二次函數中動點圖形的面積最值問題探究

?揚州大學數學科學學院 胡雅雯

1 真題呈現

[2021年重慶市中考數學(B卷)第25題]如圖1所示，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx-4(a≠0)與x軸交于點A(-1,0),B(4,0),與y軸交于點C．

圖1

(1)求該拋物線的解析式；

(2)直線l為該拋物線的對稱軸,點D與點C關于直線l對稱,點P為直線AD下方拋物線上一動點，連接PA,PD,求△PAD面積的最大值.

2 解法探究

所以,該拋物線的解析式為y=x2-3x-4.

本題第(2)問可采取以下解法.

2.1 補形法

2.1.1 解法提煉

在平面直角坐標系中求“斜”△APD的面積時，可以將該三角形補形為一個易于計算面積的“規則圖形”,然后將補后圖形的面積與所補圖形的面積相減，從而得出結果.此種方法可化未知為已知、化復雜為簡單,實現巧妙求解.

2.1.2 試題解析

圖2

如圖2所示，過點P作PF垂直于y軸，交AD的延長線于點F.易求得直線AD的解析式為y=-x-1.

因P為直線AD下方拋物線上一動點，故設P(m,m2-3m-4)(-1

故PF=-m2+3m+3-m=-m2+2m+3.

所以S△APD=S△APF-S△PDF

=-2(m-1)2+8.

所以當m=1時，△PAD面積的最大值為8.

2.2 “鉛錘高，水平寬”面積法

2.2.1 解法提煉

如圖3所示,過△APD的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，則外側兩條直線之間的距離a就叫作△APD的“水平寬”，中間這條垂線與AD相交于點E,則線段PE的長度h就叫作△APD的“鉛垂高”.由此可以得出一種計算三角形面積的方法:

圖3

即三角形的面積等于其水平寬與鉛垂高乘積的一半[1]．

2.2.2 試題解析

如圖4所示，過點P作PE垂直于x軸交直線AD于點E,易求得C(0,-4),D(3,-4)及直線AD的解析式為y=-x-1.因點P為直線AD下方拋物線上一動點，故設P(m,m2-3m-4)(-1

PE=-m-1-(m2-3m-4)=-m2+2m+3.

=-2(m-1)2+8.

所以當m=1時，△PAD面積的最大值為8.

圖4

2.3 公式法

2.3.1 解法提煉

本題可利用點到直線的距離公式求出△APD的高，然后結合配方法，求得高的最大值或直接求△APD面積的最大值.

圖5

推導：如圖5所示，設AD所在的直線方程為y=kx+b,過點P作AD的垂線PG，垂足為G,則直線PG的解析式為

2.3.2 試題解析

易求得AD的斜率k=-1.因點P為直線AD下方拋物線上一動點，故設P(m,m2-3m-4)(-1

=2|-m2+2m+3|

=-2(m-1)2+8.

所以當m=1時，△APD面積的最大值為8,此時P點的坐標為(1,-6).

2.4 切線法

2.4.1 解法提煉

如圖6所示，在△APD中，底邊AD是確定的，平移直線AD，當其與拋物線相切于點P時，AD邊上的高取最大值，即△APD的面積取最大值.

圖6

2.4.2 試題解析

如圖7所示，過點P作PG⊥AD，PH垂直于x軸，分別交AD于點G，H.過點P作直線l1平行于AD,當l1與拋物線相切時，AD邊上的高PG取最大值.

易求得C(0,-4),D(3,-4)及直線AD的解析式為y=-x-1，故設直線l1的解析式為y=-x+n.

圖7

令Δ=4-4(-n-4)=0,解得n=-5.

所以l1的解析式為y=-x-5,點P的坐標為(1,-6)，點H的坐標為(1,-2),此時高PG取到最大值，最大值為

PG=PH·sin∠PHD

=PH·sin 45°

即當點P的坐標為(1,-6)時,△PAD面積的最大值為8.

2.5 “中橫結論”法

2.5.1 解法提煉

ax2+(b-k)x+c-m=0.

2.5.2 試題解析

如圖8所示，過點P作PK垂直于x軸，交x軸于點K,過點D作DM垂直于x軸，交x軸于點M.根據上述“中橫結論”得

圖8

所以P(1,-6)時,S△APD取最大值，此時

S△APD=S△APK+S梯形MDPK-S△ADM

即當點P的坐標為(1,-6)時,△PAD面積的最大值為8.

2.6 “于函定理”法

2.6.1 解法提煉

“于函定理”：如圖9所示，在拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)上任意取三點A,P,D，過P作對稱軸的平行線，交直線AD于點E，設PE長為d,點A，D到直線PE的垂線段長分別為m1，m2，則有d=|a|·m1·m2[3].

圖9

利用“于函定理”，可以推導出一種新的計算三角形面積的公式.

簡證：由圖可知，

由“于函定理”，得d=|a|·m1·m2.

顯然有m1=|x1-x2|,m2=|x2-x3|,

m1+m2=|x1-x3|.

2.6.2 試題解析

由(1)求得該拋物線的二次項系數a=1.

因點P為直線AD下方拋物線上一動點，故設P(m,m2-3m-4)(-1

=2|m-3||-1-m|

=-2(m-3)(m+1)

=-2(m-1)2+8.

即當m=1時，△PAD面積的最大值為8,此時點P的坐標為(1,-6).

3 解題感悟

綜合分析以上六種解法，數形結合與轉化思想是破解此類問題的“金鑰匙”.在解題時，一是要以轉化思想為引領，合理構造輔助線，將幾何問題代數化，復雜問題簡單化，實現由形轉數；二是要以數形結合思想為橋梁，將抽象的數學語言與直觀的圖形相結合，使抽象問題具體化，實現由形析數.此外，二次函數中動點圖形的面積最值問題題目變化無窮，且上述解題方法在最優題型適用上存在一定差異，建議教師在教學中既要帶領學生深入剖析題目本質，也要引導學生熟練掌握以上解法，以便靈活應對不同題目.