Timoshenko自由梁迭代法計(jì)算木材彈性模量和剪切模量的適用性*

王 正 周宇昊 沈肇雨 何宇航

(南京林業(yè)大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院 南京 210037)

彈性模量、剪切模量和泊松比是表征材料的彈性常數(shù)，亦是材料的3項(xiàng)基本物理特性參數(shù)。木材是正交各向異性材料，提高其彈性常數(shù)測試精度尤為重要(譚守俠等,2007； 董浩然等， 2022； 阮錫根等， 2005； 劉鴻文，1983)。木材彈性常數(shù)測試方法可分為靜態(tài)法和動(dòng)態(tài)法兩大類，近年來，利用動(dòng)態(tài)振動(dòng)法測試木材和木質(zhì)復(fù)合材料彈性常數(shù)研究取得了顯著成果(Chuietal.， 1990； Chui，1991； Rossetal.， 1994； 馬功勛，1996； 王正等， 2006； 2013； 2014； 王正，2007； 周海賓等， 2007a； 2007b； Wangetal.， 2012； 2016a； 2018； 2019a； 胡英成，2001； 胡英成等， 2001； Turketal.， 2008)。Timoshenko自由梁迭代法是一種具有代表性的動(dòng)態(tài)測試材料彈性模量和剪切模量的方法，該方法以Timoshenko梁理論(Timoshenko， 1965)為基礎(chǔ)，即梁橫向振動(dòng)時(shí)考慮梁的剪力和回轉(zhuǎn)效應(yīng)對其彎曲頻率的影響。Timoshenko自由梁迭代法測試木材彈性模量和剪切模量時(shí),首先測試自由梁的第一階和第二階彎曲頻率，然后應(yīng)用迭代程序計(jì)算木材的彈性模量和剪切模量(Chuietal.， 1990； Chui，1991； 周海賓等， 2007a)，但對該方法的適用范圍研究尚少，且其測試精度受試件不同長厚比的影響較大。

鑒于此，本研究基于試驗(yàn)探究Timoshenko自由梁迭代法測試木材和木質(zhì)復(fù)合材料彈性模量和剪切模量的適用性，重點(diǎn)考慮材料彈性模量和剪切模量的測試精度，尋求梁試件合適的長寬比。

1 方法

1.1 Timoshenko自由梁迭代法

自由狀態(tài)下，Timoshenko梁的第一階彎曲頻率(f1)和第二階彎曲頻率(f2)提供了包含彈性模量(E)和剪切模量(G)2個(gè)非線性方程式：

f1(E,G)=0,f2(E,G)=0。

(1)

2個(gè)非線性方程式構(gòu)成1個(gè)非線性方程組，該方程組可用編程的迭代方法求解。計(jì)算程序輸入?yún)?shù)為梁長度(m)和厚度(mm)、梁材料密度(kg·m-3)、矩形截面因子(k)、第一階彎曲頻率(Hz)、第二階彎曲頻率(Hz)，輸出參數(shù)為彈性模量E(MPa)和剪切模量G(MPa)。若迭代收斂，可同時(shí)計(jì)算出正常的E和G； 否則不能計(jì)算出正常的E和G或根本計(jì)算不出E和G，即迭代發(fā)散。

1.2 Euler自由梁法

Euler自由梁的一階彎曲頻率(f1b)與彈性模量(E)的關(guān)系為：

(2)

式中：E為彈性模量(Pa)；l為自由梁長度(m);h為自由梁厚度(m);f1b為自由梁一階彎曲頻率(Hz)；ρ為氣干密度(kg·m-3)。

1.3 自由板扭轉(zhuǎn)振型法

自由板一階扭轉(zhuǎn)頻率(f1t)與剪切模量(G)的關(guān)系為：

(3)

式中：G為剪切模量(Pa);l為自由板長度(m);b為自由板寬度(m);h為自由板厚度(m);γ為自由板振型系數(shù)；f1t為自由板一階扭轉(zhuǎn)頻率(Hz);ρ為氣干密度(kg·m-3)。

1.4 自由桿件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法

自由桿件一階扭轉(zhuǎn)頻率(f1t)與剪切模量(G)的關(guān)系為：

(4)

式中：G為剪切模量(MPa)；L為桿長(mm)；b為桿矩形截面寬度(mm)；a為桿矩形截面厚度(mm)；A為桿矩形截面面積(mm2)；M為桿件質(zhì)量(kg)；f1t為一階扭轉(zhuǎn)頻率(Hz)。

2 試驗(yàn)

2.1 試驗(yàn)材料

山毛櫸(Fagussylvatica)，含水率13%； 云杉-松-冷杉(spruce，pine and fir，SPF)，含水率11.5%； 單板層積材(laminated venner lumber，LVL)，含水率9%； 西加云杉(Piceasitchenrsis)，含水率9.5%。

2.2 試件制作

制作山毛櫸、SPF等樹種的徑、弦向梁試件，西加云杉橫紋梁試件和LVL整板下料的縱、橫向梁試件，以及相應(yīng)的板試件，試件總數(shù)共49塊。梁試件和板試件的基本參數(shù)分別見表1、2。

表1 梁試件基本參數(shù)

表2 板試件基本參數(shù)

梁試件和板試件用剛性系數(shù)小于0.4 N·m-1的彈性繩自由懸掛，實(shí)現(xiàn)兩端自由約束的自由梁和自由板(圖1、2)。

2.3 試驗(yàn)儀器及其配套件

CRAS振動(dòng)及動(dòng)態(tài)信號采集分析系統(tǒng)1套，包括調(diào)理箱、采集箱、信號與系統(tǒng)分析軟件； CA-YD-125型壓電式加速度計(jì)1只，1.5 g； HK-30型木材含水率測試儀1只； TG328B型電光分析天平1臺，0.001 g； 游標(biāo)卡尺1把，0～150mm； 橡膠錘1把； 尼龍錘1把； 鋼尺1把，0～1 m。

2.4 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

2.4.1 測試工況(梁試件) 記錄每根梁試件長寬面和長厚面上的木紋特征，即弦向或徑向。每根梁試件測試梁彎曲振動(dòng)沿試件厚度和寬度方向2種工況，從一種工況到另一種工況只需將試件繞其縱軸線轉(zhuǎn)動(dòng) 90°，垂向激勵(lì)即可實(shí)現(xiàn)； 每根徑向和弦向迭代程序中輸入的h指與梁彎曲振動(dòng)方向相對應(yīng)的梁橫截面尺寸(寬或高)。

圖1 自由梁測試系統(tǒng)

圖2 自由板測試系統(tǒng)

2.4.2 截短試驗(yàn) 正方形截面的梁試件依次按l/h=32、28、24、20、16、14、12、10、8截短，截面寬厚不相等的梁試件按實(shí)際梁長截短，測試不同長厚比試件的第一階和第二階彎曲頻率，應(yīng)用迭代程序計(jì)算其彈性模量和剪切模量，以尋求彈性模量和剪切模量依賴于梁試件長厚比的變化規(guī)律，并確定能迭代出正確彈性模量和剪切模量的試件長厚比下限值。在迭代計(jì)算時(shí)，著重探討矩形截面因子k取值對迭代結(jié)果的影響。按常規(guī)k應(yīng)取0.833，但從能量觀點(diǎn)看k也可取0.913(邵蓓珠等， 1988)，本研究分別以k=0.833和0.913作為迭代程序輸入，計(jì)算不同長厚比試件的彈性模量和剪切模量,以尋求合宜的k取值。

對于板試件，依次按l/b=6、5、4.5、4、3.5、3截短，測試自由板一階彎曲頻率和一階扭轉(zhuǎn)頻率，根據(jù)自由板扭轉(zhuǎn)振型法和自由桿件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法(Wangetal.， 2016b； 2019b； 程可等， 2015)一階扭轉(zhuǎn)頻率測試值計(jì)算其剪切模量，由Euler自由梁法一階彎曲頻率測試值計(jì)算其彈性模量，以此驗(yàn)證自由梁迭代法計(jì)算木材彈性模量和剪切模量的有效性。

2.5 頻率測量

敲擊試件激發(fā)自由振動(dòng)，安裝于試件上的加速度計(jì)接收振動(dòng)信號，經(jīng)放大、濾波、A/D轉(zhuǎn)換為便于計(jì)算機(jī)處理的數(shù)字信號，通過采集器采集和信號分析軟件(或?qū)Ｓ玫念l譜分析儀)測得試件頻譜，從頻譜圖上讀取頻率(Timoshenko， 1965)。

測試梁試件和板試件頻譜時(shí)，加速度計(jì)安裝位置和敲擊點(diǎn)位置不同(圖 1、2)。對于梁試件，當(dāng)長厚比變小時(shí)，要適時(shí)提高其分析頻率范圍； 對于板試件，加速度計(jì)安裝于沿板長邊距角點(diǎn)3l/8處，敲擊板對角線上另一個(gè)角點(diǎn)； 為識別彎曲頻率和扭轉(zhuǎn)頻率，要敲擊板面中心點(diǎn)。

同一根梁試件2種測試工況，編號為山-3的試件長576mm，矩形截面長邊為24.61mm(弦向木紋特征)，短邊為24.37mm(徑向木紋特征)，振動(dòng)方向沿短邊和長邊的頻譜分別如圖3、4所示。

圖3 山毛櫸 576mm×24.61mm×24.37mm梁試件徑向頻譜

3 結(jié)果與分析

3.1 自由梁迭代法計(jì)算的彈性模量和剪切模量

山毛櫸徑向和弦向、SPF徑向和弦向以及LVL垂直和平行膠層激勵(lì)的梁試件，在不同長厚比l/h下采用自由梁迭代法計(jì)算的彈性模量和剪切模量如圖5～10所示(矩形截面因子k取0.833)。

圖4 山毛櫸 576mm×24.37mm×24.61mm梁試件弦向頻譜

圖5 山毛櫸彈性模量(E)計(jì)算值隨梁長厚比(l/h)的變化

圖6 山毛櫸剪切模量(G)計(jì)算值隨梁長厚比(l/h)的變化

圖7 SPF彈性模量(E)計(jì)算值隨梁長厚比(l/h)的變化

圖8 SPF剪切模量(G)計(jì)算值隨梁長厚比(l/h)的變化

圖9 LVL彈性模量(E)計(jì)算值隨梁長厚比(l/h)的變化

表4為山毛櫸徑向和弦向、SPF徑向和弦向以及LVL順紋(垂直平行膠層激勵(lì))試件在不同長厚比下采用Timoshenko自由梁迭代法計(jì)算的彈性模量和剪切模量均值。

圖10 LVL剪切模量(G)計(jì)算值隨梁長厚比(l/h)的變化

表3 SPF、山毛櫸和LVL采用自由梁迭代法計(jì)算的E/E0隨梁長厚比(l/h)的變化

表4 山毛櫸、SPF和LVL采用自由梁迭代法計(jì)算的彈性模量和剪切模量①

分析上述結(jié)果可知： 1)采用自由梁迭代法，當(dāng)?shù)?jì)算出正常的彈性模量和剪切模量時(shí)，徑向和弦向彈性模量幾乎相等，且不隨梁長厚比變化； 木材徑向和弦向剪切模量雖隨梁長厚比變化較大(表4、圖6和圖8)，但根據(jù)其平均值可以區(qū)分開來。 2)自由梁迭代法存在一個(gè)與樹種有關(guān)的試件長厚比下限值，當(dāng)試件長厚比小于該下限值時(shí)，雖能測得自由梁的第一階和第二階彎曲頻率，但不能計(jì)算出正常的彈性模量和剪切模量，迭代計(jì)算出的彈性模量相對正常值成倍增大，剪切模量成倍減小，或根本計(jì)算不出彈性模量和剪切模量。 3)當(dāng)?shù)?jì)算出正常的彈性模量和剪切模量時(shí)，矩形截面因子k取0.833計(jì)算出的剪切模量比k取0.913大9.6%，彈性模量幾乎相等(表4)。 4)對于SPF、山毛櫸和LVL，當(dāng)梁長厚比l/h=20～24時(shí)，Timoshenko自由梁迭代法計(jì)算的彈性模量(E)與Euler自由梁法計(jì)算的彈性模量(E0)的相對誤差在7%以內(nèi)(表3)，l/h=20～24長厚比試件采用自由梁迭代法計(jì)算的彈性模量和剪切模量基本處于l/h=32、28、24、20、16相應(yīng)的彈性模量和剪切模量計(jì)算值均值(圖5～10)。因此，采用自由梁迭代法計(jì)算彈性模量和剪切模量時(shí)，推薦使用長厚比l/h=20～24的梁試件。

3.2 自由桿件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法和自由板扭轉(zhuǎn)振型法測試的剪切模量

在板不同長寬比(l/b)條件下，采用自由桿件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法和自由板扭轉(zhuǎn)振型法測試的山毛櫸、SPF剪切模量如圖11、12所示。

圖11 自由板扭轉(zhuǎn)振型法和自由桿件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法測試的山毛櫸剪切模量隨板長寬比(l/b)的變化

圖12 自由板扭轉(zhuǎn)振型法和自由桿件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法測試的SPF剪切模量隨板長寬比(l/b)的變化

表5 自由桿件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法和自由板扭轉(zhuǎn)振型法測試的山毛櫸、SPF和LVL剪切模量

在板不同長寬比條件下，采用自由桿件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法和自由板扭轉(zhuǎn)振型法測試的山毛櫸、SPF和LVL剪切模量如表5所示。

分析上述結(jié)果可知，在板不同長寬比條件下，自由桿件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法測試的剪切模量均比自由板扭轉(zhuǎn)振型法大7%左右。與自由板扭轉(zhuǎn)振型法和自由桿件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法測試的剪切模量相比，自由梁迭代法計(jì)算出的剪切模量偏高，其偏高程度與矩形截面因子k取值有關(guān)。對于山毛櫸弦向、SPF弦向、LVL順紋(垂直于膠層激勵(lì))，當(dāng)k=0.833和0.913時(shí)，自由梁迭代法計(jì)算出的剪切模量比自由桿件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法分別高12.2%和2.3%，比自由板扭轉(zhuǎn)振型法分別高19.9%和9.3%(表4、5)。基于自由梁第一階和第二階彎曲頻率應(yīng)用迭代程序計(jì)算木材和木質(zhì)復(fù)合材料彈性模量和剪切模量發(fā)現(xiàn)，k取0.833時(shí)計(jì)算不出正常的彈性模量和剪切模量，但k取0.913時(shí)卻可以計(jì)算出正常的彈性模量和剪切模量(表6)，這說明矩形截面因子取0.913相對于0.833而言，不僅擴(kuò)大了試件l/h的適用范圍，即降低試件l/h下限值，還能夠改善自由梁迭代法對剪切模量的高估。試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，西加云杉橫紋梁可以測出其第一階、第二階彎曲頻率，但采用自由梁迭代法卻計(jì)算不出彈性模量和剪切模量； 若采用自由板扭轉(zhuǎn)振型法測試西加云杉橫紋板(404mm×70mm×12mm，9塊)，則可得出其彈性模量為349 MPa，剪切模量為40 MPa。從LVL整板垂直其縱向下料的橫向梁(760mm×30mm×30mm，3根)可以測出其第一階、第二階彎曲頻率，但采用自由梁迭代法也計(jì)算不出彈性模量和剪切模量； 若采用自由板扭轉(zhuǎn)振型法測試LVL橫向木紋板(760mm×240mm×30mm)，則可得出其彈性模量為721 MPa，剪切模量為694 MPa。

表6 矩形截面因子k取值對自由梁迭代法計(jì)算結(jié)果的影響

綜上可知，若一次試驗(yàn)同時(shí)測試出高精度的彈性模量和剪切模量，Timoshenko自由梁迭代法不是最佳選擇。自由板扭轉(zhuǎn)振型法和自由桿件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法測試的是自由板頻譜，從頻譜圖上讀出板試件的一階彎曲頻率和一階扭轉(zhuǎn)頻率，將一階彎曲頻率測試值代入式(2)得到彈性模量，將一階扭轉(zhuǎn)頻率測試值代入式(3)或式(4)得到剪切模量，2種方法測試的剪切模量隨板長寬比變化平穩(wěn)，自由板扭轉(zhuǎn)振型法或自由桿件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法測試的剪切模量精度高于自由梁迭代法。

4 結(jié)論

1) 存在一個(gè)與樹種有關(guān)的試件長厚比下限值，當(dāng)試件長厚比小于該下限值時(shí)，自由梁迭代法不能計(jì)算出正常的彈性模量和剪切模量或根本計(jì)算不出彈性模量和剪切模量。

2) 對于徑向和弦向梁，自由梁迭代法計(jì)算出的彈性模量幾乎相等，且不隨梁長厚比變化； 木材徑向和弦向剪切模量雖隨梁長厚比變化較大，但根據(jù)其平均值可以區(qū)分開來。

3) 自由梁迭代法計(jì)算出的剪切模量與矩形截面因子k取值有關(guān)，當(dāng)k取0.833和0.913時(shí)，分別高于自由桿件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法(自由板扭轉(zhuǎn)振型法)剪切模量測試值12.2%和2.3%(19.9%和9.3%)

4) 為保證自由梁迭代法測試精度，推薦采用長厚比20～24的梁試件動(dòng)態(tài)測試其第一階和第二階彎曲頻率，并用矩形截面因子取0.913進(jìn)行迭代計(jì)算木材的彈性模量和剪切模量。