分段插值算法在注塑機(jī)背壓控制中的應(yīng)用

張 棟， 李 春， 彭京啟， 張 玄

(1.上海電機(jī)學(xué)院機(jī)械學(xué)院， 上海 201306； 2.阿托斯(上海)液壓有限公司， 上海 201400)

引言

注塑機(jī)的生產(chǎn)工藝包括進(jìn)料、注射、保壓、回退儲(chǔ)料等工序[1-3]。在回退儲(chǔ)料過程中，要求回油背壓穩(wěn)定，進(jìn)料均勻，計(jì)量準(zhǔn)確[4]。針對(duì)這一問題，閻亞林[5]介紹了針對(duì)提高塑化計(jì)量精度的PVT計(jì)量控制理論，根據(jù)塑料體積和壓力、溫度之間的關(guān)系，修正計(jì)量行程，提高控制精度；徐小平[6]對(duì)注塑機(jī)背壓閥進(jìn)行分析和改造，改善了預(yù)塑壓力曲線；劉松良[7]利用串級(jí)PID控制原理，提出了基于速度內(nèi)環(huán)的壓力閉環(huán)控制方法，保證了全電動(dòng)注塑機(jī)注射壓力的精確控制；高華等[8]對(duì)液壓元件閥體進(jìn)行了改造，增加了動(dòng)態(tài)阻尼孔，改善了設(shè)備壓力控制的精度。然而，對(duì)閥體進(jìn)行改造的方法較復(fù)雜，且回位彈簧建壓較慢；采用V9閥的控制方案成本較高，且起調(diào)壓力偏高，無法實(shí)現(xiàn)低背壓和零背壓控制；而全電動(dòng)注塑機(jī)的背壓控制方案與傳統(tǒng)液壓式注塑機(jī)不同。

因此，設(shè)計(jì)了一種開環(huán)查表控制的背壓控制方法，利用回油流量和設(shè)定背壓力計(jì)算回油路比例換向閥開度，實(shí)現(xiàn)回油路的壓力調(diào)節(jié)。根據(jù)回油流量曲線的斜率分別選擇兩種不同的插值方法，在斜率變化較快的階段采用拉格朗日插值算法，而在曲線平緩階段采用最鄰近插值算法，從而在減小啟停階段壓力沖擊的同時(shí)減少開度表的數(shù)據(jù)容量，保證系統(tǒng)運(yùn)行的快速性和準(zhǔn)確性。

1 開環(huán)查表控制原理

如圖1所示，首先推導(dǎo)了根據(jù)回油壓力值和油缸回退速度控制背壓的理論公式；根據(jù)公式和系統(tǒng)參數(shù)，計(jì)算得到以流量和壓力為坐標(biāo)，閥芯開度為內(nèi)容的二維開關(guān)表；利用算法尋找輸入流量和壓力坐標(biāo)最近的4個(gè)表格點(diǎn)坐標(biāo)位置；使用最鄰近插值、拉格朗日插值和分段插值算法，對(duì)表格點(diǎn)對(duì)應(yīng)的閥芯開度進(jìn)行插值再輸出；搭建仿真模型，對(duì)比插值算法輸出的壓力曲線與閉環(huán)控制的壓力曲線，驗(yàn)證了注塑機(jī)背壓的開環(huán)查表控制和分段插值算法的可行性。

圖1 分段插值背壓控制流程圖Fig.1 Flow chart back pressure control

本研究采用開環(huán)查表控制方法，不對(duì)回油路壓力做閉環(huán)控制。用戶設(shè)定的背壓力看作定值，系統(tǒng)僅需要油缸的運(yùn)動(dòng)速度作為反饋信號(hào)，即要求在任意回退速度下，通過調(diào)節(jié)回油路上比例換向閥的閥芯開度，使得回油腔壓力保持恒定，并且希望該系統(tǒng)最低背壓接近0。

根據(jù)圓柱滑閥流量公式[9]：

(1)

d—— 閥芯直徑

x—— 實(shí)際的閥芯位移

δ—— 閥芯與閥體配合間隙

ρ—— 油液密度

Δp=p1-p2≈p1，p1為比例換向閥輸入端油壓；p2為換向閥輸出端油壓，由于輸出端直接接油箱，故取為0。

注射油缸運(yùn)動(dòng)公式：

Q=A1v

(2)

Ds—— 活塞直徑

ds—— 活塞桿直徑

v—— 油缸速度

由式(1)和式(2)可以得到利用注射缸回退速度(流量)和設(shè)定背壓的大小計(jì)算比例換向閥閥芯的行程公式如下：

(3)

由于δ2非常微小，因此可舍去，則公式簡(jiǎn)化為：

(4)

綜上，該系統(tǒng)利用傳感器檢測(cè)的油缸速度v和人為設(shè)定的背壓目標(biāo)值p1對(duì)換向閥開度進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)，從而調(diào)節(jié)回油路阻尼，實(shí)現(xiàn)注塑機(jī)注射缸的背壓控制。

2 分段插值算法設(shè)計(jì)

由式(4)生成的閥芯開度表坐標(biāo)是離散的，若直接查表輸出，會(huì)使得壓力曲線缺乏平滑度，且誤差較大，容易產(chǎn)生壓力沖擊。要使查表輸出的曲線平滑、沖擊小，表格密度就要增大，數(shù)據(jù)容量也會(huì)增加。由于二維表格類似于數(shù)字圖像的灰度表，對(duì)表格細(xì)化相當(dāng)于對(duì)圖像進(jìn)行縮小和放大，因此可以借鑒數(shù)字圖像處理中的插值算法對(duì)開關(guān)表進(jìn)行處理，這里采用運(yùn)用較為成熟、且計(jì)算機(jī)開銷較小的最鄰近插值算法和拉格朗日插值算法。

2.1 最鄰近插值算法

最鄰近插值算法[10]是按照距離最短原則，將模型表中距離求解點(diǎn)最近的坐標(biāo)作為求解點(diǎn)的坐標(biāo)輸出。如圖2所示，未知點(diǎn)設(shè)為點(diǎn)G，距離其最近的坐標(biāo)為A，B，C，D點(diǎn)，假設(shè)A(x1,y1),B(x2,y1),C(x1,y2),D(x2,y2)。

由圖2，由于C點(diǎn)與G點(diǎn)的幾何距離最近，因此在一次迭代時(shí)取C點(diǎn)坐標(biāo)作為G點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行輸出。為提高此算法的精度，可采用逐次最鄰近插值算法[10]，即二次迭代時(shí)以A′[x1,(y1+y2)/2]代替A點(diǎn)，B′[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]代替B點(diǎn)，D′[(x1+x2)/2,y2]代替D點(diǎn)，而C點(diǎn)不變。此時(shí)距離點(diǎn)G距離最近的是A′點(diǎn)，因此取A′點(diǎn)的坐標(biāo)輸出，通過增加迭代次數(shù)提高了插值精度。

圖2 逐次最臨近插值和拉格朗日插值Fig.2 Nearest neighbor interpolation and Lagrange interpolation

2.2 拉格朗日插值算法

拉格朗日插值法亦稱雙線性插值法，是一種兼顧插值精度和計(jì)算機(jī)開銷的格網(wǎng)DEM插值方法[11]。拉格朗日插值法[11]利用待求像素點(diǎn)4個(gè)相鄰像素灰度在2個(gè)方向上做線性內(nèi)插，輸出像素值為距離該像素點(diǎn)最近的2×2鄰域內(nèi)采樣點(diǎn)像素的加權(quán)平均值。

如圖2所示，假設(shè)A,B,C,D這4個(gè)點(diǎn)處的函數(shù)值為：

Y1=f(x1,y1),Y2=f(x2,y1),

Y3=f(x1,y2),Y4=f(x2,y2)

(5)

(6)

則待求點(diǎn)G的插值函數(shù)值：

Z=Y1(1-u)(1-v)+Y2u(1-v)+

Y3uv+Y4(1-u)v

(7)

2.3 分段插值算法原理

最鄰近插值法計(jì)算速度快，但精度不高，結(jié)果不光滑；拉格朗日插值法精度較高，但在平穩(wěn)階段會(huì)增加不必要的計(jì)算量。為兼顧控制性能和減小微控制器的開銷，該系統(tǒng)只需要根據(jù)流量曲線的斜率變化選擇兩種不同的插值算法，在油缸運(yùn)動(dòng)的起始階段、平穩(wěn)階段和收尾階段分段插值，從而減小壓力沖擊，同時(shí)減少數(shù)據(jù)容量。

假設(shè)注射油缸流量范圍為0～200 L/min，設(shè)定回油背壓范圍是0～2 MPa，根據(jù)式(4)，可以得到一個(gè)201×21個(gè)原始數(shù)據(jù)的表格，其橫坐標(biāo)為流量，刻度為1 L/min；縱坐標(biāo)為背壓力，刻度為0.1 MPa。而表格中存放的數(shù)據(jù)即為不同流量和設(shè)定壓力下回油路比例換向閥閥芯的開度位置。但數(shù)據(jù)較為稀疏，需要系統(tǒng)根據(jù)當(dāng)前設(shè)定的壓力值和采集的流量信號(hào)，查表再插值，得到一個(gè)開度信號(hào)輸出。

1) 查找待求點(diǎn)最鄰近坐標(biāo)點(diǎn)

待求點(diǎn)的坐標(biāo)是已知的，其橫坐標(biāo)是用戶設(shè)定背壓，縱坐標(biāo)是傳感器采集換算的流量。但是其在表格中的位置是未知的，且其橫縱坐標(biāo)不一定等于表格的單位刻度，因此需要利用一定的算法查找出距待求點(diǎn)位置最近的4個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)，這4個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)值就是閥芯的開度信號(hào)。利用插值算法，可以得到待求點(diǎn)對(duì)應(yīng)的閥芯開度信號(hào)，然后輸出。

由于開關(guān)表數(shù)據(jù)量較大，通過冒泡排序法等算法計(jì)算待求點(diǎn)位置時(shí)間較長(zhǎng)，因此本研究采用“優(yōu)選法”[12]，即“黃金分割法”判定待求點(diǎn)坐標(biāo)位置。假設(shè)開關(guān)表壓力坐標(biāo)量程范圍為[0，20]，待求點(diǎn)壓力坐標(biāo)為(x，y)，算法如圖3所示。取左端點(diǎn)A為0，右端點(diǎn)B等于20。首先判定待求點(diǎn)壓力坐標(biāo)x是否大于等于黃金分割點(diǎn)，即12.36；若滿足，說明12.36≤x≤20，更新左端點(diǎn)A=12.36，右端點(diǎn)B=20，再次判斷； 若不滿足，說明0≤x≤12.36，則令左端點(diǎn)A=0，右端點(diǎn)B=12.36，再次判斷。每判斷一次，x的范圍就縮小一次，只需循環(huán)判斷幾次，即可得到距離待求點(diǎn)位置最近的4個(gè)表格坐標(biāo)位置。

圖3 “優(yōu)選法”計(jì)算坐標(biāo)位置Fig.3 Calculate coordinate by “optimization method”

2) 根據(jù)反饋曲線斜率分段插值

在求得待求點(diǎn)四周的已知點(diǎn)坐標(biāo)后，再根據(jù)斜率對(duì)輸出的閥芯開度表進(jìn)行分段插值，得到更加精確的開度信號(hào)輸出：

(8)

對(duì)微控制器而言，反饋信號(hào)曲線的斜率|k|為當(dāng)前時(shí)刻和上一周期的流量的變化值，即流量曲線的微分|ΔQ|/|Δt|。式中，δ為分段插值的權(quán)重系數(shù)，由它決定反饋曲線斜率的分界點(diǎn)，δ越大，最鄰近插值權(quán)重越大，插值速度越快，但精度會(huì)降低；δ越小，拉格朗日插值權(quán)重越大，插值精度越高，但插值速度會(huì)有一定的下降。Ym是距離待求點(diǎn)幾何距離最近的坐標(biāo)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的閥芯開度。

3 系統(tǒng)仿真與驗(yàn)證

系統(tǒng)液壓原理圖如圖4所示。

圖4中，比例換向閥采用雙通道模式，以增大回油流量，實(shí)現(xiàn)低背壓大流量的控制性能,注射油缸為雙出桿，缸筒固定。采用西門子液壓仿真軟件AMESim和MATLAB/Simulink進(jìn)行聯(lián)合仿真。參考圖4，在AMESim中搭建液壓系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型，在Simulink中搭建算法控制模塊，實(shí)現(xiàn)聯(lián)合仿真[13]，并設(shè)定仿真算法為auto，步長(zhǎng)為變步長(zhǎng)，模型如圖5所示。

1.注射油缸 2.螺桿控制液壓馬達(dá) 3.電液換向閥 4.比例換向閥 5.電子放大器 6.注射螺桿圖4 液壓原理圖Fig.4 Hydraulic schematic diagram

3.1 根據(jù)公式計(jì)算閥芯開度數(shù)據(jù)

回油路采用的比例換向閥，設(shè)定系統(tǒng)參數(shù)如表1所示[6]。

表1 注塑機(jī)背壓控制系統(tǒng)參數(shù)設(shè)定[6]Tab.1 Parameter setting of back pressure control system

將表1中的參數(shù)代入式(4)可得：

(9)

而換向閥最大行程X是2.75 mm，可得到表格中存儲(chǔ)的閥芯開度百分?jǐn)?shù)為：

(10)

3.2 利用二維插值算法計(jì)算輸出閥芯開度

已知流量坐標(biāo)范圍，壓力坐標(biāo)范圍和根據(jù)公式計(jì)算的理論閥芯開度，再以人為設(shè)定的壓力值和采集的流量信號(hào)做插值點(diǎn)，采用二維插值算法，即可求得量程范圍內(nèi)任何壓力值和流量值下系統(tǒng)應(yīng)當(dāng)輸出的閥芯開度。插值得到的閥芯開度如圖6和圖7所示。

由圖6、圖7可知，在回油背壓升高時(shí)，閥芯開度百分?jǐn)?shù)呈指數(shù)規(guī)律減小?；赜捅硥涸O(shè)置為0時(shí)，閥開度為100%。流量增大時(shí)，閥開度亦增大。最鄰近插值算法輸出的開度呈扇面狀，不夠平滑，容易產(chǎn)生壓力沖擊；而拉格朗日插值輸出開度更光滑，輸出更加線性。

3.3 不同插值算法的背壓控制效果

設(shè)定回油背壓為0.3 MPa，分別采用最鄰近插值、拉格朗日插值分段插值算法，得到的壓力控制曲線如圖8～圖10所示，并與壓力閉環(huán)控制(圖11)做比較。

由圖8可知，采用最鄰近插值算法，在啟動(dòng)階段壓力波動(dòng)最大， 最大超調(diào)量達(dá)到了0.1 MPa， 穩(wěn)態(tài)誤差0.01 MPa，曲線光滑度較差；而圖9對(duì)查表結(jié)果進(jìn)行拉格朗日插值，波動(dòng)幅度減小到0.04 MPa；穩(wěn)態(tài)誤差0.005 MPa，接近閉環(huán)控制的效果；圖10是根據(jù)流量反饋曲線分段插值，壓力曲線光滑度不如圖9所示，但分段后能減少控制器的計(jì)算量，提高系統(tǒng)反應(yīng)速度，且壓力波動(dòng)不超過0.05 MPa，建壓時(shí)間低于1 s，穩(wěn)定時(shí)間低于1.5 s，穩(wěn)態(tài)誤差低于0.005 MPa。圖11是壓力閉環(huán)控制曲線，壓力超調(diào)為0.03 MPa，穩(wěn)態(tài)精度0.002 MPa，調(diào)節(jié)時(shí)間低于0.6 s，其快速性、穩(wěn)定性和精確性均最好。根據(jù)行業(yè)要求，注塑機(jī)背壓力超調(diào)量應(yīng)低于±5%，穩(wěn)態(tài)控制精度高于±0.05 MPa，由仿真結(jié)果可知，該系統(tǒng)壓力設(shè)定值越高，則誤差越小，能夠滿足精度要求；設(shè)定值越接近于0，則誤差越大，超出精度要求的范圍，但由于壓力值較低，不影響設(shè)備正常運(yùn)行。

圖5 聯(lián)合仿真模型Fig.5 Joint simulation model

根據(jù)仿真結(jié)果，開環(huán)查表和插值算法輸出的壓力控制曲線的平滑度不如閉環(huán)控制，但采用開環(huán)控制的意義在于節(jié)約傳感器和設(shè)備的成本，縮短軟件控制周期和提高系統(tǒng)可靠性。通過引入插值算法， 將開環(huán)查

圖6 最鄰近插值輸出開度Fig.6 Nearest interpolation output opening

圖7 拉格朗日插值輸出開度Fig.7 Lagrange interpolation output opening

圖8 最鄰近插值壓力曲線

表輸出的曲線平滑處理，能夠使得開環(huán)查表控制的性能向閉環(huán)控制接近。相比直接查表控制，采用插值算法減小了壓力沖擊，也減少了表格的數(shù)據(jù)容量，因而具有實(shí)際的運(yùn)用價(jià)值。

圖9 拉格朗日插值壓力曲線Fig.9 Lagrange interpolation pressure curve

圖10 分段插值壓力曲線Fig.10 Piecewise interpolation pressure curve

圖11 閉環(huán)控制壓力曲線Fig.11 Closed loop control pressure curve

4 結(jié)論

本研究提出了一種采用比例換向閥在注塑機(jī)回油路控制回油阻尼的背壓控制方法。以油缸回退速度、設(shè)定背壓為輸入，閥芯開度為輸出，通過查表和插值運(yùn)算的方法，能夠?qū)崿F(xiàn)極低背壓的控制。相比市面上已有的控制方案，該方法建壓快、壓力閾值低，配合專門設(shè)計(jì)的雙通道閥體，可實(shí)現(xiàn)接近于0 MPa到系統(tǒng)允許的最高壓力調(diào)節(jié)，且精度較高，在不使用壓力傳感器的情況下，背壓穩(wěn)態(tài)誤差小于0.005 MPa，接近閉環(huán)控制的效果，降低了系統(tǒng)成本。