例析等積法的解題技巧

?江蘇省徐州市睢寧縣新城區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校 朱紅艷

等積法是等面積法的簡稱，等積法在初中平面幾何類解題中應(yīng)用十分廣泛，例如著名的勾股定理的推導(dǎo)與證明，就是以面積公式及由面積公式推得的相關(guān)性質(zhì)為基礎(chǔ)的.運(yùn)用等積法解題的關(guān)鍵是，對同一幾何圖形的面積采用不同的分解、計(jì)算方法，通過轉(zhuǎn)換與推導(dǎo)得出面積關(guān)系式或者線段與角之間的關(guān)系式.下面通過典型例題來探討并總結(jié)運(yùn)用等積法解決相關(guān)問題的方法與技巧.

1 運(yùn)用等積關(guān)系求面積

對于不能直接用公式計(jì)算的多邊形面積類問題，通常是在準(zhǔn)確理解題意的基礎(chǔ)上，先畫出示意圖，然后根據(jù)多邊形的性質(zhì)與特點(diǎn)，通過添加輔助線，將多邊形巧妙地分解為若干個(gè)三角形，再求出三角形的面積，最后把若干個(gè)三角形相加.解題的關(guān)鍵是充分利用由面積公式推導(dǎo)出的相關(guān)性質(zhì)，尋找圖形內(nèi)或圖形之間的關(guān)系[1].

圖1

例1已知∠ACB=90°，Rt△ABC的三邊AC，BC，AB的長分別為三個(gè)連續(xù)的整數(shù)，以AC為直徑作圓，交AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作圓的切線交BC于點(diǎn)E，求四邊形ADEC的面積.

解：依題意設(shè)AC=x-1，BC=x，AB=x+1.

因?yàn)?∠ACB=90°，所以AC2+BC2=AB2.

即(x-1)2+x2=(x+1)2.

解得x1=0(舍)，x2=4，即x=4.

所以AC=3，BC=4,AB=5.

如圖1,連結(jié)CD，因?yàn)锳C為⊙O的直徑，所以 ∠ADC=90°.所以∠ACB=∠ADC=90°.

因?yàn)锳C為直徑，∠ACB=90°，所以BC切⊙O于點(diǎn)C.

圖2

例2如圖2，已知△BOF，△BOD，△AOF，△COE面積分別為30，35，40，84，求△ABC的面積.

解：設(shè)S△AOE=y，S△COD=x.由面積比關(guān)系，列方程組，得

解之得x=70，y=56.

所以S△ABC=30+40+35+70+84+56=315.

運(yùn)用技巧:例1首先利用勾股定理及已知條件“三邊長分別為三個(gè)連續(xù)整數(shù)”求得三邊長，然后通過添加輔助線CD，把四邊形ADEC分解為兩個(gè)三角形，只要求出兩個(gè)三角形的面積即可得到四邊形的面積；例2是運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”思想，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，根據(jù)三角形的面積比列出方程組求解，顯得更加簡捷.

2 運(yùn)用等積變形證面積

在一些平面幾何證明題中，有時(shí)需要證明兩個(gè)不同圖形的面積相等，這時(shí)只需要對待證的圖形進(jìn)行簡單的分割，利用圖形等面積變形或轉(zhuǎn)換的處理，即可使問題得證.

例3如果延長四邊形ABCD的各邊，使A，B，C，D分別成為DE，AF，BG，CH的中點(diǎn)，那么四邊形EFGH的面積是四邊形ABCD面積的幾倍？

圖3

解：如圖3，連接AC，BD，BE.因?yàn)锽A，EB分別是△EBD與△AEF的中線，所以S△BAE=S△BAD，S△EFB=S△BAE.

所以S△AEF=2S△BAD.

同理可得

S△BFG=2S△ABC,S△CGH=2S△BCD，S△DHE=2S△CDA.

所以S△AEF+S△BFG+S△CGH+S△DHE+S四邊形ABCD

=2(S△ABD+S△ABC+S△BCD+S△CDA)+S四邊形ABCD

=2×2S四邊形ABCD+S四邊形ABCD.

即S四邊形EFGH=5S四邊形ABCD.

答：四邊形EFGH的面積是四邊形ABCD面積的5倍.

圖4

例4如圖4，已知在四邊形ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)E，延長DB到點(diǎn)G，使BG=DE，延長CA到點(diǎn)F,使AF=CE，連接FG.

求證：S△EFG=S四邊形ABCD.

證明：連接AG，CG.

因?yàn)锽G=DE，又△ABG與△ADE有共同頂點(diǎn)A，所以S△ABG=S△ADE.

同理，S△AFG=S△CGE，S△CBG=S△CDE.

所以S△CDE+S△CEB=S△CBG+S△CEB.

即S△CDB=S△CEG.

所以S△EFG=S△ABG+S△AFG+S△ABE=S△ADE+S△CEG+S△ABE=S△ADE+S△CDB+S△ABE=S四邊形ABCD.

運(yùn)用技巧:例3和例4都是證明三角形與四邊形的面積之間存在某種關(guān)系，都運(yùn)用了等積變形的方法.先將四邊形分割成若干個(gè)小三角形，而這些小三角形面積又成對相等；最后采用等積代換與組合的方法，證明了三角形與四邊形之間的面積關(guān)系.

圖5

3 運(yùn)用等積互換證線段

對于有些難以直接證明的兩條(或幾條)線段相等的問題，可以采用間接證明的方法，先證明兩個(gè)圖形的面積相等，再由這兩個(gè)圖形的相關(guān)線段相等，推證出待證的兩條線段也相等.

例5如圖5，已知D是△ABC內(nèi)∠BAC平分線上的一點(diǎn)；CE∥DB，交AB的延長線于點(diǎn)E；BF∥DC，交AC的延長線于點(diǎn)F.求證BE=CF.

證明：如圖6,設(shè)CE與BF的交點(diǎn)為G.連接DG，DE，DF.

圖6

因?yàn)镈是∠BAC平分線上的點(diǎn)，所以∠BAD=∠DAC.過D分別作DM⊥AB，DN⊥AC，M，N為垂足，則DM=DN.

因?yàn)镃E∥DB，BF∥DC，所以四邊形CDBG為平行四邊形，于是S△BDG=S△CGD.

又因?yàn)锽D∥CE，所以S△BDE=S△BDG.

同理，可證S△DCF=S△DCG.

因此S△BDE=S△DCF，即

所以BE=CF.

圖7

解：令x=S△BOC,y=S△COA,z=S△AOB,則

所以

=92+2=94.

圖8

運(yùn)用技巧:例5、例6運(yùn)用了等積變換法.例5首先證明了兩個(gè)三角形面積相等，而這兩個(gè)三角形的高又是已知且相等的，然后推證出它們的底相等，最后推證出兩條線段相等；例6利用了“等底”或“等高”的三角形的面積比，將線段比轉(zhuǎn)化為面積比，最后又將面積比轉(zhuǎn)換為線段比的新的關(guān)系，證法更加巧妙靈活.

4 運(yùn)用等積代換作圖

運(yùn)用等積代換的方法，可以按照題目的要求，作一個(gè)m邊形，使它和已知n邊形的面積相等.

例7作一個(gè)四邊形,使它和已知的五邊形面積相等.

已知：五邊形ABCDE(如圖8)，求作一個(gè)四邊形，使它和五邊形ABCDE面積相等.

圖9

作法：如圖9，連接BD，作CF∥DB，交AB的延長線于點(diǎn)F，連接DF，得到的四邊形AFDE就是所求作的四邊形.

證明：S四邊形AFDE=S四邊形ABDE+S△FDB，

S五邊形ABCDE=S四邊形ABDE+S△CDB.

因?yàn)椤鱂DB與△CDB有公共的底DB和相等的高，所以S△FDB=S△CDB.

因此S四邊形AFDE=S五邊形ABCDE.

所以四邊形AFDE就是所求作的四邊形.

例8以已知三角形的一邊為腰，作一個(gè)和這個(gè)三角形面積相等的等腰三角形.

圖10

已知△ABC，求作△A′BC，使CA′=CB，且△A′BC與△ABC的面積相等.

作法：如圖10.①過A點(diǎn)作DE∥BC；②以C為圓心，以CB為半徑作弧交DE于A′；③連接A′B和A′C.△A′BC就是所求作的三角形.(若BC

證明：等底等高的三角形面積相等.(證明過程略)

運(yùn)用技巧:例7和例8既是作圖題又是證明題，分別依據(jù)的是“公共的底和相等的高”“等底等高的三角形面積相等”等性質(zhì).由此可見，如果已知一個(gè)n邊形(n是大于3的整數(shù))，用上述方法可以作出一個(gè)和它等積的n-1邊形；如果n-1仍舊大于3，那么再用上述方法又可以作出一個(gè)和它等積的n-2邊形；以此類推，最后就可以作出與已知n邊形等積的三角形.進(jìn)而還可以作一個(gè)三角形，使它和已知多邊形等積；作一個(gè)m邊形，使它和已知n(3≤m

從上述各例的技巧分析中可以看出，運(yùn)用等積法解題具有極大的便捷性與優(yōu)越性，掌握了“四運(yùn)用”的解題技巧，能夠幫助我們拓寬思路，提高快速、準(zhǔn)確解題的能力.