邁克耳孫干涉儀實驗常見教學問題的探討

樊代和，魏 云，沈軍峰，劉其軍，賈欣燕

(西南交通大學 a.物理國家級實驗教學示范中心；b.物理科學與技術學院，四川 成都 611756)

盡管邁克耳孫干涉儀在1887年就問世了，但其物理思想、實驗技術方法及相關應用等仍在近代物理學的發(fā)展中發(fā)揮著重要作用. 例如，2016年美國物理學家雷納·韋斯(Rainer Weiss)、巴里·巴里什(Barry Clark Barish)和基普·索恩(Kip Stephen Thorne)通過激光干涉儀首次探測到引力波[4]，并因此獲得了2017年的諾貝爾物理學獎. 由于邁克耳孫干涉儀是典型的分振幅干涉裝置，利用該裝置可以完成很多物理量的測量，從而也使得邁克耳孫干涉儀實驗成為國內理工科高校均開設的大學物理實驗項目之一.

隨著大學物理實驗教學工作的開展，邁克耳孫干涉儀實驗中的系列問題也相繼被國內教師進行了詳細研究. 例如，如何產生非定域干涉(等相位面為雙曲旋轉面)[5]，產生等傾、等厚干涉的條件[6]，干涉儀調節(jié)的改進方法[7]，以及邁克耳孫干涉儀中補償板的作用[8]，等等. 另外，邁克耳孫干涉儀在測量領域中也有廣泛應用，例如，測量高壓汞燈雙黃線波長差[9]、透明介質厚度、折射率、液體質量分數(shù)[10]、固體楊氏彈性模量[11]、金屬材料的線膨脹系數(shù)[12]等. 然而，在邁克耳孫干涉儀調整和使用的教學過程中發(fā)現(xiàn)，仍存在一些未被全面和準確闡述的問題. 例如，干涉儀出現(xiàn)的光點數(shù)量和亮度、分束鏡的透射率與反射率的比值和觀察屏對實驗現(xiàn)象的影響，以及測量透明介質厚度時的誤差來源，等等. 基于此，本文分析了出現(xiàn)以上問題的原因，并給出了相應的解決方案.

1 邁克耳孫干涉儀實驗教學內容簡介

邁克耳孫干涉儀實驗在大學物理實驗課程中的典型教學內容為：分振幅干涉與點光源非定域干涉的原理講解，干涉儀的調節(jié)和讀數(shù)方法，激光波長的測量，利用白光干涉測量薄透明介質折射率或厚度[13-15]. 其光路如圖1所示，光源發(fā)出的激光經擴束鏡F入射到分束鏡BS上，經BS反射和透射的光線分別經平面反射鏡M1(動鏡)和M2(定鏡)反射后，在觀察屏P上相遇并干涉. 其中，在BS和M2之間的補償板G(與分束鏡BS具有相同的材料和厚度)具有色散補償功能.

圖1 邁克耳孫干涉儀的光路圖

在干涉儀的光路調節(jié)過程中，由于激光不能被直視，因此實驗前需將可降低激光強度的光學元件(護目板)放置于觀察屏P位置，以觀察經M1和M2反射回來的光點. 調節(jié)M2的俯仰和傾斜旋鈕，使觀察到的2個最亮光點完全重合. 此時，將護目板替換為毛玻璃，就可以觀察到點光源的非定域干涉同心圓環(huán)，如圖2所示.

圖2 邁克耳孫等傾干涉圖樣

通過調節(jié)動鏡M1的位置，觀察并記錄干涉圓環(huán)“縮進”或“冒出”個數(shù)，即可測量得到入射激光的波長. 而在觀察白光的等厚干涉時，首先利用激光光源產生等傾干涉，調節(jié)動鏡M1使干涉圓環(huán)“縮進”到極值；然后將激光換為擴展白光光源，同時微調M2，即可在P位置直接觀察到白光的等厚干涉圖樣. 部分高校在觀察白光干涉的基礎上，還開展了透明薄玻璃片厚度的測量[15]等實驗內容.

2 光點數(shù)量及亮度問題

2.1 光點數(shù)量問題

在邁克耳孫干涉儀的實驗過程中，經常會出現(xiàn)多個光點的問題，如圖3所示. 為解釋該現(xiàn)象，分別分析了入射光經動鏡M1和定鏡M2反射出的光線并最終到達護目板的光路圖，如圖4所示.

圖3 多個光點的實驗現(xiàn)象

(a)經M1反射

設BS的前表面為U，后表面鍍膜面為D. 需要說明的是，圖4僅給出了最大光強的光路示意圖，即忽略強度相對較弱的其他光線的貢獻. 從圖4可以看出：由于分束鏡BS有一定厚度，入射光線經BS的前后表面反射后，再經平面鏡M1和M2反射，最后在觀察屏處形成多個光點[13]；當M1和M2不嚴格垂直時，觀察到反射回來的光點不能完全重合，進而不能形成干涉，且光點之間的距離與分束鏡的厚度和折射率有關(根據(jù)菲涅耳公式，入射光線在BS中的傳播路徑與BS的折射率和厚度有關).

2.2 亮度問題

如圖4所示，假設入射光的光強為I0，BS前后表面的強度透射率分別為tU和tD(不考慮損耗的情況下，強度反射率為rU=1-tU，rD=1-tD)，補償板前后表面的透射率與BS前表面U的透射率相同. 經計算，可得出經M1和M2反射的部分光點強度，如表1所示.

表1 經M1和M2反射的部分光點強度

1)經M1反射：I10表示中央光點強度，I1-1和I1-2分別表示中央左側第1個光點和第2個光點的強度，I11和I12分別表示中央右側第1個光點和第2個光點的強度.

2)經M2反射：I20表示中央光點強度，I2-1和I2-2分別表示中央左側第1個光點和第2個光點的強度，I21和I22分別表示中央右側第1個光點和第2個光點的強度.

為了能夠清楚地反映表1中光點亮度的相對值，假設入射光光強為I0=1 000 a.u.， BS前后表面的強度透射率分別為tU=0.96，tD=0.5，代入表1中的各項表達式，可計算得到光線強度值.從表1中可以看出光點強度具有以下特點：

1)經M1反射產生的中央光點亮度大于經M2反射產生的中央光點亮度.

2)經M1和M2反射產生的光點，均呈現(xiàn)中央最亮，左右亮度逐漸降低的現(xiàn)象.

3)經M1反射產生的中央左側第1個光點亮度，大于經M2反射產生的中央左右兩側第1個光點亮度.

4)經M1反射產生的中央右側第1個光點亮度，和經M2反射產生的中央左右兩側第1個光點的亮度幾乎相同.

通過上述光點的亮度特點，可以直接判斷圖像中哪些光點是經M1產生的，哪些光點是經M2產生的. 實際實驗中觀察到的實驗現(xiàn)象(圖3)和上述理論分析的特點基本一致.

3 分束鏡透射率與反射率比值的影響

邁克耳孫干涉儀中，定義分束鏡BS的透射率與反射率比值為γ=tD/(1-tD).當tD=0.5時，γ=1.有些學生認為只有γ=1時，才會使經平面鏡M1和M2反射的光線強度相同，進而使干涉圖樣的可見度V=1.但根據(jù)表1中的表達式可知：當tU=1時，I10=I20=I0tD(1-tD)，即在入射光光強相同的情況下，不論tD取何值，經平面鏡M1和M2反射的光線強度均相同，即理論上干涉圖樣的可見度均為1，這與學生的固有認知不同. 實際上，tD的取值將會影響反射光線的相對強度值，如圖5所示.只有當tD=0.5時，才會使得參與干涉的光束強度值達到最大，即在該情況下，觀察屏上干涉亮紋的強度可達到最大，從而更加便于實驗測量.

圖5 I10/I0隨tD的變化

4 觀察屏對實驗現(xiàn)象的影響

使用激光經過擴束鏡后的光作為光源，當邁克耳孫干涉儀調節(jié)好后，如在圖1所示的P位置放置毛玻璃，可觀察到圖2所示的等傾干涉條紋；如在P位置放置護目板，則只能觀察到圖3所示的光點. 這是由于當使用毛玻璃時，根據(jù)非定域干涉原理，相當于在P位置放置了成像平面，且光線的傳播也在到達毛玻璃后被終止，因此透過毛玻璃，觀察到的是點光源在成像平面上形成的等傾干涉圓環(huán). 而當在P位置放置護目板時，護目板所起的作用為衰減激光光強(即光線傳播并未終止)，因此當透過護目板觀察光線時，眼睛將自動對焦于光強最大值的位置，此位置為點光源經M1(M2經M1對稱化處理)反射后的等效位置，因此觀察到的是光點而非干涉圖樣.

5 利用白光干涉測量透明介質厚度時的誤差來源

利用邁克耳孫干涉儀產生的白光等厚干涉測量玻璃厚度(已知玻璃折射率)的實驗過程中，經常會出現(xiàn)以下問題：當觀察白光干涉時，由于白光光源具有一定的相干長度，使得在調節(jié)動鏡M1的微調手輪(位置變化讀數(shù)的最小分度為0.000 1 mm)時，M1會在一定范圍內移動，且在移動范圍內均能觀察到白光干涉條紋(圖6)，從而導致動鏡M1的位置讀數(shù)不準確，進而引入玻璃厚度測量誤差. 該問題是由于未能準確理解白光等厚干涉的原理導致. 如圖6所示，在未插入待測玻璃時，邁克耳孫干涉儀的白光等厚干涉應調整為圖6(b)所示的干涉圖樣，這是由于白光的0級干涉應處于視場的正中央，其他級次的彩色干涉條紋應對稱地分布于0級干涉條紋的兩側，記錄此時M1的初始位置. 當插入待測玻璃后，由于其中1支光路的光程發(fā)生改變，從而使得白光干涉圖樣消失. 此時應根據(jù)玻璃片插入的具體位置，正確調節(jié)動鏡M1的方向，直至視場中再次出現(xiàn)圖6(b)所示的干涉圖樣. 通過以上操作，可減小M1準確位置的測量范圍，進而將玻璃厚度的測量誤差降到最低.

(a) (b) (c)

6 結束語

由于邁克耳孫干涉儀具有豐富的物理思想且應用范圍較廣，使得與邁克耳孫干涉儀相關的調整和使用實驗成為了國內各理工高校均開設的實驗項目之一. 經過近幾年對該實驗項目的教學實踐發(fā)現(xiàn)，仍存在一些問題未被全面解釋. 本文結合光路圖分析和數(shù)值計算，對其中的4個問題進行了詳細的分析和研究，并且給出了相應的解決方案. 通過4個問題的分析過程和解決方案，一方面可以幫助學生正確理解干涉相關的基礎知識，另一方面也為國內高校教師的教學工作提供一定參考.