高中數學教材三角函數內容比較研究
——以北師大版與人教A版為例

?哈爾濱師范大學教師教育學院 李明慧

1 研究背景與目的

2017年頒布的《普通高中數學課程標準》(簡稱新課標)是時代發展要求和教育改革的產物[1].課程標準是教材編寫的主要依據，各個版本教材既要準確反映課程標準的要求，又要有各自的特色和創新.筆者以2019年北師大版普通高中數學教科書和2019年人教A版普通高中數學教科書為研究對象，運用文本分析法和統計分析法，對兩版教材中三角函數內容進行比較研究，分析其共性與特性，總結出新教材編寫的特點.

2 研究過程

下面從教材結構和教材內容兩方面進行對比分析.其中教材結構包括章節設置和體例結構，教材內容包括知識編排、文化融入、例習題設置.

2.1 教材結構

2.1.1章節設置

兩個版本教材三角函數內容章節設置如表1所示.

表1 北師大版和人教A版章節設置比較

北師大版(必修二)第四章 三角恒等變換4.1同角三角函數的基本關系4.2兩角和與差的三角函數公式4.3二倍角的三角函數公式人教A版(必修一)第五章 三角函數5.1任意角和弧度制5.2三角函數的概念5.3誘導公式5.4三角函數的圖象與性質5.5三角恒等變換5.6函數y=Asin(ωx+φ)5.7三角函數的應用

根據表1可知，兩版教材的相同之處是均以單位圓為媒介按照“背景—對象—概念—圖象—性質—應用”的結構展開各節編排.不同之處是人教A版教材更注重三角函數內容的整體性；北師大版教材更注重概念規則的形成過程，關注數學概念、規則發展的來龍去脈.具體從以下兩個方面說明.

從所處位置來看：人教A版教材三角函數位于必修一第五章，與其他函數整合為了一個主題，體現了同一主線內容之間的有機銜接，凸顯了知識內容編排的整體性；而北師大版教材三角函數位于必修二，與其他函數內容分散開，不利于學生從整體上把握知識，在“三角函數”與“三角恒等變換”之間穿插了向量的知識，破壞了知識之間的連貫性與系統性.

從編寫內容來看：與人教A版教材相比，北師大版教材在章節劃分上更為細致，把每一個小的知識點作為一小節內容詳細論述；在第一節設置了周期變化的內容，為后面概念和性質的學習打下基礎；在概念的引入過程中詳細地說明了怎樣利用單位圓來展開本節知識，以及從對應說的角度說明了正弦、余弦函數的概念與函數概念的一致性.

2.1.2 體例結構

通過分析教材，將兩個版本教材三角函數章節的體例結構整理成圖，如圖1、圖2.

圖1 北師大版體例結構

圖2 人教A版體例結構

通過對比可以發現，兩版教材體例結構都是按照“章導入—正文—小結—復習”的順序來編排的.兩版教材的正文均設置了“思考”“練習”“習題”欄目，強調“以學生為本”的理念，重視知識習得后的應用.不同點是人教A版教材在每一節都設置了導入語，引導學生明確本節課的學習任務，激活學生的已有認知，為即將學習的新知識提供方法上的引導.北師大版欄目的設置較為詳細，突出了“問題性學習”的特點，其中，“實例分析”“問題提出”“抽象概括”“分析理解”等欄目的設置更適合學生自學，體現了教材提倡的“以自學為本”的學習方式.

2.2 教材內容

2.2.1 知識編排

概念課和性質課是高中數學課堂教學中最主要的兩種課型，因此選擇“三角函數的概念”和“函數y=Asin(ωx+φ)”兩節內容進行對比分析.

(1)三角函數概念的呈現方式對比

縱觀現行的幾個版本的教材發現，三角函數的概念的呈現方式主要有兩種，即“終邊定義法”和“單位圓定義法”.人教A版和北師大版教材中均采用的是“單位圓定義法”，但具體實施方式有所差別，具體如表2所示.

表2 兩版教材三角函數概念的呈現方式比較

根據表2可知，人教A版教材概念的形成經歷了“背景-研究對象-對應關系的本質-定義”的過程，體現了研究一個對象的“基本套路”[1].北師大版三角函數的概念是在初中銳角三角函數的基礎上做了推廣，這種做法有利于學生初高中知識的銜接，但割裂了與其他函數知識的聯系.兩版教材的共性是均以單位圓為“腳手架”展開知識編排，符合新課標中提出的“知識的系統性”要求.

(2)“函數y=Asin(ωx+φ)”的呈現方式對比

根據表3可知，兩版教材均以現實背景引入本節課的知識，讓學生感受到數學來源于生活.人教A版教材利用三角函數來構建盛水筒運動的數學模型，體現了函數建模的思想[1].北師大版教材讓學生經歷了問題提出、抽象模型、求解模型的過程，提升了學生的數學建模素養.此外，人教A版教材著重突出了信息技術的應用，實現了新課標中提出的將信息技術與數學課程深度融合的理念.

表3 兩版教材函數y=Asin(ωx+φ)的呈現方式對比

2.2.2 文化融入

新課標指出教材應當把數學文化融入到學習內容中去[2].通過對比兩版教材發現，融入文化的內容主要包括兩個部分，一是在非正文的欄目中，二是在例習題中.如表4所示.

表4 兩版教材的文化融入對比

可以發現，兩版教材內容都融入了數學文化，貫徹了新課標的理念.其中人教A版中數學文化的融入類型更多樣.具體來看，既有花壇、摩天輪等現實生活中的文化，又有數學史的融入，彰顯了新課標所倡導的文化價值要求.

2.2.3 例習題設置

統計兩個版本例習題的數量，結果如表5所示.

表5 兩版教材例習題數量對比

由表5可知，與人教A版教材相比，北師大版教材的例習題總數較多.究其原因是北師大版本將三角函數分為兩章，且每一節都配有相應的例習題.從總體上看，兩個版本的教材中都配備充足的例習題以保證學生知識的鞏固訓練.從“練習”設置的方式來看：北師大版教材在每一小節后都會設置一個練習，注重本節知識的綜合應用；而人教A版在一節中設置多處練習，注重對每個知識點的鞏固.從“習題”和“復習參考題”設置的方式來看：北師大版教材只是按照順序設置為A組、B組、C組；而人教A版教材則分為“復習鞏固”“綜合運用”“拓廣探索三個欄目，這種設置使習題更具有層次性，由淺入深地幫助學生鞏固知識.

3 研究結論

通過對比分析發現，兩版教材均能較好地貫徹新課標中的教材編寫建議[3]，同時二者又有各自的編寫特點：

(1)兩版教材都注重發展學生的數學學科核心素養.

在概念的形成過程中，學生經歷了由現實生活情境抽象出數學模型的過程，在函數y=Asin(ωx+φ)一節中使學生經歷了提出問題、構建模型、求解模型的過程，培養了學生數學抽象、數學建模和邏輯推理核心素養.

(2)兩版教材均將數學文化與數學知識相融合，注重與實際生活的聯系.

教材中選取的文化素材類型多樣，突出了三角函數章節的文化價值，體現了三角函數與現實生活的密切聯系.

(3)人教A版教材突出了單元整體的任務意識，有利于學生從整體上掌握知識.

人教A版教材以“單位圓”為腳手架，按照“背景—對象—概念—圖象—性質—應用”的結構展開各節編排，使知識聯系具有系統性.將三角函數與其他函數編排在一本教材，注重知識間的有機銜接.

(4)北師大版教材注重學習過程的引導性和啟發性.

北師大版教材每一節均設置實例分析、抽象概括或問題提出、分析理解欄目，引導學生循序漸進、由淺入深地學習知識.在概念引入的過程中回顧初中學過的銳角三角函數知識，幫助學生喚醒已有認知，啟發學生接納新知識.