例析二元一次方程(組)的應用

?甘肅省武威市天祝藏族自治縣新華中學 陳永華

數學核心素養反映數學本質與數學思想，是在數學學習過程中形成的，在教學中教師要注重對學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題能力的培養.因此，在課堂教學中，教師要善于利用典型例題激發學生的思維.筆者借助二元一次方程(組)在解題中的應用進行探究以供研討.

1 例題分析

例1若|x+y+1|與(x-y-3)2互為相反數，則(3x+y)3的值為( ).

A.-1 B.1 C.-27 D.27

分析：本題只給出一個條件“|x+y+1|與(x-y-3)2互為相反數”，學生要在充分理解“互為相反數”的前提下才能得到“|x+y+1|+(x-y-3)2=0”，進而根據非負性特點列方程并解出，最后才能求出(3x+y)3的值.

解：由|x+y+1|與(x-y-3)2互為相反數，得

|x+y+1|+(x-y-3)2=0.

又因為|x+y+1|≥0，(x-y-3)2≥0，所以x+y+1=0，x-y-3=0.

于是有

解之得

所以(3x+y)3=[3×1+(-2)]3=1.

故本題選：B.

點評：一個問題中出現了相等關系，而未知數難以直接求出，那么可以借助一元二次方程組解決[1].但是，這樣的解題方法常與相反數、絕對值、同類項等基礎知識結合在一起.這樣一來，很多學生在沒有牢固掌握這些基礎知識的前提下，順利解題的難度較大.因此，牢固掌握基礎知識非常關鍵.

分析：本題給出的方程組中有未知系數，所以直接解方程并不是最佳方法.不妨先將未知系數看成已知，按照常規方法解出方程，再根據題目給出的“有整數解”“正整數a”進行討論.

解：將兩個方程相減，得

(ax+2y)-(3x+2y)=10-0.

即(a-3)x=10.

因為方程組有整數解，且a是正整數，所以在滿足x為整數的前提下，a=1，2，4，5，8，13.

因為方程組的整數解指的是x，y同時是整數，所以a=2，4，8.

點評：分類討論多伴隨不定方程(組)而出現，這時需要根據一些限制條件對所有解的可能性進行分類討論，從而獲得滿足題意的可行性方案[2].當給定的條件是自然數、非負整數等時，需要從0開始分析；當給定的條件是正整數等時，那么就需要從1開始分析.

例3小明看中了一套新款春裝準備進貨，成本共500元，專賣店店員告訴他在上市時通常將上衣按百分之五十的利潤定價，褲子按百分之四十的利潤定價.由于新年將至，為吸引顧客，兩件衣服均按九折出售，這樣專賣店共獲利157元，但店員有事走開了，你能幫他算出每件上衣的成本嗎？

分析：本題是與實際生活高度結合的應用題，數字較多，且它們之間的關系也比較復雜.面對這種問題，應該將各種量及其數值用表格的方式列舉并對應，從而幫助學生梳理題中信息.另外，不難從題中看出，共有兩條列方程的主線.其一是“成本共500元”；其二是“共獲利157元”.所以，只需根據這兩個條件，結合表格中的數據列出方程并解出即可.

解：能.設每件上衣成本為x元，每條褲子成本為y元，具體數據見下表.

上衣/件褲子/條成本/元xy定價/元(1+50%)x(1+40%)y售價/元0.9(1+50%)x0.9(1+40%)y利潤/元0.9(1+50%)x-x0.9(1+40%)y-y

依題意可得

解之得x=300.

答：每件上衣的成本是300元.

點評：像二元一次方程(組)的實際問題中往往有著層次分明的兩個條件，如“第一次運輸360噸化肥，裝載了6節火車車廂和15輛汽車”和“第二次運輸440噸化肥，裝載了8節火車車廂和10輛汽車”，有著非常明顯的兩層意思，而這就給解題者提供了“列一元二次方程(組)”解決問題的思路.

例4某化肥廠第一次運輸360噸化肥，裝載了6節火車車廂和15輛汽車；第二次運輸440噸化肥，裝載了8節火車車廂和10輛汽車.每節火車車廂與每輛汽車平均各裝多少噸化肥？

分析：本題是學生比較常見的一元二次方程(組)與實際問題相結合的問題.首先通過分析題意不難發現，題中有兩層信息“第一次運輸360噸化肥，裝載了6節火車車廂和15輛汽車”“第二次運輸440噸化肥，裝載了8節火車車廂和10輛汽車”.它們正好對應了兩個方程.當然，要列出這兩個方程，學生要有善于發現的學習品質.

解：設每節火車車廂平均裝x噸化肥，每輛汽車平均裝y噸化肥.

依題意可得

解之得

答：每節火車車廂平均裝50噸化肥，每輛汽車平均裝4噸化肥.

點評：本題需要學生用敏銳的數感去發覺題中所給出的兩層信息，而這些數感正是來源于生活感悟和解題訓練.所以，日常的觀察、感悟及解題訓練非常重要.

2 應用策略說明

二元一次方程(組)是初中數學的重要內容，是考試中的高頻考點，其考查形式多種多樣，本文中研究的二元一次方程(組)的應用就是其中之一.如何有效解決這一類問題，筆者就其策略提出如下幾點建議.

(1)分析題意，找出題中含有“兩層”意思的語句，用序號①②進行標注，培養學生抓住題中重要信息的能力.

(2)利用表格將題中分層的題意更直觀地體現出來，讓數據之間存在的數量關系更加明顯.

(3)按照解方程應用題的設、解、答等步驟完成接下來的過程.

(4)分類討論是解決初中數學問題非常重要的方法，但是學生對這種方法的掌握情況不容樂觀[3].作為一線數學教師，不僅要注重發散思維的培養，讓學生多從幾個角度思考問題，而且要經常性地利用練習訓練學生的思維，讓學生認識到分類討論的重要性，繼而通過一步步訓練提高他們的思維能力[4].

(5)教師在實際教學時應靈活呈現各種類型的二元一次方程問題，為學生順利解題不斷積累經驗.

(6)與二元一次方程(組)應用結合的問題比較多，且大多內容比較基礎.所以，學生要想靈活解答這些問題，還必須牢固掌握與二元一次方程(組)有關的知識點.只有這樣，才能為分析和解決實際問題奠定基礎.

教師不僅要注重學生基礎知識的掌握和基本技能的訓練與提升，而且要幫助學生在學與練的過程中形成基本活動經驗和獲得基本思想.所以，教師可以放手讓學生對常見題型及其變式進行歸類，從而讓他們在解題和應用方面不斷靈活“切換”.