基于素養導向和能力立意的高考數學備考策略

摘 要：解析幾何解答題在高考卷中作為選拔性題目有著非常重要的地位和意義，往往以計算量大，邏輯推理性強和方法靈活著稱.文章將2017-2021年全國卷中解析幾何解答題做了歸納分析，對個別經典題做了一題多解分析，將其通性通法進行歸納總結，為一輪復習備考提供參考.

關鍵詞：解析幾何；課程標準；解答題；分類綜述

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2022）34-0060-06

收稿日期：2022-09-05

作者簡介：巨小鵬，陜西省漢中人，碩士，中學二級教師，從事高中數學教學研究.

基金項目：陜西省教育科學“十四五”規劃2021年度課題“教材‘閱讀材料在數學學習中的滲透與引領策略研究”（項目編號：SGH21Y1194）.

平面解析幾何是選擇性必修主題二幾何與代數的內容，是創立微積分的基礎.其方法就是通過建系，借助直線、圓與圓錐曲線的幾何特征，導出相應方程，再用代數的方法研究其幾何性質，完美體現了數形結合思想.學生在學習過程中往往有這樣的幾個難點：一是對基本概念和基本公式理解不夠深刻；二是對解析幾何中所要用到的思想和方法掌握不夠；三是代數運算能力不夠.針對這些難點，依據新課程標準，理解基本概念，依托高考真題，總結規律，掌握方法，把握其內在邏輯，優化計算方法.

1 精準領會新課程標準要求

1.1 新舊課程標準教學要求區別

新課標刪除了“體會斜截式與一次函數的關系”，明確了“掌握平面上兩點的距離公式”，增加了能解決一些“實際問題”.對知識內容的整合，用代數法研究幾何問題，體現數形結合思想是本章內容的核心，這種思想貫穿該內容教學的始終.新課標對拋物線的要求是了解，難度也有所降低；舊課標“能用坐標法解決一些與圓錐曲線有關的簡單幾何問題（直線與圓錐曲線的位置關系）和實際問題”降為“了解橢圓和拋物線的簡單應用”，增加了“平面解析幾何的形成與發展”，引導學生感悟數學的文化價值.刪除了“曲線與方程”相關內容.

1.2 四了解、四探索和四能

了解：了解圓錐曲線的實際背景；了解拋物線與雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，以及它們的簡單幾何性質；了解拋物線與雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，以及它們的簡單幾何性質；了解橢圓、拋物線的簡單應用.

探索：探索確定直線位置的幾何要素；探索并掌握直線方程的幾種形式（點斜式，兩點式及一般式）；探索并掌握平面上兩點間的距離公式，點到直線的距離公式；探索并掌握圓的標準方程與一般方程.

能：能根據斜率判定兩條直線平行或垂直；用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標；根據給定直線、圓的方程，判斷直線與圓，圓與圓的位置關系；能用直線和圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題.

重點提升學生直觀想象、數學運算、數學建模、邏輯推理和數學抽象素養.

1.3 高考考情統計分析

從統計明顯看出：（1）解答題第一問考查軌跡方程比較多，難度不大，考查基礎概念，基本方法；（2）定點（值）問題也是第二問常考類型，然后是范圍（最值）問題，其中可能與函數最值或者不等式交匯考查；（3）探索性問題也值得關注，試題本身的開放性只有在探索中才能體現出學生思維的方向性，作為選拔性考試，難度稍大.

2 幾個常見問題多視角通法分析

2.1 解決范圍（最值）問題中的多個視角

求范圍（最值）問題常常將目標轉化至函數或者不等關系，此時審視角度較多，比如利用幾何特征數形結合、判別式、求值域（二次函數和求導函數法較多）、基本不等式、正余弦定理、三角換元（參數方程法較多）、利用題中隱含條件建立不等關系或者利用線性規劃及其綜合方法解決問題.