在復習“舊知”中經歷“新知”生長
——“長方體和正方體的表面積與體積”復習課的前思后想

■ 錢 蔚

教學“長方體和正方體的表面積與體積”這一單元的復習課時，我們要經常思考這些問題：復習什么？怎么復習？為什么這么復習？復習課的打開方式絕不是“炒冷飯”，更不是“題海戰”。如何讓學生透過復習這扇窗看到一個全新的數學世界，真正體驗復習的價值呢？伴著這樣的思考，筆者談談教學“長方體和正方體的表面積與體積”復習課的前思后想。

一、觀察與想象，學生自主建構長方體和正方體的直觀表象

【課前思考】

“長方體和正方體的表面積與體積”是“空間與圖形”這一領域較重要的一個單元，通過這一單元的學習，學生應進一步積累空間與圖形的學習經驗，進一步發展和增強空間想象力。怎樣發展學生的空間想象力呢？筆者認為，首先，我們必須清楚地知道什么是空間想象力。具體地說，空間想象力是指在頭腦中能正確反映出事物的空間形式，包括物體的形狀、大小、位置關系等。從心理學角度看，這也是指我們能夠依據感覺經驗，在頭腦中正確建構起物體的直觀表象。為此，筆者認為，教學中的每一個環節都要充分考慮如何為發展學生的空間想象力而設計。

【教學片段1】教師出示小棒圖（如圖1）。

圖1

師：請同學們仔細觀察圖1，想一想，取這些小棒可以搭一個長方體嗎？如果可以,怎么搭？（在學生回答后教師依次出示圖2至圖4）

圖2

圖3

圖4

【課后反思】課始，教師沒有直接將長方體物體或長方體框架呈現在學生面前，而是出示凌亂的12根小棒(如圖1)，讓學生在頭腦中搭一個長方體，此任務的提出具有一定的挑戰性，從學生課堂的反映可以看出，這一環節設計達到了兩個目的：1.“盤活”了學生頭腦中的“庫存”，促使學生主動回憶長方體的面、棱、頂點的特征；2.讓學生在觀察與想象的任務驅動中調動知識和經驗，完成了在頭腦中的物體拼搭過程。引導學生有效地經歷了數學化的過程，在一定程度上培養了學生的空間想象能力。

如果教師直接提供完整的長方體物體或框架，可以開門見山揭示課題，節省課堂教學時間，但是這樣的開場如“清湯寡水”，吸引不了學生，學生也不可能經歷觀察與想象這一過程，長方體的特征這一知識僅憑“溫暖的回憶”只能起到“知識的重現”這一目的，而使之通過想象活動來完成，學生在頭腦中嘗試著將12根小棒排列、組合、拼搭，脫離了具體的操作，也許一些學生會有些困難，但只有在這樣的想象活動中才能“盤活”知識，發展學生的空間想象能力。

二、整理與交流，學生自主梳理長方體和正方體的知識體系

【課前思考】

整理知識、交流知識是復習課的重要特征，這也是它有別于練習課和新授課之處。常見的復習課，師生通過一問一答的形式由教師將知識整理出來。筆者認為，整理知識要讓學生自主進行，為了讓學生有充裕的時間自己整理，尋找知識間的聯系與區別，也為了提高復習課的效率，可以放至課前、課中來交流與鞏固。

【教學片段2】

師：昨天，同學們回家自己進行了長方體和正方體相關知識的復習，請拿出復習單，我們一起來交流。

根據學生的回答，教師完成表格內容（如表1），為了使學生更清楚地復習長方體和正方體的表面積與體積的計算方法，教師還可以利用課件幫助學生回憶長方體和正方體的展開圖和體積公式的推導過程。

表1

師：通過復習我們發現長方體和正方體在哪些方面是有區別的？

生：長方體和正方體的表面積與體積的意義不同，計算方法不同，計量單位也不一樣。

師：是的，表格能讓比較一目了然，所以在運用時，我們要看清楚求什么，想明白怎么求。請看下面這些問題，它們與長方體或正方體的什么知識有關？

1.填滿花壇大約需要多少立方米泥土？

2.粉刷教室四壁和頂部。

3.包裝長方體紙盒需要彩紙多少張？

4.一個長方體書柜能裝多少本書？

5.給長方體餅干罐的四周貼一圈商標紙。

6.包扎一個長方體紙盒需要多長的包裝帶？

7.魚缸占地面積是多少？

【課后反思】

知識的整理與建構要凸顯學生學習的自主性，讓學生試著自己去把知識縱向成線、橫向成片，在“做”中形成良好的認知結構，在“做”中學會整理知識的方法，以積累整理建構的經驗。

在上述教學片段中，整理知識是學生課前的任務，課中在教師的組織下，學生積極快速地進行交流，教師只在關鍵處提醒、點撥。比如：長方體的體積是如何推導出來的？除了這個公式，長方體的體積還可以怎么求？長方體的表面積與體積之間的區別在哪里？此時，課堂完全交給學生，學生參與的積極性非常高，效果也很好。針對解決實際問題中學生對于表面積與體積的混淆，教師出示了一組判斷題，既達到了鞏固知識、查漏補缺的目的，又凸顯了物體具有線、面、體三維空間的特性，幫助學生在知識的大框架下構建知識體系，找到知識間的聯系與區別。

三、練習與拓展，學生自主探索解決問題的方法與策略

【課前思考】

教師在復習課中要重視練習與實際應用，既有利于知識的鞏固和內化，也有利于發展學生思維，提升應用能力。但如果復習課演變成為“炒冷飯”，做題目，那么這樣的復習課，有效性是要打問號的，也不能激發學生的學習興趣。在復習課中我們要進行基礎題的相關練習，更要設計一些具有挑戰性的習題引領學生探究、思考、爭辯、創新，尤其要在練習的過程中滲透數學思想方法。因此，備課時教師要反復思考如何設計練習，用心設計適合本班學生的習題。

【教學片段3】

1.如圖5，一個長方體的長是6厘米，寬是3厘米，高是3厘米，這個長方體的側面積是多少平方厘米？

圖5

第一層次：學生計算。

第二層次：教師引導學生想象側面展開圖，拓展側面積的另一種計算方法：底面周長×高（如圖6）。

圖6

第三層次：小結。

師：同學們，我們是怎樣得到側面積的計算方法的？

生：通過想象，畫出圖形后，得到了側面積的另一種計算方法。

（教師板書：展開想象，畫出草圖）

2.如圖7，一個長方體的底面是面積為100平方厘米的正方形，它的側面展開圖正好是一個正方形，這個長方體的表面積是多少平方厘米？

圖7

第一層次：小組討論，畫圖發現長方體的底面邊長是10 厘米，展開圖邊長是40 厘米，可以求出表面積。

第二層次：改變底面積數據，100平方厘米改為300平方厘米。

第三層次：再次改變底面積數據，300平方厘米改為a平方厘米。

3.學校總務主任做了一個臺階的模型，要求大家幫忙算算，體積是多少？

圖8

生：可以把這個臺階分成兩個長方體，再把它們的體積相加。

（學生上臺添加輔助線，將臺階分成長、寬、高分別為10 厘米、5 厘米、1.5 厘米和10 厘米、2 厘米、1.5厘米的兩個長方體）

師：還可以怎樣分？

（學生跑上臺又添了一條輔助線，將臺階分成長、寬、高分別為10 厘米、3 厘米、2 厘米和10 厘米、3厘米、1.5厘米的兩個長方體）

生：還能先把這個臺階補成一個長方體，長是10厘米，寬是5厘米，高是3厘米。再減去一個長方體，長是10厘米，寬是5-2=3（厘米），高是1.5厘米。

生：我覺得分好后還可以拼在一起，就變成一個長方體了，這個長方體的長是10 厘米，寬是5+2=7（厘米），高沒變，還是1.5厘米。

生：我想明白了，就是先分后移，這樣是可以拼成一個長方體，算起來也簡單了。

……

【課后反思】

這組練習題由淺入深、由易到難，充分體現了“不同的人在數學上得到不同的發展”的要求。

第1 題的第一個層次是基本題訓練，是每個學生都能達到的基本要求。第二個層次，我們意圖拓展側面積的思考路徑，拓展學生的思維空間，也為即將學習圓柱體的側面積埋下伏筆，滲透立體圖形知識。第三個層次，進行適時小結，幫助學生提升解題水平。

第2 題也有三個層次，第一個層次是“展開想象，畫出草圖”這一策略的活學活用，讓學生畫出圖形，根據圖形思考，發現一個正方形的面積是100平方厘米，正方形的邊長就是10 厘米，從而找到大正方形的邊長是40 厘米，順利求出長方體的表面積。第二個層次改變數據，100平方厘米改為300平方厘米，300 平方厘米不是某個數的平方，用現有的經驗求不出底面的邊長，怎么辦？遇到新問題，尋求新思路，逐步提升學生的思維層次，培養學生思維的靈活性和變通性。第三個層次用字母來表示底面積，由具體到抽象，逐級而上，培養了學生的抽象思維能力。

第3題是求不規則物體的體積。解決這個問題必須綜合運用體積的相關知識。學生通過觀察，用切分相加、先補后減的方法順利求出了這個物體的體積。

總而言之，在復習課教學中，我們要將分散的知識點合理歸并，整體呈現，突出知識間的內在聯系和本質區別。在整合知識的基礎上設計發展思維能力的習題，促使學生在“舊知”的復習中經歷“新知”的生長。