換元法在解題中的應用

?哈爾濱師范大學教師教育學院 鄒佳珊

換元法又稱輔助元素法、變量代換法，是在解題的過程中引進新的變量，把分散的條件聯系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯系起來，變為熟悉的形式，把復雜的計算和推理論證過程簡化.換元法是高中數學解題中的一類重要而巧妙的解題方法.在數學中，“元”是未知數的意思，我們在解題中經常遇到含有未知數的情形，例如方程、不等式、函數等.利用換元法來解決這類問題，不僅有利于快速找到解題思路，而且解題過程方便靈活，掌握換元法的基本思想及方法對提升數學解題能力大有益處[1].

常見的換元方法有整體換元、三角換元等，下面以具體的習題為例，探究何時可以利用換元法解題.

1 整體換元法的應用

當某個代數式作為“整體”反復多次出現，為了簡化計算，可以將重復出現的部分進行“換元”處理.

為何“換元”：此題如果直接去分母進行求解，會得到一個四次方程.通過觀察可以發現x2-x既在等式左邊出現，又是等式右邊的分母，把這一部分替換成另一個未知數，可以達到降冪的效果，將難解的高階方程化為熟悉的一元二次方程.

把x=(t-1)2代入原解析式中，則f(t)=t2-2t+3(t≥1).

我們知道，對應關系與自變量取哪個字母無關，故f(x)=x2-2x+3(x≥1).

理解換元法的本質進而用換元法來求函數的值域是高中數學的重要知識點.本題比較簡單，雖然也可以利用其他方法來求解，但是對學生理解換元法的內涵有啟發作用[3].

圖1

2 三角換元法的應用

三角換元常用于去根號，或者將代數式變換為三角形式更易求解.主要利用已知代數式與三角知識的某種聯系進行換元.

為何“換元”：不難發現x的取值范圍是{x|0≤x≤1}，恰好是正弦函數y=sinx值域的子集，我們又有去根號的需要，希望可以通過換元將被開方數的次數變為2.

如變量x，y適合條件x2+y2=r2時，也可以作三角代換：x=rcosθ，y=rsinθ.

例7(2020年清華大學強基計劃)若x2+y2≤1，則x2+xy-y2的取值范圍是.

為何“換元”：前面已經提到了x2+y2=r2的換元方法，此題不過是對r的取值范圍做了限制.

如何“換元”：，若設x=rcosθ，y=rsinθ，θ∈[0,2π)根據題意可知r≤1，則

x2+xy-y2

=r2cos2θ+r2cosθsinθ-r2sin2θ

例8(2020年復旦大學強基計劃)已知實數x,y滿足x2+2xy=1，求x2+y2的最小值.

為何“換元”：看到x2+y2=r2， 依然是三角換元法的常見形式，可以先換元，再檢驗是否可行.

如何“換元”：設x=rcosθ,y=rsinθ,θ∈[0,2π)，代入x2+2xy=1中，可以得到r2cos2θ+2r2sinθcosθ=1.由于我們要求的是r2，因此整理得

根據輔助角公式,可得

本題啟發我們，x2+y2=r2無論是在題干中出現，還是求它的取值范圍，都可以考慮利用三角換元法來求解.

孔子曰：“舉一隅不以三隅反，則不復也.”經過以上幾道例題的分析，可以總結得出何時應用換元法解題：若題目中有重復出現的部分，則常常可以對重復出現的部分進行換元，利用整體換元法求解；而三角換元法則往往是被換元部分的取值范圍與三角函數值的范圍[-1,1]或(0,1)等相關，或有“去根號”的需要，合理利用同角三角函數的基本關系式、三角恒等變換、輔助角公式等進一步化簡求值.