動態可靠度小樣本評估方法

傅惠民， 付越帥， 吳 瓊

（1.北京航空航天大學 小樣本技術研究中心， 北京 100191； 2.北京空間飛行器總體設計部， 北京 100094）

0 引言

工程上， 通常要求對產品設計壽命下的可靠度進行評估，有的還要求對產品服役過程中可靠度的變化情況，即對其動態可靠度進行實時評估， 結合可靠度的指標要求，實現單機健康狀態監控。 但是，由于傳統方法通常采用干涉模型計算產品的動態可靠度， 這需要確定產品相應時刻的損傷量分布和抗損傷強度分布， 不但導致難度大誤差大，而且還無法實現單機健康狀態在線實時監控。所以有待更為精確的分析方法的提出[1-4]。 文獻[5]用可靠壽命（較弱產品的壽命）定義了可靠損傷（較弱產品的損傷），并證明了可靠損傷的臨界值為1，很好地解決了壽命估算領域存在的長期懸而未決的損傷臨界值到底是1 還是小于1 的數，或是一個隨機變量的難題。 此外，文獻[5]還證明了若各應力水平下可靠壽命的置信水平為γ，則各應力水平下的損傷經線性累加后， 其累積損傷的置信水平仍然為γ， 從而為高置信度的可靠壽命和可靠度評估奠定了理論基礎。 因此，基于文獻[5]，本文進一步提出了一種產品動態可靠度小樣本評估方法， 建立了程序塊譜下高置信度的可靠壽命計算公式，提出了程序塊譜、一般載荷和復雜情況下高置信度的可靠度計算公式， 不但能夠對產品設計壽命下的可靠度進行評估， 而且還能夠對產品的動態可靠度進行實時評估， 克服了傳統干涉模型方法的缺點。 高置信度的可靠壽命和可靠度評估的關鍵是如何通過小樣本方法得到產品、 模擬件或材料的置信水平為γ、可靠度為R 的性能曲線，文獻[6-8]給出了各個應力水平下方差不相等情況的小樣本測試方法。 本文進一步建立了方差相等和方差已知情況下高置信度高可靠度性能曲線的小樣本測試方法， 從而實現產品高置信度的可靠壽命和可靠度小樣本評估。

1 動態可靠度評估方法

動態可靠度是結構健康監測的一項重要指標，因此，在文獻[5]給出的可靠損傷及其臨界值的基礎上，下面進一步給出高置信度下的可靠壽命和可靠度計算公式。

1.1 程序塊譜下的可靠壽命評估方法

設產品受到由應力水平Si（溫度、濕度、載荷、電應力等），加載時長為ni（循環數或單位時間等），i=1，2，…，q，組成的程序塊譜的作用，則根據文獻[5]可知，在該程序塊譜作用下產品置信水平為γ、 可靠度為R 的可靠壽命NR單側置信下限NRL（以塊譜數為單位）由下式給出

式中：NRL，i為產品在應力水平Si下置信水平為γ、可靠度為R 的可靠壽命單側置信下限， 可由該產品相應的置信水平為γ、 可靠度為R 的性能曲線獲得， 例如P-S-N 曲線、P-ε-N 曲線或蠕變性能曲線等，也可以由其材料性能曲線修正得到。 NRL的置信水平γ 可采用文獻[9]方法證明。

1.2 程序塊譜下的可靠度評估方法

設截至某一時刻t，產品在應力水平為Si、加載時長為ni，i=1，2，…，q，的程序塊譜下，工作了Nt次循環，則可通過求解下式[10]

得到滿足式（2）的可靠度，根據置信限曲線等同性原理可知， 此可靠度即為產品在t 時刻 （經過Nt個程序塊譜循環）置信水平為γ 的可靠度R（t）單側置信下限RL（t）。

1.3 一般載荷下的可靠度評估方法

設截至某一時刻t，產品在應力水平Si下的工作時長為ni，i=1，2，…，m，則可通過求解下式[10]

得到滿足式（3）的可靠度，根據置信限曲線等同性原理可知， 此可靠度即為產品在該使用載荷條件和工作時長下置信水平為γ 的可靠度R（t）單側置信下限RL（t）。

1.4 復雜情況下的可靠度評估方法

設截至某一時刻t，通過文獻[5，11-13]等方法求得產品置信水平為γ、可靠度為R 的可靠壽命消耗百分比單側置信上限為LCUt，則通過求解下式

得到滿足式（4）的可靠度，它即為產品在時刻t 的置信水平為γ 的可靠度R（t）單側置信下限RL（t）。式（4）既可用于單應力情況，也可用于多應力情況；既可用于程序塊譜，也可用于隨機載荷；既可用于單失效模式，也可用于多失效模式（如疲勞、 蠕變、 松弛、腐蝕、老化等）；既可以用于無整機壽命試驗數據情況， 也用于有整機壽命試驗數據情況等的動態可靠度評估。

2 高置信度高可靠度性能曲線小樣本測試方法

工程實際中許多性能曲線均可線性化，例如常見的阿倫尼斯模型、逆冪律模型和指數模型等。 下面將以P-S-N曲線為例，給出小樣本測試方法，其他情況可以類推。 眾所周知， 金屬材料中壽命區的S-N 曲線通常可用冪函數（逆冪律模型）描述，即

式中：a=lgC，b=-β。

2.1 中值性能曲線

大量試驗證實， 金屬材料在中壽命區對數疲勞壽命遵循正態分布。 因此，通常可設

2.2 方差相等時高置信度高可靠度性能曲線

根據式（14）、式（17）和文獻[14]的百分回歸分析可知，該產品對數壽命y=lgN 的置信水平為γ、可靠度為R的可靠壽命yR的單側置信下限由下式給出

式中：uR和uγ為標準正態偏量，即uR=Φ-1（R），uγ=Φ-1（γ），Φ（·）為標準正態分布函數；c 是與R，γ 和ν，n 有關的參數，可由式（24）求得，進一步的研究發現，c 受ν 和n 影響較小，因而使問題進一步簡化，可由文獻[15]查得，特別是當ν≥5 時，可取c=0.64。

根據式（23）可求得產品疲勞壽命的置信水平為γ、可靠度為R 的可靠壽命NR單側置信下限為

2.3 方差已知時高置信度高可靠度性能曲線

當方差已知時，即有σ2=σ02，則根據式（14）和式（17）可知，該產品對數壽命y=lgN 的置信水平為γ、可靠度為

R 的可靠壽命yR的單側置信下限由下式給出

從推導過程可知， 上面以P-S-N 曲線給出的小樣本方法， 對工程實際中其他可線性化的性能曲線也同樣適用。 而且對于多應力情況的高置信度高可靠度性能曲線，同樣可根據文獻[14]方法進行小樣本測試。

3 算例

3.1 產品動態可靠度評估算例

設某產品在服役過程中主要受疲勞載荷作用， 現給出其服役期間的在線實時動態可靠度評估。

（1）產品性能曲線小樣本測試

設在5 個應力水平下各投入了2 個產品試件開展疲勞壽命試驗（對稱循環），試驗結果列于表1。

表1 產品疲勞壽命試驗數據（循環數）

采用本文第2 節方法對表1 試驗數據進行處理，得到該產品置信水平為γ、可靠度為R 的疲勞性能曲線為

（2）產品動態可靠度在線實時評估

設該產品投入外場使用， 且分別截至5 年、10 年和15 年時，該產品受到的疲勞載荷情況見表2。

表2 產品受到的疲勞載荷情況（對稱循環）

下面以10 年為例，給出該產品的動態可靠度評估步驟：首先，根據式（30）求得各應力水平下置信水平γ=0.9、可靠度為R 的可靠壽命單側置信下限NRL，i。 然后將它們代入式（3），并通過對R 的迭代計算，求得該產品在10 年時置信水平γ=0.9 的動態可靠度單側置信下限為

同理，可計算得到該產品在5 年時置信水平γ=0.9 的動態可靠度單側置信下限為

該產品在15 年時置信水平γ=0.9 的動態可靠度單側置信下限為

3.2 螺旋壓縮彈簧設計壽命下的可靠度評估算例

某航天器螺旋壓縮彈簧主要受應力松弛作用， 其設計壽命為10 年， 下面給出該彈簧在10 年設計壽命下置信水平γ=0.9 的可靠度評估。

（1）彈簧性能曲線小樣本測試

設在4 個溫度水平下各投入了1 個彈簧試件開展應力松弛加速壽命試驗， 取載荷損失率5%為失效閾值，求得各試件壽命列于表3。

表3 彈簧應力松弛壽命試驗數據

設彈簧壽命與絕對溫度之間服從阿倫尼斯模型，即彈簧對數壽命lgN 與絕對溫度倒數1/T 之間滿足

式中：kR，γ（2）為二維單側容限系數，其中

（2）彈簧設計壽命下的可靠度評估

設該彈簧每年預計的服役溫度和服役時長列于表4，現對該彈簧Nt=10 年設計壽命下的可靠度進行評估。

表4 彈簧預計每年服役溫度和時長情況

首先， 根據式（37） 求得各應力水平下置信水平γ=0.9、可靠度R 的可靠壽命單側置信下限NRL，i。然后將它們代入式（2），并通過對R 的迭代計算，求得該彈簧在Nt=10年設計壽命下置信水平γ=0.9 的可靠度單側置信下限為

RL（t）＝0.999997 （39）

4 結論

提出一種產品動態可靠度小樣本評估方法， 建立了程序塊譜、 一般載荷和復雜情況下高置信度的可靠度計算公式，既能夠對產品設計壽命下的可靠度進行評估，也能夠根據單個產品在使用過程中完成的不同任務、 對應的不同載荷，實時評估其動態可靠度，結合可靠度的指標要求，實現在線單機健康狀態監控。

給出了程序塊譜下高置信度的可靠壽命計算公式，能夠對無法直接進行壽命試驗或試驗困難的設備等進行高置信度高可靠度的小樣本壽命評估。

建立了各個應力水平下方差相等和方差已知情況下高置信度高可靠度性能曲線的小樣本測試方法， 結合文獻[6-8]給出的方差不相等情況的小樣本測試方法，可以對工程上多數情況的高置信度高可靠度性能曲線進行小樣本測試。

傳統干涉模型計算動態可靠度的方法， 需要確定損傷量分布和抗損傷強度分布，不但難度大誤差大，而且無法實現真正意義上的單機健康狀態在線實時監控， 本文方法克服了傳統方法的缺點。