“指、對同構法”在不等式問題中的應用

?山東省博興縣第三中學 王麗慧

指數式與對數式綜合的不等式恒成立或不等式證明問題，是各類模擬考試及高考的常見題型.解答此類問題的常用策略是利用指數式與對數式的變換關系，構造相同的函數模型，并利用函數的性質求解.下面針對這一方法的應用引例說明.

1 題目呈現

例1已知函數f(x)=x2e3x.

(2)若x>0時，恒有f(x)≥(a+3)x+2lnx+1，求實數a的范圍.

本題第(1)問較為基礎，直接利用導數求函數的最值即可.第(2)問由不等式恒成立求參數的范圍，題目所給的不等式既含有指數式，又含有對數式，可利用“同構法”處理.下面詳細闡述同構法的變形與應用技巧.

2 解法綜述

在此類問題中常涉及如下幾種函數模型：

這些函數的性質直接利用導數即可判斷，在此不再贅述.

同構法的應用有兩種變換方式：

一種是化指數式，如

另一種是化對數式，如

切線放縮法主要有兩個切線模型，即ex≥x+1(x=0時取等號)和x-1≥lnx(x=1時取等號).這兩個不等式也可利用導數法直接證明，過程略.

3 問題解答

下面采用兩種同構變形方式處理.

3.1 “化指”

由切線不等式ex≥x+1，得e2ln x+3x≥2lnx+3x+1，當2lnx+3x=0時等號成立.

所以

即函數g(x)的最小值為0.

所以滿足條件的a的范圍是(-∞,0).

3.2 “化對”

由切線不等式x-1≥lnx(x=1時取等號)，得ln(x2e3x)+1≤x2e3x，當x2e3x=1時等號成立.

所以滿足條件的a的范圍是(-∞,0).

4 小試牛刀

例2對于任意x>0，不等式2ae2x-lnx+lna≥0恒成立，則實數a的最小值為______.

解法1:“化指”.

將不等式2ae2x-lnx+lna≥0變形，得2ae2x≥lnx-lna.

因為2ae2x=eln(2a)e2x=eln a+2x+ln 2，所以e2x+ln a+ln 2≥lnx-lna，進一步構造得

e2x+ln a+ln 2+2x+lna+ln 2≥lnx-lna+(2x+lna+ln 2).

化簡得

e2x+ln a+ln 2+2x+lna+ln 2≥ln(2x)+2x.

因為2x=eln(2x)，所以

e2x+ln a+ln 2+2x+lna+ln 2≥eln (2x)+ln (2x).

①

設g(x)=ex+x，則式①為g(2x+lna+ln 2)≥g[ln(2x)].又g(x)=ex+x在(0,+∞)內單調遞增，所以2x+lna+ln 2≥ln(2x)，即lna≥lnx-2x.

解法2:“化對”.

②

5 考題鏈接

例3已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)當a=e時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍.

本題是2020年新高考山東卷導數壓軸題，所給關系式中既有指數式，也有對數式，可利用同構法處理.下面僅對第(2)問進行解答.

解法1:“化指”.

將不等式aex-1-lnx+lna≥1變形，得aex-1≥lnx-lna+1，即

eln aex-1=eln a+x-1≥lnx-lna+1.

進一步變形得

eln a+x-1+(lna+x-1)≥lnx-lna+1+(lna+x-1)，即eln a+x-1+(lna+x-1)>lnx+x，即

eln a+x-1+(lna+x-1)≥eln x+lnx.

③

設g(x)=ex+x，則不等式③等價于

g(lna+x-1)≥g(lnx).

又g(x)為增函數，所以lna+x-1≥lnx，即

lnx-x+1≤lna.

所以lna≥0,解得a≥1.故a∈[1,+∞).

解法2：“化對”.

④

所以lna≥0，解得a≥1.故a∈[1,+∞)

總之，有關指數式與對數式的不等式問題，雖然綜合性強，但只要我們掌握相應的處理策略及變形技巧，即可化難為易.