“數”“形”和諧統一，問題巧妙破解*
——以2021年數學新高考Ⅱ卷第15題為例

?甘肅省武山縣第一高級中學 田 娟

平面向量具有獨特的“數”與“形”的“兩面性”，既可以從“數”的因素加以抽象或運算，又可以從“形”的思維加以設置或切入，一直是高考數學的常見題型之一，常考常新，創新新穎，變化多端.實際破解此類問題時，要全面提高用“數”、解“數”思維，拓展識“形(圖)”、用“形(圖)”能力，充分強化與實現代數運算、直觀想象等核心素養在平面向量及其他相關問題中的巧妙應用.

1 真題呈現

高考真題(2021年數學新高考Ⅱ卷第15題)已知向量a+b+c=0，|a|=1，|b|=|c|=2，則a·b+b·c+c·a=______.

2 真題剖析

該題條件簡潔明了，以平面向量為問題背景，已知三個平面向量的模，以及三者之和為零向量，進而確定三個向量兩兩之間的數量積之和.

試題中平面向量b與c之間具有對稱性，二者可以輪換處理，與向量a三者之間的和為零向量，為問題中三個向量兩兩之間的數量積之和的求解指明了方向.

具體破解時，可以直接利用平面向量的代數運算，結合平面向量的線性關系式的平方處理，或整體處理，或同級別局部處理，或差級別局部處理；結合平面向量的幾何直觀性，結合平面向量的投影加以數形結合處理；結合平面直角坐標系的建立，利用條件確定對應向量的坐標，利用數量積的坐標公式處理等.不同思維視角，破解方法不同，都可以達到巧妙轉化，正確破解的目的.

3 真題破解

思維視角一：代數思維

方法1：整體思維.

解析：由a+b+c=0，兩邊平方可得(a+b+c)2=02.

展開得|a|2+|b|2+|c|2+2(a·b+b·c+c·a)=0，將條件代入，可得

1+4+4+2(a·b+b·c+c·a)=0.

點評：將所求的式子看作一個整體，結合條件中三個向量之和為零向量加以兩邊平方處理，去括號展開并利用向量的模加以代入，整理即可求解對應的結論.整體思維處理，高觀點切入，巧妙簡捷.

方法2：局部思維.

解析：由a+b+c=0，可得a+b=-c.兩邊平方，可得(a+b)2=c2.

點評：將條件中三個向量之和為零向量加以移項處理，將其中兩個向量之和作為一個局部看待，兩邊進行平方處理，去括號展開并利用向量的模加以代入，求得其中兩個向量數量積的值，同理求解另外兩個相應向量數量積的值，相加即可求解對應的結論.局部思維處理，逐一求解數量積，局部分析，逐個擊破.

方法3：局部加強思維.

解析：由a+b+c=0，可得a+b=-c，兩邊平方，可得(a+b)2=c2.

又由a+b=-c，可得(a+b)·c=-c·c=-|c|2=-4，即a·c+b·c=-4.

點評：結合局部思維確定其中兩個向量數量積的值，再利用移項后的結果兩邊同時與第三個向量的數量積運算，是局部思維的“加強”版，二者相加即可求解對應的結論.局部加強思維，善于觀察，合理變換，巧妙應用，很好提高解題效益.

思維視角二：幾何思維

方法4：投影思維.

圖1

連接BC，交AO的延長線于點M，過點C作BO的延長線的垂線，垂足為N.

結合題目條件以及圖形的對稱性，可知4|OM|=2|OA|=|OB|=|OC|=2，BC⊥AM.

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點評：根據平面幾何作圖處理，利用圖形的對稱性可知向量b與c關于向量a所在的直線對稱；通過幾何圖形的直觀，結合垂直的作圖處理，利用直角三角形相似的性質確定對應的線段長度；結合平面向量的投影確定對應三個向量兩兩之間的數量積，相加即可求解對應的結論.幾何直觀對稱，垂直投影運算.

思維視角三：坐標思維

方法5：坐標思維.

圖2

結合勾股定理，可得

點評：根據平面直角坐標系的建立，利用圖形的對稱性以及幾何圖形與平面向量之間的關系，運用平面向量的線性運算與幾何圖形的特征，分別建立三個向量的坐標，結合平面向量的數量積的坐標公式來求解.建立平面直角坐標系，結合代數知識，從幾何角度確定坐標，利用坐標確定數量積.

4 變式拓展

探究：根據以上高考真題及其破解方法，保留三個平面向量之和為零向量的背景，改變各自模的取值，使問題更具一般性，可以得到以下一般性的變式問題.這時，只能考慮借助代數思想來分析與處理.

變式已知向量a+b+c=0，|a|=m，|b|=n，|c|=p，其中常數m，n，p均為正實數，則a·b+b·c+c·a=______.

解析：由a+b+c=0，兩邊平方可得(a+b+c)2=02，即

|a|2+|b|2+|c|2+2(a·b+b·c+c·a)=0.

所以m2+n2+p2+2(a·b+b·c+c·a)=0.

5 解后反思

(1)抓住平面向量“數”的特征來運算

破解平面向量問題時，往往可以直接從平面向量“數”的特征入手，利用平面向量“數”的因素加以抽象或運算，利用平面向量的線性運算、數量積運算等，或借助平面直角坐標系的建立結合坐標運算來解決，利用代數的本質加以合理轉化與巧妙運算.

(2)抓住平面向量“形”的思維來直觀想象

破解平面向量問題時，往往可以直接從平面向量“形”的思維入手，結合平面向量“形”的直觀確定數量關系、位置關系等，特別是涉及一些有關平行、垂直的關系，利用平面向量的幾何圖形，結合幾何推理與直觀運算加以形象處理.

借助平面向量“數”與“形”的和諧統一與相互轉化，或從“數”的角度加以代數運算，或從“形”的角度加以直觀想象，總結技巧策略，發散解題思維，提升數學能力，形成良好品質，培養數學核心素養.