三角形綜合問題一題多解

?湖北省黃岡市團風中學 林菊芳

1 引言

從近幾年的高考試題來看，解三角形問題成為高考的高頻考點.主要考查運用正、余弦定理及其他相關的變形公式解決與三角形有關的證明、求面積、判定三角形形狀等問題；題型多樣，既有填空題、選擇題，也有簡答題和綜合應用題，側重考查計算能力和分析問題、解決實際問題的能力[1].下面是筆者總結的幾種解題的方法與技巧，供大家參考.

2 三角形證明題“兩要”法

三角形中的證明類問題，其基本思路和方法與證明三角恒等式類似.證明的要領可歸納為“兩要”：一要“轉化”，變陌生為熟悉，就是運用正、余弦定理使原來混合的邊、角關系統一為邊的關系或角的關系，將其轉化為我們熟悉的三角恒等式類的證明問題，或將其轉化為代數恒等式類的證明問題；二要靈活運用三角形中的相關結論(公式、定理)，例如

sin(B+C)=sinA，cos(B+C)=-cosA，

例1在△ABC中，已知acosA=bcosB，求證：△ABC為等腰三角形或直角三角形.

證法1：從角入手進行證明.

在△ABC中，由acosA=bcosB，得2RsinA·cosA=2RsinBcosB，即sin 2A=sin 2B.

所以，△ABC為等腰三角形或直角三角形.

證法2：從邊入手進行證明.

在△ABC中，由acosA=bcosB，得

整理，得c2(a2-b2)=a4-b4.

即c2(a2-b2)=(a2-b2)(a2+b2).

于是 (a2-b2)[c2-(a2+b2)]=0.

所以a=b，或c2=a2+b2.

故△ABC為等腰三角形或直角三角形.

例2在△ABC中，求證：sin2A+sin2B-sin2C=2sinAsinBcosC.

證法1：因為

sin2A+sin2B-sin2C

=cos2(A+B)-cos(A+B)cos(A-B)

=cos(A+B)[cos(A+B)-cos(A-B)]

=-cosC(-2sinAsinB)=2sinAsinBcosC,

所以，原等式得證.

所以，原等式得證.

所以，左邊=右邊，故原等式得證.

3 運用“轉化法”判斷三角形的形狀

例3在△ABC中，若B=60°，2b=a+c，試判斷△ABC的形狀.

解法1：由正弦定理，得2sinB=sinA+sinC.

即sin(C+30°)=1.

因為0°

于是A=60°=B=C.

故△ABC為正三角形.

解法2：由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB.

整理，得(a-c)2=0，即a=c，從而a=b=c.

故△ABC為正三角形.

例4在△ABC中，已知b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，試判定△ABC的形狀.

8R2sin2Bsin2C=8R2sinBsinCcosBcosC.

因為sinBsinC≠0,所以sinBsinC=cosBcosC.

于是cos(B+C)=0，則B+C=90°，所以A=90°.

故△ABC為直角三角形.

解法2：將已知等式變為

b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccosBcosC.

化簡得b2+c2=a2.

故△ABC為直角三角形.

4 巧用公式求三角形的面積.

其次，針對不同的題型和具體要求，靈活地選用或變形使用三角形面積公式.

例5在△ABC中，已知A=120°，AB=5，BC=7，求△ABC的面積.

圖1

圖2

例6某職業中專校園背后有一塊形似三角形的學農基地(如圖2)，AB邊長為20 m，由點C看AB的張角為40°，在AC上的另一點D處看AB的張角為60°，已知AD=2DC.試求這塊學農基地的面積(精確到0.1 m2).

解：依題意可知∠BCA=40°，∠BDA=60°， 則∠DBC=20°，∠BDC=120°.設DC=x.

在△ABC中，AB=20,利用余弦定理可知

AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cosC.

即400=(3x)2+(2.53x)2-2×3×2.53x2cos 40°.

解得x≈10.3,從而AC=30.9,BC≈26.03.

故這塊學農基地的面積約為257.4 m2.

5 活用正、余弦定理求解高度與追擊問題

求解高度與追擊問題，大多要利用正、余弦定理，聯系高度、距離所在的某個三角形，弄清方向角、方位角，將有關角的關系進行綜合應用，觀察和求出所在三角形中的某些邊、角，當條件不夠時，需要創造和尋找條件[3]，將有關條件向該三角形轉化，最終化為解三角形的問題.

圖3

解：由A=15°，∠DBC=45°，可得∠ACB=30°.

因為CD⊥AD，所以

CD=BCsin∠CBD

≈10 500(1.7-1)

=7 350(m).

故山頂的海拔高度為10 000-7 350=2 650 (m).

圖4

在△ABC中，∠BAC=45°+75°=120°,則

BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos∠BAC

=6.

由正弦定理，得

所以∠ABC=45° ，且BC為東西走向.

由題意可知∠CBD=120°.

在△BCD中，由正弦定理，得

所以∠BCD=30°.

于是∠BDC=30°.

6 結論

綜上所述，解三角形問題的關鍵是要準確理解三角形中的邊角關系，會嫻熟地運用相關的公式、定理；對于實際應用題，最好能夠運用數形結合思想，通過構圖、作輔助線等方法幫助分析、思考問題.