新月形內齒輪泵空化流場仿真分析

毛文亮， 趙彥軍， 柴紅強

(1.甘肅機電職業技術學院智能控制學院， 甘肅天水 741001； 2.蘭州理工大學能源與動力工程學院， 甘肅蘭州 730050)

引言

齒輪泵整體流動特性的全面提升是智能液壓的應有之意。作為流體傳動系統的動力機械，新月形內齒輪泵具有結構簡單、抗污染性強、自吸能力好、加工制造容易、使用壽命長、維修保養便捷、制造成本低、能量密度高、中心距小、嚙合齒廓之間的滑動速度小、齒輪副傳輸可靠、重合度高、穩定性好、噪聲低、結構緊湊等特點，廣泛應用于工程機械、船舶、航空航天、機器人等領域[1-3]。

作為齒輪泵中唯一運動部件的齒輪副，其齒廓曲線決定泵的關鍵性能。魏偉鋒等[4]利用通用齒廓法線反轉法求解了共軛齒廓曲線；胡翰林等[5]在此基礎上對齒形參數進行了優化，建立了優化設計數學模型。

和其他容積式泵一樣，新月形內齒輪泵普遍存在出口流量波動較大的有害特征。流量脈動率近似公式最早由崔建昆等[6]提出，然而由于精度問題限制了其應用范圍。徐學忠等[7]、王仲偉等[8]根據齒輪副嚙合原理推導了幾何流量脈動率近似方程并計算了給定參數下的脈動率。楊國來等[9]在考慮油液屬性變化基礎上利用正交試驗分析了流動特性隨工作條件的變化規律。

為了提高齒輪副傳動平穩性及輪齒強度，其重合度必須大于1，這樣齒輪泵工作中不可避免地出現困油現象。王鄭力等[10]應用切線極坐標法得出了困油容積變化方程，然而該公式并沒有反映困油壓力。SEDRI等[11]在齒輪副上開設一組新均壓槽以消除困油現象，可是該結構并未考慮齒輪強度大小。

綜上所述，目前公開出版的文獻中并未明確給出新月形內齒輪泵空化流場的演進規律。通過本課題的研究，準確獲得了新月形內齒輪泵三維內流道模型流場特性及空化演進規律，同時確定了轉子區最低壓力隨因子的變化規律及主要影響因子，從而為消除空化提供了堅實的理論基礎。

1 數學模型建立

1.1 空化模型建立

空化模型在本質上屬于多相流模型，同時能夠反映壓力低于一定條件時油液空化強度及氣體分布形態的演進規律等內容。本研究采用全空化模型來模擬齒輪泵內部空化狀態下的流場特征，根據該模型的特點同時結合油液實際流動過程，需要求解蒸氣方程、游離氣體方程以及溶解氣體方程。由于微分方程的數值不連續很容易導致求解發散，因此采用積分方程來避免。

蒸氣積分方程[12-14]如下：

(1)

(2)

(3)

式中,Cc,Ce—— 空化冷凝及壓縮系數，Cc=0.01，Ce=0.02

ρ—— 含氣流體密度

fv,fg—— 蒸氣和空氣的質量分數

Ω—— 控制體

σ—— 控制體表面積

v—— 流體速度

vσ—— 表面運動速度

n——σ的表面法向

Df—— 蒸氣擴散系數

μt—— 湍流黏度

σf—— 湍流Schmidt數

pv—— 飽和蒸氣壓

Re—— 空氣生成率

Rc—— 空氣耗散率

ρv—— 蒸氣密度

ρl—— 純流體密度

p—— 壓力

游離氣體積分方程為：

(4)

式中,Dg—— 游離氣體擴散系數

gf—— 游離氣體質量分數

gdequil—— 溶解氣體平衡質量分數

τ—— 溶解氣體耗散時間

溶解氣體積分方程為：

(5)

(6)

式中,Dgd—— 溶解氣體擴散系數

gd—— 溶解氣體質量分數

gdequilref—— 相對壓力下溶解氣體平衡質量分數

pgdequilref—— 溶解氣體質量分數的相對壓力

1.2 含氣油液動態模型

影響油液動態特性的基本屬性包括密度、動力黏度以及等效體積彈性模量等。含氣油液密度方程為：

(7)

式中，αf,αl—— 游離氣體及純流體體積分數

ρf—— 游離氣體密度

氣相成分的密度，可根據氣體狀態方程獲得：

(8)

(9)

式中，ρf0—— 在標準大氣壓p0下的游離氣體密度

ρv0—— 在飽和蒸氣壓pv下的游離氣體密度

含氣油液絕對黏度方程為：

μ=αlμl+αfμf+(1-αl-αf)μv

(10)

式中，μl，μf及μv分別為純油液、游離氣體及油蒸氣的絕對黏度。

含氣油液等效體積彈性模量方程為：

(11)

式中，Vl,Vf,Vv—— 純流體、游離氣體及油蒸氣的初始容積

根據導數定義對上式進行變換可得：

(12)

式中，λ—— 多變指數

El—— 純油液有效體積彈性模量

2 新月形內齒輪泵分布式參數模型建立

2.1 分布式參數模型建立

分布式參數模型是相對集中參數模型而言的，即該模型中至少有一個變量與空間位置有關聯，該模型求解過程已經規范化，具體求解流程見圖1。在整個求解流程中初始條件的離散化、流量方程的創建等內容在商業軟件中會自動進行。因此，本節只需進行網格劃分、邊界條件確定以及控制參數設定。

1) 三維內流道網格模型建立

齒輪泵實際工作過程中摩擦副依靠一定厚度的油膜分割開來[15]，因此，為了無限接近真實運行狀態，在考慮油膜厚度的情況下創建內流道三維模型，其中徑向油膜厚度和軸向油膜厚度均為0.12 mm，嚙合齒面間的最小油膜厚度為0.03 mm。創建附有油膜的三維油道初始模型，見圖2。列出圖2中對應齒輪副參數，見表1。

1.出口油道 2.進口油道 3.軸向油膜 4.轉子油道5.徑向油膜 6.出口配油道 7.進口配油道圖2 三維油道初始模型Fig.2 Three-dimensional oil channel initial model

表1 齒輪副參數Tab.1 Gear pair parameters

三維初始油道模型的網格化分過程必須兼顧網格數量和網格質量(最低網格質量為0.45)兩方面的內容，根據內油道結構特點，本研究對轉子區域利用非結構化網格進行劃分，對靜態區域利用結構化網格進行劃分，同時在不同流域之間設置interface進行數據傳遞，生成的三維油道初始網格模型見圖3。

圖3 三維油道初始網格模型Fig.3 Three-dimensional oil channel initial mesh model

2) 邊界條件確定

根據邊界條件的定義同時結合齒輪泵工作狀態，需要給定進口端面壓力、出口端面壓力、含氣量以及油溫，具體參數詳見正交試驗方案。

在三維油道初始模型中轉子區域的壁面為周期性旋轉的動壁。因此，為了定義運動壁面的動作規律，本文根據齒輪泵實際轉動過程生成了用戶自定義函數；對于靜止壁面，默認運動速度始終為0。

3) 控制參數設定

(1) 兩相流模型 本研究在考慮含氣量與油溫變化的情況下模擬齒輪泵內部的實際流動過程。由于游離氣體與油液之間存在著強烈的耦合作用，為了準確模擬這種情形，利用兩相流中的Mixture模型同時啟動相間滑移方程；對于主相的選擇是以求解穩定性為基準，這樣需要選擇可壓縮的游移氣體為主相，同時設定相關氣泡直徑。

(2) 時間步數 在兼顧計算穩定性及計算周期的前提下選擇固定時間步數，具體為最大迭代次數200，時間步長0.00001 s，計算周期為2。進一步獲取該類型齒輪泵工作參數，見表2。

表2 新月形內齒輪泵工作參數Tab.2 Working parameters of crescent internal gear pump

(3) 湍流模型 根據齒輪泵內部實際流動狀態同時結合幾種常見渦黏模型控制方程組的應用范圍[16]，確定RNG渦黏模型來模擬內部湍流。

2.2 正交試驗設計

1) 因子-水平表

油液基本屬性的主要影響因素包括含氣量、工作壓力以及油液溫度，油液屬性的變化進而導致齒輪泵內部空化流場特征出現變動。因此，本研究確定游離氣體含量A、工作壓力B及油液溫度C為試驗因子。根據工程應用經驗可知，含氣量的水平取值為0.1%，0.5%，1.0%，工作壓力的水平取值為7.5， 10.0，12.5 MPa，油溫的水平取值為40，50，60 ℃。創建因子和對應水平表，見表3。

表3 正交試驗因子水平表Tab.3 Orthogonal test factor level table

2) 正交試驗方案

根據表3內容，同時結合等水平正交表的性質，本研究設計了L9(33)的正交表，見表4。

表4 L9(33)正交試驗方案Tab.5 L9(33) orthogonal test scheme

由表4可知，正交試驗方案中包括9組試驗，分別列出不同試驗條件對應的油液基本屬性，見表5。

表5 不同試驗條件對應的介質屬性Tab.5 Medium properties corresponding to different test conditions

3 計算結果與分析

3.1 網格無關性驗證

根據離散化方法可知，應變量在節點之間分布假設影響控制方程的離散結果。因此，需要驗證網格節點數量的多少對計算結果的影響。本研究計算了5組網格節點數對應的出口端面平均流量，具體結果見表6。

表6 不同網格節點數對應的出口平均流量Tab.6 Average export flow corresponding to different grid nodes

由表6可知，當網格數增加至102.3658萬，節點數增大至61.8763萬之后，偏差率低于2%。因此，為節省計算時間，本研究選擇網格數為136.0254萬，節點數為79.3529萬的網格模型。

3.2 新月形內齒輪泵流場特性及空化演變分析

1) 空化流場特性分析

齒輪泵工作過程中齒輪副處于連續旋轉狀態，三維模型空化流場在運動周期內時刻發生變化。因此，必須根據實際情況選擇重點研究內容進行分析。眾所周知，在每個運動周期內，齒輪副嚙合次數等于主動輪齒數。一對共軛齒廓從進入嚙合開始到退出嚙合結束，在此期間嚙合點位置一直發生變化。因此選取不同試驗下退出嚙合(對應時間為0.0088 s)及嚙合點與節點重合位置(對應時間為0.01005 s)兩個時刻的空化流場。

首先分別獲取不同試驗對應三維內流道整體壓力場并標記壁面壓力等值線，見圖4。

由圖4可知，三維油道模型外部壁面的壓力等值線分界明顯，壓力均勻過渡。摩擦副間油膜將吸油腔與排油腔完全隔離開來，吸油腔壓力(相對值)全部為負值，而壓油腔壓力則全部為正值。由進口開始，壓力沿進油通道逐漸遞減，在轉子區域降至最低；由出口開始，壓力逆向出油通道逐漸遞增，在轉子區域升至最大。究其原因是齒輪副高速旋轉后產生吸空現象，進口油液在壓差作用下輸送至轉子區吸油側，之后通過齒間傳輸至轉子區壓油側，最后在壓差作用下將壓油側油液驅至出口。

接著獲取轉子區域Z軸方向3個等距橫截面對應的壓力場，見圖5。

由圖5可知， 由于新月形內齒輪泵特殊的齒廓曲線(外齒輪齒廓為直線，內齒圈齒廓為共軛高階圓弧曲線)，不同試驗及不同時刻對應橫截面上無明顯的困油區域，嚙合齒面間壓力變化均勻，嚙合區內不存在整個流道中的最大及最小壓力。

圖4 不同試驗條件下整體壓力場對比Fig.4 Comparison of overall pressure field under different test conditions

由于工作條件的變化，盡管不同試驗中內、外齒輪的轉速相同，然而轉子區的吸油壓力完全不同。進一步獲取不同試驗對應轉子區最小壓力正交試驗分析表，見表8。

根據正交試驗性質，表8中影響吸油區中最低壓力的因子主次關系為C>A>B，表明油溫是最主要影響因素，其次為游離氣體含量，工作壓力對轉子區最小壓力的影響可忽略。隨著油溫地增加，最小壓力顯著升高。究其原因是油溫越高，油液黏度越低，不均勻內泄漏越多， 對應最小壓力越高。含氣量對最小壓力的影響沒有表現出明顯的正相關或者負相關。

圖5 不同試驗條件下Z軸橫截面壓力場對比Fig.5 Comparison of Z-axis cross-section pressure field under different test conditions

2) 流體空化強度及形態演變分析

齒輪泵運行時含氣油液中的液相和氣相相互作用致使內部空化形態一直處于動態演變過程。根據前文分析結果，獲取不同時間對應齒輪泵中壓力最低轉子區域的氣穴分布，見圖6。需要說明的是，不同試驗的含氣油液對應空化演變規律相似，因此本研究以試驗2為例進行分析。

由圖6可知，隨著時間的推移，含氣油液中的氣相演變過程為：由最初的均勻分布逐漸演變為分散集中分布，再到均衡分布的過程。這種演進規律在嚙合區域尤為明顯，具體表現為嚙合區域中氣相由內齒圈齒根逐漸向外齒輪齒頂遷移；同時與其相鄰面上的氣相由外齒輪齒根逐漸向內齒圈齒頂遷移。

表8 轉子區最小壓力正交試驗分析表Tab.8 Orthogonal test analysis table of minimum pressure in rotor area

外齒輪齒頂區的空化面積逐漸向主動作用齒面擴大，空化強度逐漸增加，一直到(t0+0.6) ms時空化面積增至最大，空化強度升至最高，此后逐漸衰減，直至(t0+1.2) ms時，氣相聚合現象結束。同一時間，內齒圈齒根區域的氣相消散面積逐漸向從動作用齒面擴大，到(t0+0.6) ms時達到最大，此時空化強度降至最小，之后開始縮減，直到(t0+1.2) ms時，氣相消散現象結束。

在此期間，相鄰于從動作用齒面上的空化面積由內齒圈齒頂開始逐漸擴大，到(t0+1.0) ms時空化面積及空化強度達到最大，此后逐漸衰減，直到(t0+1.2) ms時空化聚集現象結束。與此同時，相鄰于主動作用齒面上的氣相消散面積由外齒輪齒根開始逐漸擴大，直至(t0+1.0) ms時氣相消散面積達到最大，空化強度降至最小，之后開始縮減，直至(t0+1.2) ms時氣相消散現象結束。

結合圖5可知，嚙合區域的氣相演化過程與橫截面上壓力場的演進規律完全吻合，進一步驗證了流體區域的壓力變化是含氣油液中氣相發生運移的根本原因。

4 結論

(1) 轉子區吸油側是整個齒輪泵內壓力最低的區域， 對應排油側則是壓力最高的區域。由于工作過程中無明顯的困油區域，從而造就了該類型齒輪泵在行業中榮獲“靜音泵”的美譽；

圖6 試驗2對應流體空化形態演變過程Fig.6 Evolution process of fluid cavitation morphology corresponding to test 2

(2) 進出口區以及對應配油區的壓力等值線非閉合，而轉子區中部分位置的壓力等值線處于閉環狀態，轉子區的流動狀態是整個內流道中最復雜的；

(3) 轉速確定時， 油溫是影響轉子區最低壓力的主要因子。隨著油溫增加，由于油液黏度越低，不均勻內泄漏越多，最低壓力顯著增大。含氣量對最低壓力的影響沒有表現出明顯的正相關或者負相關；

(4) 嚙合區域中的空化演進規律最為明顯，氣相整體呈現出先均勻分布，再演變為分散集中分布，最后又演化為均衡分布的過程。嚙合齒面間的氣相由從動作用齒面向主動作用齒面遷移；而與其相鄰齒面上的氣相由主動齒面向從動齒面遷移。壓力演變是氣相發生運移的根本原因。