巧“數”“形”切入，妙變式拓展
——一道不等式恒成立問題的探究

?江蘇省灌云高級中學 林利芹

含參不等式恒成立問題是一類極具綜合性與創新性的復雜應用問題，是歷年高考數學試題中常見的一類難題，有時以小題形式出現，有時也以解答題形式出現.此類問題合理溝通函數與不等式等相關知識，知識融合性強，背景變化多端，問題創新性強，切入思維多樣，能有效考查學生各方面的知識、思想方法與能力，具有較好的選拔性與區分度，倍受命題者青睞.

1 問題呈現

問題[2021屆江蘇省G4(蘇州中學、常州中學、鹽城中學、揚州中學)高三上學期期末數學試卷·8]若ex-a≥lnx+a對一切正實數x恒成立，則實數a的取值范圍是( ).

C.(-∞，2] D.(-∞，e]

此題以指數函數、對數函數為問題背景，探究含參不等式恒成立時相關參數的取值范圍問題.破解此類問題的常見思維視角是從不等式或函數這一“數”的視角切入，或從函數圖象這一“形”的視角切入，都能達到切入與轉化的目的，關鍵是合理參變分離，巧妙化歸與轉化，借助不同的方法進行分析與處理.

2 問題破解

方法1：隱零點法.

解析：設函數f(x)=ex-a-lnx-a(x>0)，則f(x)≥0對一切正實數x恒成立，即f(x)min≥0.

故函數f(x)在(0，x0)上單調遞減，在(x0，+∞)上單調遞增，從而f(x)min=f(x0)=ex0-a-lnx0-a≥0恒成立.

所以2a≤2，解得a≤1.故選擇答案：B.

點評：根據題目條件中的不等式，作差構造函數f(x)，從而將不等式恒成立問題轉化為求解函數f(x)的最小值.結合求導，以及導函數的設置與求解，確定隱零點.借助關系式的變形與轉化，分離參數，利用基本不等式確定含零點關系式的最值，進而結合不等式恒成立的條件來確定參數的取值范圍.隱零點法破解問題的關鍵是兩次求導，結合隱零點的設置，借助零點參數關系式的變形與轉化以及基本不等式的應用來確定最值，思維自然，但過程繁瑣.

方法2：同構法.

解析：由ex-a≥lnx+a，配湊可得

ex-a+x-a≥x+lnx=elnx+lnx.

①

同構函數f(x)=ex+x，易知函數f(x)是R上的增函數.

由不等式①，可知f(x-a)≥f(lnx)，則有x-a≥lnx，即a≤x-lnx.

于是函數g(x)在(0，1)上單調遞減，在(1，+∞)上單調遞增，則有g(x)min=g(1)=1.

所以a≤g(x)min=1.故選擇答案：B.

點評：根據題目條件中的不等式加以合理配湊，同構相應的函數.結合函數的單調性轉化為對應的不等式，進而分離參數.結合函數的設置，通過求導，利用單調性求解函數的最小值.最后結合不等式恒等式的條件來確定參數的取值范圍.同構法破解問題的關鍵就是合理“察顏觀色”，巧妙配湊函數.

方法3：反函數法.

解析：將不等式ex-a≥lnx+a的左、右兩邊分別看作兩個函數y=ex-a和y=lnx+a，這兩個函數剛好互為反函數，對應的圖象關于直線y=x對稱.

函數y=ex-a的圖象是由函數y=ex的圖象向右平移a個單位得到的，函數y=lnx+a的圖象是由函數y=lnx的圖象向上平移a個單位得到的.

而函數y=ex在x=0處的切線方程為y=x+1，y=lnx在x=1處的切是方程為y=x-1.

結合不等式ex-a≥lnx+a恒成立，則x-a+1≥x-1+a恒成立.即2a≤2，解得a≤1.

故選擇答案：B.

點評：將題目條件中不等式左右兩邊的代數式看作兩個函數，利用反函數的概念與性質，通過函數圖象的平移變換，結合簡單函數的切線方程的求解，借助數形結合的直觀想象以及不等式恒成立的條件建立對應的不等式，進而確定參數的取值范圍.反函數法破解問題的關鍵是合理抽象，巧妙轉化，數形結合，代數運算.數形結合思想的應用也為問題的變式拓展提供了條件.

3 變式拓展

探究1：通過以上問題反函數法中的數形結合思想，可以把不等式問題轉化為對應的方程問題，利用方程的解的不同情況來確定參數的不同取值情況，得到以下對應的系列變式題.

變式1若方程ex-a=lnx+a無實數解，則實數a的取值范圍是.

變式2若方程ex-a=lnx+a有唯一實數解，則實數a的值為.

變式3若方程ex-a=lnx+a有兩個不相等的實數解，則實數a的取值范圍是.

解析：參考以上問題的反函數法解答問題.

(1)若方程ex-a=lnx+a無實數解，則有x-a+1>x-1+a成立.即2a<2，解得a<1.

故填答案：(-∞，1).

(2)若方程ex-a=lnx+a有唯一實數解，則有x-a+1=x-1+a成立.即2a=2，解得a=1.

故填答案：1.

(3)若方程ex-a=lnx+a有兩個不相等的實數解，則有x-a+11.

故填答案：(1，+∞).

探究2：改變問題中對應不等式恒成立的給出方式，以另一個函數形式來出現，破解思維方式與以上問題類似，得到以下對應的變式問題.

將2x替換成x，則不等式aeax≥lnx對x>0恒成立，亦即不等式axeax≥xlnx對x>0恒成立.

同構變形，可得不等式axeax≥lnx·elnx對x>0恒成立.

設函數f(x)=xex，則不等式f(ax)≥f(lnx)對x>0恒成立.

于是當00，函數g(x)單調遞增；當x>e時，g′(x)<0，函數g(x)單調遞減.

故選擇答案：B.

4 解后反思

涉及含參不等式恒成立問題，破解的關鍵是進行合理化歸與轉化.實現“含參”朝著“分參”的方向轉化，可以抓住本身不等式或函數的原型，從“數”的視角切入，或導數法，或同構法等；也可以抽象不等式或函數的幾何意義，從“形”的視角切入，或導數的幾何意義法，或函數圖象法等；有時數形結合，合理利用“數”與“形”有效結合的思想方法來解決.