借助三角形外心 巧妙求解參數值
——對一道向量題的探究

?江蘇省無錫市江陰長涇中學 劉旭東

平面向量同時兼備“數”的性質與“形”的特征，一直是歷年高考數學試題中的熱點題型之一.而在平面向量中融入三角形的基本特征，設置創新新穎，內涵豐富多彩，破解思維多變，是數學知識、數學思想方法和數學能力交匯與融合的一大主陣地，具有很好的選拔性與區分度，倍受各方關注.

1 問題呈現

此題以三邊長確定的三角形為問題背景，結合三角形的外心，通過含參的平面向量的線性關系式的設置，來確定對應的兩參數的和.破解時，可以從平面向量角度、解三角形角度、坐標角度等切入，利用不同的方法來處理與求解.

2 問題破解

方法1：數量積轉化法.

圖1

如圖1,過外心O作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D，E，則D，E分別為AB，AC的中點.

點評：結合平面幾何的圖形特征，通過輔助線的構建，借助三角形外心的實質，綜合平面向量的數量積以及直角三角形的定義加以轉化，建立兩參數的方程組，利用方程組的解來確定相應的參數值，進而求解兩參數的和.合理利用平面向量的線性關系，結合向量數量積公式的應用加以巧妙轉化，這是破解此類平面向量計算問題的常見方法.

圖2

方法2：解三角形法.

解析：如圖2,延長AO交BC于點D.

根據余弦定理，可得

由同角三角函數基本關系式，得

在△OAB中，根據余弦定理，得

由同角三角函數基本關系式，得

所以∠OAB=∠ADB，于是BD=AB=4.

點評：結合三角形的幾何背景，綜合應用余弦定理與正弦定理、同角三角函數基本關系式、三角形的內角和、誘導公式以及三角恒等變形公式等，通過平面向量中三點共線的性質及其定理加以合理轉化，進而求解兩參數的和.合理利用解三角形與平面向量的綜合知識，結合三角函數的相關知識加以巧妙轉化，這是破解此類涉及三角形的平面向量問題的常見方法.

方法3：余弦定理的向量表示法.

結合余弦定理的向量表示形式，由上式可得

32λ+27μ=16.

①

3λ+8μ=4.②

故選擇答案：C.

點評：方法3是在方法1的基礎上進一步優化而來，借助余弦定理的向量表示形式加以轉化與應用，結合平面向量的數量積與余弦定理的應用來處理，合理轉化，巧妙破解，進而得以求解兩參數的和.合理利用余弦定理，是對平面向量與解三角形知識的有效融合與應用，可以更好優化過程，提升解題效益.

3 變式拓展

探究1：保留問題的所有條件，改變設問方式，分別求解兩參數的對應值，得到以下對應的變式問題.

探究2：保留三角形外心的背景，改變問題的相關條件，給出平面向量的線性關系式，求解對應角的余弦值，得到以下對應的變式問題.

4 解后反思

破解此類巧妙融合三角形與平面向量相關知識的數學問題，關鍵是正確把握其中“數”的性質與“形”的特征.可以從“數”的性質入手，利用代數視角，通過代數運算或平面向量的運算等形式來解決；也可以從“形”的特征入手，利用幾何直觀，通過平面幾何特征或圖形直觀等形式來處理；更高層次就是“數”與“形”的綜合應用，兩者協同合作，通過坐標運算等形式來破解等.破解思維各異，方法多樣.