追根溯源 推廣探究
——以2021年數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第21題為例

?安徽省蕭城一中 楊 剛

教材與考試大綱是歷年高考命題最直接、最基本的基石，尤其數(shù)學(xué)教材一直是高考命題的主要依據(jù).借助數(shù)學(xué)教材中的一些例(習(xí))題，或融合數(shù)學(xué)知識，或挖掘問題背景，或提煉思想方法，或優(yōu)化解題策略，或倡導(dǎo)綜合應(yīng)用，或拓展探究提升等，形式各樣，變化多端.高考命題植于教材情理之中，源于教材意料之外，高于教材能力之上.

1 真題呈現(xiàn)

(1)求C的方程；

題目設(shè)置比較常規(guī)，第(1)問通過雙曲線的定義確定軌跡方程，比較簡單，如果采用直譯題意建立關(guān)系式來處理，化簡方程時運算量比較大；第(2)問通過直線方程的設(shè)置，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元處理，思維也比較常規(guī).

2 追根溯源

以上高考真題源于普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《數(shù)學(xué)·選修4-4·A版》(人民教育出版社，2007年1月第2版)第38頁例4：

AB，CD是中心為O的橢圓的兩條相交弦，交點為P.兩弦AB，CD與橢圓長軸的夾角分別為∠1，∠2，且∠1=∠2.求證：|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.與以上教材中的例4相應(yīng)的探究題：如果把橢圓改為雙曲線呢，是否有類似的結(jié)論？

3 真題破解

高考真題的第(1)問比較常規(guī)，其解答過程如下：

方法一：設(shè)線法——普通方程.

所以 |TA|·|TB|

根據(jù)|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，可得

所以，直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

點評：設(shè)直線的普通方程，是破解此類直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題最常用的基本方法.根據(jù)直線存在斜率，設(shè)出直線的點斜式方程，與圓錐曲線方程聯(lián)立，結(jié)合消元轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系以及弦長公式加以變形與轉(zhuǎn)化，借助替換法求解另兩條線段長積的表達式，進而確定兩直線的斜率之和為0.設(shè)線之普通方程法是最基本，也是破解時最容易想到的思路方法，但運算量比較大.

方法二:設(shè)線法——構(gòu)造方程.

所以 |TA|·|TB|

以下與方法一的解析相同.

方法三:設(shè)線法——參數(shù)方程.

根據(jù)|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，可得

所以16cos2α-sin2α=16cos2β-sin2β.

即17cos2α-1=17cos2β-1，亦即cos2α=cos2β.

由α≠β，可得cosα=-cosβ，于是α+β=π，則有tanα=-tanβ，即tanα+tanβ=0.

所以直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

點評：設(shè)線之參數(shù)方程法，可以直接利用直線參數(shù)方程中對應(yīng)參數(shù)的幾何意義來處理與轉(zhuǎn)化有關(guān)的線段長度問題，使問題的破解更加直接有效；同時又可以避免討論直線斜率的存在性問題，在一定程度上可優(yōu)化解題過程，減少運算量.設(shè)線之參數(shù)方程法，現(xiàn)行的教材不作要求，但作為拓展與提升的知識，有時可以很好地處理一些相關(guān)問題.

4 變式拓展

事實上，以上高考真題中“有相同交點的兩割線長度的乘積相等”與“有相同交點的兩割線所在的直線的斜率之和為0”是等價條件，可得到以下對應(yīng)的變式問題.

(1)求C的方程；

所以|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|.

5 推廣探究

總結(jié)以上橢圓、雙曲線的問題，進一步加以推廣探究，可以得到以下一般性的結(jié)論：

若AB，CD是中心為O的圓錐曲線(橢圓、雙曲線或拋物線中的一種)的兩條相交弦，交點為P.兩弦AB，CD的傾斜角分別為α，β(α≠β)，則α與β互補? |PA|·|PB|=|PC|·|PD|.

此處兩條相交弦所在的直線的傾斜角互補，可以有其他的等價說法，如對應(yīng)直線的斜率之和為0等.