立式加工中心計算模態與試驗模態相關性分析

楊 軍， 王 林， 趙彥鵬， 董應明， 韓玉穩

（1.中國機械總院集團云南分院有限公司， 云南 昆明 650031； 2.云南省機電一體化應用技術重點實驗室， 云南 昆明 650031）

0 引言

目前國內機床與國外機床相比， 在結構尺寸及零部件的質量上相差無幾， 然而最終機床的動態特性相差很大。 因此，獲得機床的動態特性，實現機床動態特性的主動設計就成為機床結構設計的關鍵。 機床的動態特性是影響其精度保持性和可靠性的關鍵因素， 機床在動態載荷下的振動量級、噪聲、質量、剛度是結構設計的重要因素。這些結構特性是結構的固有屬性，也就是結構的模態參數。模態分析可以獲得結構特征參數，為結構系統的振動特性分析和結構動態特性的優化提供依據， 是研究結構動態特性的重要手段。

1 模態相關性分析的意義

模態相關性分析是利用計算模態和試驗模態的分析、試驗結果，進行自由度配對、模態參數匹配、模態振型對比、模態置信準則MAC 驗證，通過修改有限元模型的邊界條件參數達到修正機床動力學模型的目的。 以有限元模型的建模參數（材料屬性、厚度、接觸剛度等）作為修正對象， 修正后使有限元分析結果達到與試驗結果一致的模態頻率和模態振型。

圖1 技術路線

2 模態相關性分析方法

2.1 模態頻率相關性分析

對模態頻率進行相關性分析的一種方法就是將計算結果和試驗結果分別作為橫坐標和縱坐標， 在坐標系上標出匹配后的各階模態頻率。 如果計算與試驗結果吻合較好，則所有的點應該落在45 度線上。 如果大部分的點落在另一斜線附近， 則有限元模型的材料參數可能存在誤差。 另一種方法是將計算模態對應所有可能匹配的試驗分析模態的誤差作為橫坐標和縱坐標。

2.2 模態振型相關性分析

對模態振型進行比較的目的之一是進行模態匹配。除了觀察振型外，還可以利用數值的手段，例如模態例因子（Modal Scale Factor，MSF）和模態置信準則（Modal Assurance Criterion，MAC）。

模態置信度也是一個間于0～1 之間的標量， 如兩個振型向量的MAC 值為1，則說明兩個振型向量代表的是同一階模態，為0 則代表不同模態。 實際運用時，MAC 是一個矩陣，好的相關性要求MAC 矩陣的對角元＞70%，非對角元＜10%。 雖然這個指標應用廣泛，也很有效，但是當理論模型具有系統誤差或結構存在局部模態時， 利用這個指標可能會對模型相關程度作出錯誤判斷。 模態置信準則可以用來表示兩個模型之間的模態振型相似程度。第i 階試驗模態振型φie與第j 階計算振型φja的模態振型相關系可采用下式計算。

MAC 值的計算方法是通過數值仿真和實驗獲得的匹配節點對的模態位移相乘。 需要有足夠數量的測點來防止空間振型混疊。模態置信準則不僅適用于一般模態，而且也是用于復模態。

坐標模態置信準則（Coordinate Modal Assurance Criterion，COMAC）是一種考慮振型坐標信息的相關性指標。這個指標同樣是一個介于0（不相關）與1（相關）之間的標量， 它衡量的是結構某個自由度振型分量的測試值與分析值在一系列選定模態下的相關性。

模態比例因子定義（MSF）稱為k 階模態j 列和l 列之間的模態比例因子。雖然這個比值應該與行指數（響應自由度）i 有關， 但利用多于一個響應自由度的留數系數求出MSF 的最小二乘解是可以做到的。 這時有：

如果復向量{φie}與{φja}之間存在線性相關，則MSF 對應于二者的比例常數，而MAC 的值則接近于1。如果二者是線性獨立的， 則MAC 的值將會很小 （接近于零），且MSF 沒有什么意義。 為試驗振型向量與理論振型向量的內積與理論振型向量2 范數平方的比值， 是一個介于0～1 的標量，模態比例因子為1 表示兩個振型完全相關，0 則說明不相關。 在模型修正中，模態比例因子更多用于對振型進行正則化。 模態置信度的基本思想是：如果結構質量近似均勻分布， 則結構的模態振型應該具有不加權的正交性。

3 模態相關性分析步驟

PULSE Reflex 軟件是B＆K 公司研發的綜合性數據分析軟件，運用其中的Correlation Analysis 相關性分析模塊，利用計算模態和試驗模態的分析、試驗結果進行自由度配對、 模態參數匹配、 模態振型對比、 模態置信準則MAC 驗證， 通過修改有限元模型的接觸參數達到修正機床動力學模型的目的。

3.1 幾何對齊及坐標轉換

在進行相關性分析前， 首先要導入有限元模態分析和試驗模態分析數據，包括幾何結構和模態結果文件。 一般通過選擇三組有限元模型節點/試驗模型測點， 通過軟件自動計算，使試驗模型與仿真模型結構重合，坐標方向一直，見圖2。

圖2 數據導入、幾何對齊及坐標轉換

3.2 節點和自由度映射

將幾何模型對齊后， 由于有限元模型和測試模型的節點不一致，需將距離接近的節點進行映射處理，一般采用設置容差方式進行匹配， 通過判斷兩個節點之間的位置來獲取匹配的節點信息。 因為試驗模態的物理測點的選擇有些任意性， 因而在結構自由度與測量自由度之間不存在特定的關系。 一般說來， 為了確定系統的N 階模態，那么輸入自由度和輸出自由度應該大于或者等于N。對于結構而言，本身具有無限多個自由度，而通過數值計算可以計算有限多個自由度，但對于試驗測量而言，只能測量結構上的少數自由度。 因此，需要對計算模型進行自由度縮減，然后再進行相關性分析，見圖3。

圖3 節點和自由度映射

3.3 頻率相關性分析

完成上述參數定義后， 選擇各階頻率進行分析對比誤差范圍在10%以內，見圖4。

圖4 頻率對比

3.4 振型相關性分析

完成頻率相關性分析后，選擇各階頻率接近頻率，完成振型相關性分析，主要對其變形位置、振型方向等相關信息的一致性進行分析比較，見圖5。

圖5 振型對比

3.5 頻率、振型、振型向量驗證

利用模態置信度準評估兩個模型模態之間的相關性。 對于給定的一組模態，非對角線上的MAC 值不能超過給定的閥值，從而避免模態間的混疊。在實際使用過程中， 我們需要將試驗模態數據與仿真模態數據導入軟件中進行MAC 校驗見圖6。

圖6 模態參數MAC 值效驗

3.6 模態匹配

通過選擇以MAC 值作為配對標準 （默認為MAC值），設定頻率差異的范圍， 查看二者振型動畫的相似程度，系統自動計算模態匹配結果，見圖7。

圖7 模態匹配結果

3.7 結果

通過模型修正技術以試驗分析結果為目標， 利用相關性分析驗證后，獲得了最終正確的動力學模型，最終的模態參數見表1。

表1 相關性分析結果

4 結束語

通過對立式加工中心相關性分析和結果匹配， 驗證了有限元分析模型的參數定義中結合部接觸剛度對整機模態結果影響最大，設置合理的結合部剛度，才能建立準確的動力學模型， 達到在設計階段就能準確預測其動態性能的目的。