疲勞拉伸載荷作用下的表面裂紋擴展分析

龐闖, 田干*, 劉德俊, 郭一, 劉蒙蒙

(1.火箭軍工程大學導彈工程學院，西安 710025；2.哈爾濱師范大學數學與統計學院，哈爾濱 160025)

貯箱是一種大型的薄壁容器，結構材料多為各類鋁合金[1]，在制造、安裝或服役過程中會不可避免地產生裂紋缺陷、導致結構材料的承載服役能力下降，進而引起容器泄漏和斷裂等失效事故。而應力強度因子是含裂紋缺陷結構完整性評價的主要斷裂參量[2]，因此，當前針對應力強度因子的計算以及變化規律的研究仍然廣為關注，同時對于疲勞裂紋擴展以及壽命的分析機理的評判依舊處于不斷更迭的過程中[3-5]。針對推進劑貯箱金屬焊接件疲勞裂紋，趙穎等[6]通過仿真在應力強度值最大的危險區域引入裂紋，對不同角度和尺寸系數的裂紋對各類應力強度進行分析，得到各類強度因子隨著裂紋擴展的變化規律；Berer等[7]分析了在壓縮載荷下強度因子隨裂紋形貌的變化規律，并計算出強度因子是有關裂紋長度和深度以及裂紋間距的函數；Zareei等[8]使用權函數法研究管道內表面半橢圓裂紋在長深比大于1的最深點應力強度因子變化，并計算出在裂紋面承受不同應力分布情況下的應力強度因子分布公式；余建星等[9]從裂紋深度、長度以及管道內壓力區間3個方面得到了裂紋斷裂參數對疲勞壽命的影響。

目前，盡管對裂紋的探究已經從裂紋形貌、裂紋面載荷以及裂紋夾角等角度對裂紋尖端斷裂參量以及疲勞壽命進行了分析研究，但仍舊是以靜態裂紋作為研究對象而非對動態裂紋擴展過程中的尖端斷裂參量或疲勞壽命以及擴展過程中的機理和裂紋面形貌的形成進行詳盡的分析與探討，因此對動態裂紋的擴展機理的研究不僅能夠填補斷裂失效問題的空缺，更能夠促進對含缺陷結構強度的評估。為此，通過Franc3D裂紋分析軟件對在疲勞拉伸載荷作用下不同長深比的半橢圓裂紋的擴展機理以及疲勞壽命的計算進行了探討與研究，不僅分析了疲勞裂紋擴展中動態應力強度因子的變化規律，還對裂紋擴展路徑、速率以及壽命的計算等方面展開了深入研究，對貯箱鋁合金的應用以及材料安全穩定性評價具有一定的工程價值。

1 應力強度因子計算

應力強度因子作為可以衡量裂紋尖端相關奇異場的斷裂參量，KΙ、KⅡ、KⅢ為3種基本裂紋尖端處應力奇異點的強弱程度[10]。由線彈性斷裂力學，其數值表征與裂紋尖端應力場和應變場存在以下關系[11-15]。

o(r)

(1)

o(r)

(2)

(3)

式中：u、ν、ω為笛卡爾坐標系3個位移分量；m為常數；o(r)為高階項；r、θ為極坐標系下尖端長度和角度；G為剪切模量，與材料相關。

當θ=±180°，可忽略高階項o(r)，得到的計算公式為

(4)

(5)

(6)

基于理論計算表達式，對于很多數值計算軟件中關于應力強度因子的計算主要采用相互積分法、擴展有限元法以及M-積分法，而Franc3D通過M-積分對裂紋尖端應力強度因子計算，其表達式為[16-17]

(7)

式(7)中：Γ為圍繞裂紋尖端的積分回路；ui、xj、x1為位移分量；下標i、j為張量表示法；δ1j為i=1時的單位張量；s為單位維線長度；q為0與1的條件數值函數；應變能密度W(1,2)可表示為

(8)

式(8)中：σij、εij分別為應力和應變張量。

M-積分與應力強度因子關系為

(9)

式(9)中：E、ν分別為彈性模量和泊松比。

工程中，大多數含裂紋結構斷裂失效主要由張開型裂紋疲勞擴展引起的，因此對裂紋尖端斷裂參量KI應作為主要研究對象進而探究疲勞裂紋擴展機理以及作為含裂紋體疲勞壽命的理論依據。

2 不同初始形貌下的疲勞裂紋擴展分析

2.1 有限元模型

對不同初始形貌下的疲勞裂紋擴展過程中的尖端動態應力強度因子的變化規律進行分析，以標準疲勞拉伸試樣為研究對象，對含初始不同長深比c/a的半橢圓裂紋試樣進行裂紋擴展仿真，設定裂紋長深比為小于1、等于1和大于1三種類型，即固定裂紋深度a為1 mm，材料表面裂紋長度2c分別為1.6、1.8、2.0、2.2、2.4 mm，同時，裂紋置于試樣中心位置處，其試樣尺寸以及相應的裂紋位置標注如圖1所示，材料使用2 195-T8合金，其參數如表1所示。

表1 2 195-T8材料參數

圖1 試樣尺寸與裂紋位置

按實際尺寸，在ANSYS環境中建立模型 并劃分不含裂紋特征的試樣網格模型，由于完整試樣為均勻規則的連續體，因此采用掃略網格劃分方法，并賦予網格類型為20節點的Solid186單元，單元數為10 200，節點數為50 255，其完整試樣網格如圖2所示。

圖2 不含裂紋試樣網格

由于Franc3D需導入ANSYS前處理文件，因此將完整網格模型導進Franc3D中，同時將各種不同初始長深比c/a的半橢圓裂紋插入至試樣中心位置，此時因為裂紋的存在使得試樣不再是完整的連續體，所以網格自動由六面體網格轉化為自適應四面體網格從而能對裂紋特征更好地進行捕捉，含不同初始長深比c/a裂紋試樣重分網格后的網格模型如圖3所示。

由裂紋空間網格(圖3)可知，整個試樣網格與裂紋相接的部分都轉換為四面體網格，同時裂紋網格由表面處過渡到尖端，其網格密度逐漸增加，同時在尖端邊緣處網格為保證計算準確可行，因此采用映射面網格劃分方法使得裂紋尖端處網格光順平整化。

圖3 不同長深比的裂紋網格

2.2 疲勞裂紋擴展分析

在ANSYS分析環境中設置其邊界條件為一端固定，一端施加拉伸荷載為10 kN；再在Franc3D中設置其疲勞拉伸荷載的應力比R=0.1，即裂紋在1～10 kN的載荷范圍內進行擴展，進而對含不同初始形貌裂紋的試樣進行裂紋擴展的計算。

鑒于裂紋在疲勞拉伸載荷作用下進行擴展，因此采用分析環境當中的最大拉伸應力準則，即裂紋沿環向應力σθθ最大的方向進行擴展，而有關于σθθ的由第一類應力強度因子求解得

(10)

式(10)中：r為裂紋尖端半徑長度。

同時通過指定裂紋擴展步長為10，將裂紋前緣中點處擴展距離為0.1 mm，進而對不同初始長深比c/a的半橢圓裂紋進行擴展分析在應力比R=0.1的疲勞拉伸載荷作用下，不同長深比下的初始半橢圓裂紋的尖端應力強度因子以及擴展過程的變化如圖4所示。

圖4 不同長深比下的半橢圓裂紋擴展

圖4反映了不同長深比c/a的半橢圓裂紋在疲勞拉伸載荷作用下擴展過程中的尖端應力強度因子的變化進程，其橫坐標代表裂紋尖端各個計算節點與裂紋表面節點的距離與裂尖總長的比值，因此以裂紋尖端相對位置進行表征。由圖知，總體上，裂紋在疲勞拉伸載荷作用下，裂紋在擴展中的尖端應力強度因子數值的變化比較均勻；同時，不論c/a小于1、等于1或大于1，其應力強度因子數值在裂紋靠近試樣表面處的大小總是高于裂紋在深處方向的數值，因此不論哪一類長深比的半橢圓裂紋，其在材料表面即沿長度方向上的擴展要高于沿深度方向上的擴展程度。

另外，在裂紋剛擴展的階段，其尖端表面點以及深度方向上的應力強度因子數值上的差值較小，但是在第6個擴展步之后其數值差異則改變的越來越大，說明裂紋在剛開始尖端向前擴展沿各個方向的擴展都比較均勻，但是隨著擴展的進行其沿表面長度方向上的擴展已變成主導的擴展方向。從單條裂紋看，裂紋長深比的不同對初始裂紋尖端的應力強度因子分布有所影響，即沿深度方向上的尖端應力強度因子大小逐漸升高，而材料表面點上的數值大小相差不大但是總高于深度方向的數值大小，但對于擴展過程中的強度因子在數值上除了有所升高外，其在擴展中的尖端分布情況隨著裂紋長深比c/a的增加所對應的變化并不明顯。綜上，工程實際中，對于不同深長比的疲勞裂紋擴展需要著重考慮其在表面處所引起的結構失效；另外，雖然對于不同深長比的疲勞裂紋其初始裂紋尖端的應力強度因子變化不一致，但是其擴展過程中的斷裂參量的分布以及裂紋擴展趨勢都很接近，因此可以針對此特點對疲勞載荷作用下的裂紋擴展進行統一評估與研究。不同長深比初始裂紋的擴展路徑如圖5所示。

圖5 不同長深比下的半橢圓裂紋擴展路徑

可以看出，不同長深比c/a的疲勞裂紋的擴展進程比較均勻，其擴展距離從深度a方向到沿表面長度c方向由小至大變化，即裂紋沿深度方向擴展較慢而沿長度方向的擴展較快，從而使得不同初始長深比c/a疲勞裂紋隨著擴展的進行，整體的裂紋形貌處于半橢圓形，因此從裂紋擴展路徑上看，不論哪一類長深比的疲勞裂紋在拉伸疲勞載荷作用下會均勻擴展并且其裂紋的最終形貌仍舊為半橢圓形，且沿表面長度方向擴展的距離最長。

3 疲勞裂紋壽命分析

在上述裂紋擴展的基礎上，需探究在相應裂紋擴展距離下的循環次數大小，因此從裂紋長度與深度方向兩個角度比較不同長深比c/a初始裂紋在相同疲勞載荷下壽命變化規律，從而更好判斷疲勞裂紋擴展的內在機理。

3.1 疲勞裂紋壽命理論

針對恒定幅值疲勞拉伸載荷下裂紋苦戰規律，通常以Paris公式作為裂紋擴展速率公式為[17]

(11)

式(11)中：NP為應力循環次數；ΔK為應力強度因子變程；C和n為材料常數。

以Paris公式為依據，可以相對合理的判斷出裂紋擴展壽命，裂紋由開始長度a0發展到最大裂紋長度ac所經受的應力循環次數為[18]

(12)

臨界裂紋尺寸ac，其表達式為

(13)

式(13)中：KΙC為斷裂韌度；σs為屈服強度；φ為第二類橢圓積分，有

(14)

即

(15)

式(15)中：F為外部載荷；Δσ為應力幅值。

得

(15)

3.2 疲勞裂紋壽命仿真結果分析

根據在疲勞拉伸載荷下不同初始長深比的半橢圓裂紋擴展結果，通過在Franc3D設定疲勞壽命Paris模型，從而分析擴展中的裂紋壽命，其中材料參數C和n分別取為1.313×10-7和2.802[19]，其擴展模型如圖6所示。

圖6 2195-T8疲勞裂紋的da/dNP-ΔK曲線

不同初始長深比的半橢圓在疲勞拉伸載荷作用下其沿深度方向以及表面長度方向的擴展距離與疲勞壽命的曲線如圖7所示。可以看出，對于不同長深比下的疲勞裂紋擴展壽命，在相同疲勞拉伸載荷作用下，其裂紋擴展距離與循環次數曲線的總體趨勢十分相近，即疲勞裂紋擴展時其沿長度方向的擴展速率比沿深度方向上的速率更快，即在疲勞拉伸載荷下，含裂紋體主要由于裂紋在表面處擴展從而導致構件的斷裂失效；而且不論沿長度或深度方向擴展，曲線斜率即裂紋擴展速率隨著裂紋擴展的進行越來越高，因此不論哪一種長深比的裂紋需要在發現的初期采取相應的保護措施，否則越到裂紋擴展后期，壓力管道越容易失效。

圖7 不同長深比的疲勞裂紋壽命

5種長深比a/c疲勞裂紋沿深度或長度方向上擴展距離與循環次數的曲線如圖8所示。

圖8 不同長深比的疲勞裂紋長度或深度方向壽命比較

由圖8可知，不論沿深度方向或是沿長度方向，其裂紋擴展速率隨著裂紋長深比c/a增加而增長，而且擴展距離與循環次數之間呈指數型上升的趨勢；但是初始裂紋在疲勞拉伸載荷的作用下剛擴展時，即載荷循環次數在20次以下時，裂紋在深度方向的擴展速率近乎完全相同；而在循環次數10次以下時，沿深度方向的擴展速率亦幾乎相同。對于裂紋沿深度方向上的擴展，當長深比c/a≤1時，其擴展速率非常一致，幾乎相同；而當c/a大于1時，裂紋的擴展速率則在循環至約70次時明顯高于c/a≤1時的情形。而對裂紋沿深度方向上的擴展，其擴展速率則隨著裂紋長深比c/a的增加而上升，層次比較分明。總體上看，裂紋沿長度方向上的擴展速率要高于深度方向上的速率。綜上，對于主要承受疲勞拉伸載荷的裂紋需要關注裂紋在材料表面處的擴展，同時對裂紋長深比c/a大于1的裂紋擴展要及時采取防止斷裂的措施。

4 結論

通過對不同初始長深比c/a的半橢圓裂紋在應力比R=1的疲勞拉伸載荷作用下的擴展規律以及疲勞壽命的研究，得出以下結論。

(1)裂紋長深比c/a僅影響裂紋在初始擴展時的應力強度因子在尖端的分布，即隨著c/a由小于1到大于1的過程中，其初始裂紋尖端深度方向上的應力強度因子數值逐漸增長，但總小于裂紋尖端在近表面處強度因子的數值大小。

(2)在裂紋擴展過程中其尖端動態應力強度因子的分布與裂紋初始長深比c/a無關，即裂紋尖端近表面處強度因子數值大小始終高于沿深度方向上的強度因子數值；而且隨著裂紋持續擴展，尖端強度因子的極差值越來越大。

(3)裂紋在近表面長度方向上的擴展速率高于沿深度方向上的擴展速率；對于不同長深比c/a的疲勞裂紋，在初始擴展過程中不論其沿深度方向或是長度方向上的擴展速率相同，但隨著擴展的進行，裂紋擴展距離呈指數型增長。

(4)當裂紋長深比c/a≤1時，其在表面長度方向上的擴展速率近似相同，但小于c/a>1的情形，而沿深度方向上的擴展速率，則是c/a越高，速率越高。