1)控制函數(shù)不影響系統(tǒng)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性；(2)增加渦卷數(shù)量不改變系統(tǒng)電路實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜度；(3)FPGA電路可在不改變RTL代碼的情況下僅通過(guò)控制參數(shù)的改變即可產(chǎn)生不同的多渦卷吸引子；(4)與Lorenz系統(tǒng)相比，此多渦卷系統(tǒng)具有更多的敏感性參數(shù)，應(yīng)用于圖像加密時(shí)密鑰空間更大，更能有效抵抗窮舉攻擊。